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专项 11 与圆有关的不规则图形面积的求法
方法指导
1.直接和差法:把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积的和与差进行计算.
2.等积法:两个等底等高的三角形的面积相等,因此可以利用图形中面积相等的部分将不规则图
形的面积转化为规则图形的面积进行计算.
3.割补法:先把不规则图形分割,再运用平移、旋转、轴对称等方法将不规则图形的面积转化为
规则图形的面积进行计算.
类型 1 直接和差法
1.如图，在矩形 中，分别以点 和点 为圆心， 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公
共点.若 = 4 ，则图中阴影部分的面积为( )
A.32 8π B.16 √3 4π
C.32 4π D.16 √3 8π
答案：D
【解析】 如图，
连接 ． ∵ 两弧有且仅有一个公共点，
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= 4，∴ = 2 = 8，∴ 在Rt△ 中，
= √ 2 2 = √82 42 = 4 √3 ，
1
∴ 矩形 = = 16 √3.∵ 两个扇形均为 圆，而且它们的半径相 4
1 1
等，∴ 两个扇形的面积之和为 圆的面积，∴ 两个扇形 = π
2 = 8π ，
2 2
∴ 阴影 = 矩形 两个扇形 = 16 √3 8π．
2.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 ′ 的一个直径端点与半圆 的圆心重合，若半
圆的半径为 2，则阴影部分的面积是( )
A.4 π √3 B.
4
π C.
2
π √3 D.4 √3π 3 3 3 3 4
答案：A
【解析】 如图，连接 ， ′ ，过点 作 ⊥ ′ 于点 .
∵ = ′ = ′ = 2，∴ △ ′ 是等边三角形，
1
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 60 ， = ′ = 1，∴ = √22 12 = √3 ，
2
60π×22 1 2π
∴ 弓形 = 扇形 △ ′ = 2 × √3 × = √3 ， ′ ′ 360 2 3
2π 60π×22 4
∴ 阴影 = 弓形 + 扇形 = 3 + = π 3 ． ′ ′ √ √3 360 3
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3.如图，⊙ 的半径为2 cm， 为⊙ 的弦， 为 上一点，将 沿弦 翻折，使点 与圆
心 重合，则阴影部分的面积为______________.（结果保留π 与根号）

答案：( √ )

【解析】 如图，
连接 ， ，设 交 于点 .由折叠的性质，得 = ， ⊥ ，
∴ = = = 2 cm ，
1
∴ = = = 1 cm，∴△ 是等边三角形，
2
∴ ∠ = 60 . ∵ ∠ = 90 ，
∴ = √ 2 2 = √22 12 = √3(cm) ，
60π×22 1 2
∴ 阴影 =
2
扇形 △ = × 2 × √3 = ( π √3)(cm ) . 360 2 3
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4.如图，将扇形 沿 方向平移，使点 移到 的中点 ′处，得到扇形 ′ ′ ′．
若∠ = 90 ， = 2 ，则阴影部分的面积为_______．
√
答案： +

【解析】 如图，

设 ′ ′交 于点 ，连接 ,
∴ = = = 2. ∵ ′是 的中点，∴ ′ = ′ ，
∴ = 2 ′， ′ = 1. ∵ ∠ ′ = 90 ，
∴ ∠ ′ = 30 ，∠ ′ = 60 ，
∴ ′ = √ 2 ′ 2 = √3，
90π×22 60π×22 1 π √3
∴ 阴影 = 扇形 ( ) = ( × 1 × 3) = + ． ′ ′ ′ 扇形 △ ′ √360 360 2 3 2
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类型 2 等积法
1
5.如图，已知点 ， 是以 为直径的半圆的三等分点，弧 的长为 π ，则图中阴影部分
3
的面积为( )
A.1 π B.
3
π
6 16
C. 1 π D. 1 √3
24 π +12 4
答案：A
【解析】 如图，连接 ， ， ． ∵ ， 是以 为直径的半圆的三等分点，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，∴ = . ∵ 的长为 π ，
3
60π× 1
∴ = π ，解得 = 1.又∵ = = ，
180 3
∴ △ ，△ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ,∴ // ，∴ △ = △ ，
60π×12 1
∴ 阴影 = 扇形 = = π ． 360 6
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类型 3 割补法
6.如图，在边长为 6 的正方形 中，以 为直径画半圆，连接 ,
则阴影部分的面积是( )
A.9 B.6 C.3 D.12
答案：A
【解析】 如图，
设 与半圆交于点 ，半圆的圆心为 ，连接 ， . ∵ 四边形 是正方形，
∴ ∠ = 45 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 90 ，∴ 垂直平分 ，∴ = , = = 3，
∴ 弓形 的面积=弓形 的面积，
1
∴ 阴影 = △ = × 6 × 3 = 9 . 2

7.如图，半径为 5 的扇形 中，∠ = 90 ， 是 上一点， ⊥ ， ⊥ ，垂
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足分别为 ， .若 = ，则图中阴影部分面积为( )
A.25π B.25π C.25π D.25π
16 8 6 4
答案：B
【解析】 连接 ，如图.∵ ∠ = 90 ， ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形.∵ = ，
∴ 四边形 是正方形，∴ △ = △ ，
45π×52 25π
∴ 阴影 = 扇形 = = . 360 8
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方法指导
1.直接和差法:把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积的和与差进行计算.
2.等积法:两个等底等高的三角形的面积相等,因此可以利用图形中面积相等的部分将不规则图
形的面积转化为规则图形的面积进行计算.
3.割补法:先把不规则图形分割,再运用平移、旋转、轴对称等方法将不规则图形的面积转化为
规则图形的面积进行计算.
类型 1 直接和差法
1.如图，在矩形 中，分别以点 和点 为圆心， 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公
共点.若 = 4 ，则图中阴影部分的面积为( )
A.32 8π B.16 √3 4π C.32 4π D.16 √3 8π
2.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 ′ 的一个直径端点与半圆 的圆心重合，若半
圆的半径为 2，则阴影部分的面积是( )
A.4 4 2π √3 B. π C. π √3 D.4 √3
3 3 3 π 3 4
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3.如图，⊙ 的半径为2 cm， 为⊙ 的弦， 为 上一点，将 沿弦 翻折，使点 与圆
心 重合，则阴影部分的面积为______________.（结果保留π 与根号）
4.如图，将扇形 沿 方向平移，使点 移到 的中点 ′处，得到扇形 ′ ′ ′．
若∠ = 90 ， = 2 ，则阴影部分的面积为_______．
类型 2 等积法
1
5.如图，已知点 ， 是以 为直径的半圆的三等分点，弧 的长为 π ，则图中阴影部分
3
的面积为( )
A.1 π B.
3
π
6 16
C. 1 π D. 1 √3+ 24 π12 4
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类型 3 割补法
6.如图，在边长为 6 的正方形 中，以 为直径画半圆，连接 ,
则阴影部分的面积是( )
A.9 B.6 C.3 D.12

7.如图，半径为 5 的扇形 中，∠ = 90 ， 是 上一点， ⊥ ， ⊥ ，垂
足分别为 ， .若 = ，则图中阴影部分面积为( )
A.25π B.25π C.25π D.25π
16 8 6 4
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