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专项 9 与圆的性质有关的辅助线作法
类型 1 连半径
方法指导
1.根据圆中半径相等，连半径可构造等腰三角形.
2.连半径构造圆心角，可根据圆心角、弧、弦之间的关系求解.

1.如图，点 ， ， ， 在⊙ 上，且 = ，若∠ = 84 ，则∠ 的度数为( )
A.42 B.44 C.46 D.48
答案：D
【解析】 如图，

连接 ． ∵ = ，∠ = 84 ，
∴ ∠ = ∠ = 84 （等弧所对的圆心角相等），
∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 96 . ∵ = ，
∴ ∠ = ∠ （半径相等，得等腰三角形，等边对等角），
1
∴ ∠ = × 96 = 48 ．
2
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2.如图，四边形 内接于⊙ ，∠ = 60 ， 平分∠ ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是菱形.
证明：如图，
连接 . ∵ ∠ = ，∴ ∠ = ∠ = .
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ，

∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = .
∵ = = ，
∴△ 和△ 都是等边三角形，
∴ = = = ，
∴ 四边形 是菱形.
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（2）若∠ = 15 ， = 2，求 的长.
解：如图，连接 .
∵ = ，∠ = ，∴ ∠ = × = .
由（1）知∠ = ，∴ ∠ = = .
在 △ 中，由勾股定理,得 = √ + = √ .
类型 2 作垂直
方法指导
在圆中，求弦长、半径或弦心距（圆心到弦的距离）时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径
构造直角三角形，利用勾股定理求解.在弦长、半径、弦心距三个量中，知二求一.如图， = ,
2 + 2 = 2 .
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3.如图，点 是半圆 上一点， = 6，将半圆 沿弦 所在的直线折叠，若 恰好过圆心 ，
则 的长是( )
A.3 √3 B.
3 C.3 D.3 √3
2 2
答案：A
【解析】 如图，
过点 作 ⊥ 于点 ，交半圆 于点 .∵ 半圆 沿 所在的直线折叠，
1 1 3
圆弧 恰好过圆心 ，∴ = ，∴ = = = .
2 4 2
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ， = .在Rt△ 中，
由勾股定理，可得 = √ 2 2
3 √3
= ，∴ = 3 √3 ．
2
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4.如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点 ，桥下水面宽度 为18 m，过点 作半径 ⊥ 于
点 ， = 3 m .
（1）求该圆弧形拱桥的半径.
解：如图，

连接 . ∵ ⊥ ，∴ = = .

设 = ，根据题意，得 = + ( ) ，
解得 = ．
即圆弧形拱桥的半径为 .
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（2）现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），
该货船能顺利通过吗？
如图，连接 .
∵ = ， = ，∴ = ，∴ = .

∵ ⊥ ，∴ = .

∵ = ，∴ = √ = √ ( ) ，
∴ = = √ .
∵ √ > ，
∴ 该货船可以顺利通过．
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类型 3 连圆上两点
方法指导
当圆中出现直径或90 的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的一端点，利用直径所对的圆
周角等于90 或90 的圆周角所对的弦为直径进行解题，如图 1，∠ = 90 ；如图 2，
是直径.
5.如图， 是⊙ 的直径，∠ = ∠ ， = 2， = 4，则⊙ 的半径为( )
A.2 √3 B.3 √2 C.2 √5 D.√5
答案：D
解法一 如图 1，
连接 . ∵ 是直径，
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∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ，∴ = ，
∴ = = 2.在Rt△ 中， = √ 2 + 2 = 2 √5 , ∴⊙ 的半径为√5 .
解法二 如图 2，
连接 并延长 交⊙ 于点 ，连接 .
∵ = ,∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，

∴ ∠ = ∠ ，∴ = ,∴ = = 2.
∵ 是直径，∴ ∠ = 90 .在Rt△ 中， = √ 2 + 2 = √22 + 42 = 2 √5，
∴⊙ 的半径为√5 .
6.如图， 为⊙ 的直径， = , , 分别交⊙ 于点 , ,连接 .
（1）求证： = = .
证明：如图，连接 .
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∵ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = ，∴ ⊥ .
又∵ = ,
∴ = ，∠ = ∠ ,

