资源简介

专项 1 一元二次方程的解法归纳
类型 1 直接开平方法
方法指导
形如 2 = ( ≥ 0)或( + )2 = ( ≥ 0) 的方程，用直接开平方法求解.
1.解下列方程：
（1）( 2)2 = 3 ；
解：两边直接开平方,得 = ±√ ,
所以 = √ 或 = √ ,
所以 = + √ , = √ .
（2）2(2 3)2 = 72 .
原方程可化为( ) = ,
两边直接开平方,得 = ± ,
所以 = 或 = ,

所以 = , = .
类型 2 配方法
方法指导
当方程可化为二次项系数为 1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解.
2.解下列方程：
（1） 2 + 2 + 3 = 0 ；
解：原方程可化为 = ,
配方,得 + = ,即( ) = ,
两边直接开平方,得 = ± ,
所以 = 或 = ,
所以 = , = .
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1
（2） 2
1
8 + = 0 .
2 2
原方程可化为 = ,
配方,得 + = + ,即( ) = ,
两边直接开平方,得 = ± √ ,
所以 = √ 或 = √ ,
所以 = + √ , = √ .
类型 3 因式分解法
方法指导
当方程可化为一边为 0，另一边为两个一次因式的积的形式或缺少常数项时，用因式分解法求
解.
3.解下列方程：
（1） 2 4 = 0 ；
解：因式分解,得 ( ) = ,
所以 = 或 = ,
所以 = , = ．
（2） 2 16 = + 4 ；
移项,得 = ,
因式分解,得( )( + ) = ,
所以 = 或 + = ,
所以 = , = .
（3）(2 1)2 = (3 + 2)(2 1) ；
移项,得( ) ( + )( ) = ,
因式分解,得( )[( ) ( + )] = ,
即( )( ) = ,
所以 = 或 = ,

所以 = , = .
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（4）( + 2)2 10( + 2) + 25 = 0 .
因式分解,得( + ) = ,
即( ) = ,
所以 = = .
类型 4 公式法
方法指导
方程中含有无理数或用其他方法不简洁的方程用公式法求解.
4.解下列方程：
（1） 2 2 √3 + 1 = 0 ；
解：∵ = , = √ , = ,
∴ = = ( √ ) × × = > ,
∴ 方程有两个不相等的实数根，
√ ±√
∴ = = √ ± √ ,

∴ = √ + √ , = √ √ .
1 2 2 2
（2） + = .
2 3 3
原方程可化为 + = ,
∵ = , = , = ,
∴ = = × × ( ) = > ,
∴ 方程有两个不相等的实数根，
±√ ±√
∴ = = ,
×
+√ √
∴ = , = .
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类型 5 换元法
方法指导
若方程中出现一些相同的式子，把它们用某一个字母代替后能得到一个较简单的一元二次方程，
用换元法求解.
5.已知方程 2 + 2 3 = 0的解是 1 = 1， 2 = 3 ，则给出另一个方程(2 + 3)
2 + 2(2 + 3
) 3 = 0 ，它的解是( )
A. 1或 3 B.1或 3 C. 1或 3 D.1或 3
【解析】 由题意,得2 + 3 = 1或2 + 3 = 3,∴ = 1或 = 3 .
6.已知实数 满足( 2 + + 1)( 2 + 1) = 3，则 2 + 的值为___.
【解析】 设 2 + = ,则( + 1)( 1) = 3,∴ 2 1 = 3,解得 = 2 或 = 2.当 = 2时,
2 + = 2,Δ = 12 4 × 1 × ( 2) = 9 > 0,∴ 方程有实数根；当 = 2时, 2 + = 2,Δ =
12 4 × 1 × 2 = 7 < 0,∴ 方程无实数根（舍去）.综上, 2 + 的值为 2.（勿忘检验方程有无
实数根）
6/77专项 1 一元二次方程的解法归纳
类型 1 直接开平方法
方法指导
形如x2 = p(p ≥ 0)或(mx + n)2 = p(p ≥ 0) 的方程，用直接开平方法求解.
1.解下列方程：
（1）( 2)2 = 3 ；
（2）2(2 3)2 = 72 .
类型 2 配方法
方法指导
当方程可化为二次项系数为 1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解.
2.解下列方程：
（1） 2 + 2 + 3 = 0 ；
1 1
（2） 2 8 + = 0 .
2 2
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类型 3 因式分解法
方法指导
当方程可化为一边为 0，另一边为两个一次因式的积的形式或缺少常数项时，用因式分解法求
解.
3.解下列方程：
（1） 2 4 = 0 ；
（2） 2 16 = + 4 ；
（3）(2 1)2 = (3 + 2)(2 1) ；
（4）( + 2)2 10( + 2) + 25 = 0 .
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类型 4 公式法
方法指导
方程中含有无理数或用其他方法不简洁的方程用公式法求解.
4.解下列方程：
（1） 2 2 √3 + 1 = 0 ；
1 2 2 2
（2） + = .
2 3 3
类型 5 换元法
方法指导
若方程中出现一些相同的式子，把它们用某一个字母代替后能得到一个较简单的一元二次方程，
用换元法求解.
5.已知方程 2 + 2 3 = 0的解是 1 = 1， 2 = 3 ，则给出另一个方程(2 + 3)
2 + 2(2 + 3
) 3 = 0 ，它的解是( )
A. 1或 3 B.1 或 3 C. 1或 3 D.1 或 3
6.已知实数 满足( 2 + + 1)( 2 + 1) = 3，则 2 + 的值为___.
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