资源简介

专项 10 证明圆的切线的两种方法
类型 1 直线与圆有公共点
方法指导
直线过圆上某一点时，通常“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90
的角，如借助角度转换证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直，利用全等证垂直等.
1.如图， 为⊙ 的直径，如果圆上的点 恰使∠ = ∠ ，求证：直线 与⊙ 相切.
证明：如图，连接 .
∵ = ，∴ ∠ = ∠ .
∵ 为⊙ 的直径，∴ ∠ = ，
∴ ∠ + ∠ = .
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = ，
即∠ = ，∴ ⊥ .
∵ 是⊙ 的半径，∴ 直线 与⊙ 相切．
63/77
2.如图，△ 内接于⊙ ，过点 作射线 ，使∠ = ∠ .求证： 与⊙ 相切.
证明：如图，
延长 ,设为 .延长 交⊙ 于点 ，连接 .
∴ ∠ = ，∴ ∠ + ∠ = .
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = .
∵ ∠ + ∠ + ∠ = ，
∠ + ∠ + ∠ = ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = ，
即∠ = ，∴ ⊥ .
∵ 是⊙ 的半径，∴ 与⊙ 相切．
64/77
3.如图， 为半圆 的直径， 为半圆上一点， 为 的中点，过点 作半圆 的切线交 的
延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 .
（1）求证： 是半圆 的切线.
证明：如图，
连接 ，则 = ，∴ ∠ = ∠ .
∵ 为 的中点，∴ ⊥ ，
∴ 垂直平分 ，∴ = ，
∴ ∠ = ∠ .
∵ 与⊙ 相切于点 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = .
∵ 是⊙ 的半径，且 ⊥ ，
∴ 是半圆 的切线．
65/77
（2）若 = 3， = 2，求半圆 的半径.
解：∵ = ， = ， , 均与半圆 相切，
∴ = = ， = + = + = ，
∴ = √ = √ = .

∵ △ = △ + △ = + ，

且 △ = = × × = ，

∴ × + × = ，∴ = ，


∴ 半圆 的半径为 ．

类型 2 不确定直线与圆是否有公共点
方法指导
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径的
常用方法是利用角平分线上的点到角两边的距离相等.
4.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 是角平分线，以点 为圆心， 长为半径作⊙ .
求证： 是⊙ 的切线.
证明：如图 ，过点 作 ⊥ 于点 .∵ ∠ = ， 平分∠ ，∴ = ．
∴ 是⊙ 的半径.又∵ ⊥ ，∴ 是⊙ 的切线.
66/77专项 10 证明圆的切线的两种方法
类型 1 直线与圆有公共点
方法指导
直线过圆上某一点时，通常“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90
的角，如借助角度转换证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直，利用全等证垂直等.
1.如图， 为⊙ 的直径，如果圆上的点 恰使∠ = ∠ ，求证：直线 与⊙ 相切.
2.如图，△ 内接于⊙ ，过点 作射线 ，使∠ = ∠ .求证： 与⊙ 相切.
33/40
3.如图， 为半圆 的直径， 为半圆上一点， 为 的中点，过点 作半圆 的切线交 的
延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 .
（1）求证： 是半圆 的切线.
（2）若 = 3， = 2，求半圆 的半径.
类型 2 不确定直线与圆是否有公共点
方法指导
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径的
常用方法是利用角平分线上的点到角两边的距离相等.
4.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 是角平分线，以点 为圆心， 长为半径作⊙ .
求证： 是⊙ 的切线.
34/40

展开更多......

收起↑