∴ = ,∴ = ,∴ = = .
（2）若 = √5, = 5,求 的长.
解：如图，连接 .
∵ 为⊙ 的直径，∴ ∠ = .
∵ = √ , = ,∴ = = √ , = . ∴ = √ .
设 = ,则 = ,
∵ = ,∴ = ( √ ) ( ) ,解得 = ,即 的长为 3.
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类型 4 构造圆内接四边形
模型指导
7.用破损量角器按如图方式测量∠ 的度数，让∠ 的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分
别经过圆弧上的 ， 两点.若点 ， 对应的刻度分别为55 ，135 ，
则∠ 的度数为______.
答案：
【解析】 如图，
将图形抽象出来，连接 ， ， ， .设⊙ 的直径为 ，
由题意可知，∠ = 55 ，∠ = 135 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 135 55 = 80 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 40 . ∵ ∠ + ∠ = 180 ，
2
∴ ∠ = 140 ．
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8.如图,在⊙ 中,弦 ⊥ 于点 ,连接 , , , , , , .
（1）求证：∠ + ∠ = 180 .
证明：证法一 由圆周角定理，得∠ = ∠ ,∠ = ∠ .
∵ ⊥ ,∴ ∠ = ,∴ ∠ + ∠ = ，
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = .
证法二 如图，延长 交⊙ 于点 ，连接 ， ．
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = ，∴ ⊥ .
∵ ⊥ ，∴ // ，∴ ∠ = ∠ ，

∴ = ，∴ ∠ = ∠ .
∵ ∠ + ∠ = ，
∴ ∠ + ∠ = ．
（2）若 = 8, = 6,求⊙ 的直径.
解：如图，
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连接 ．由（1）知∠ = ∠ ,∴ = ，∴ = = .
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = ，
∴ 在 △ 中， = √ + = √ + = ，
∴⊙ 的直径为 10．
类型 5 定弦定角，构造隐圆
9.如图， 是正方形 内一点，满足∠ = 90 ，连接 ，若 = 2，则 长的最小
值为________．
答案：√
【解析】如图，∵ ∠ = 90 ，∴ 点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
则 的长最小时，点 , , 三点共线，连接 .∵ 四边形 是正方形，
∴ = = 2 ，∠ = 90 ，在Rt△ 中， = 1 ，
由勾股定理得 = √5，∴ = √5 1 .
62/77专项 9 与圆的性质有关的辅助线作法
类型 1 连半径
方法指导
1.根据圆中半径相等，连半径可构造等腰三角形.
2.连半径构造圆心角，可根据圆心角、弧、弦之间的关系求解.

1.如图，点 ， ， ， 在⊙ 上，且 = ，若∠ = 84 ，则∠ 的度数为( )
A.42 B.44 C.46 D.48
2.如图，四边形 内接于⊙ ，∠ = 60 ， 平分∠ ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是菱形.
（2）若∠ = 15 ， = 2，求 的长.
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类型 2 作垂直
方法指导
在圆中，求弦长、半径或弦心距（圆心到弦的距离）时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径
构造直角三角形，利用勾股定理求解.在弦长、半径、弦心距三个量中，知二求一.如图， = ,
2 + 2 = 2 .

3.如图，点 是半圆 上一点， = 6，将半圆 沿弦 所在的直线折叠，若 恰好过圆心 ，
则 的长是( )
A.3 3 B.3 √ C.3 D.3 √3
2 2
4.如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点 ，桥下水面宽度 为18 m，过点 作半径 ⊥ 于
点 ， = 3 m .
（1）求该圆弧形拱桥的半径.
（2）现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），
该货船能顺利通过吗？
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类型 3 连圆上两点
方法指导
当圆中出现直径或90 的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的一端点，利用直径所对的圆
周角等于90 或90 的圆周角所对的弦为直径进行解题，如图 1，∠ = 90 ；如图 2，
是直径.
5.如图， 是⊙ 的直径，∠ = ∠ ， = 2， = 4，则⊙ 的半径为( )
A.2 √3 B.3 √2 C.2 √5 D.√5
6.如图， 为⊙ 的直径， = , , 分别交⊙ 于点 , ,连接 .
（1）求证： = = .
（2）若 = √5, = 5,求 的长.
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类型 4 构造圆内接四边形
模型指导
7.用破损量角器按如图方式测量∠ 的度数，让∠ 的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分
别经过圆弧上的 ， 两点.若点 ， 对应的刻度分别为55 ，135 ，
则∠ 的度数为______.
8.如图,在⊙ 中,弦 ⊥ 于点 ,连接 , , , , , , .
（1）求证：∠ + ∠ = 180 .
（2）若 = 8, = 6,求⊙ 的直径.
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类型 5 定弦定角，构造隐圆
9.如图， 是正方形 内一点，满足∠ = 90 ，连接 ，若 = 2，则 长的最小
值为________．
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