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专项 2 根的判别式的热门考向
类型 1 判断一元二次方程根的情况
1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A. 2 6 = 0 B. 2 9 = 0
C. 2 6 + 6 = 0 D. 2 6 + 9 = 0
2. 已知 ， ， 为常数，点 ( , )在第四象限，则关于 的方程 2 + + = 0 的根的情况
是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
类型 2 求字母的取值范围（或值）
3.关于 的一元二次方程9 2 6 + = 0 有两个相等的实数根，则 = ( )
A. 9 B.4 C. 1 D.1
4.关于 的一元二次方程( 2) 2 + 4 + 2 = 0有两个实数根，则 的取值范围是( )
A. ≤ 4 B. ≥ 4
C. ≥ 4且 ≠ 2 D. ≤ 4且 ≠ 2
类型 3 与根与系数关系的综合应用
5.已知关于 的一元二次方程
2 + 2 + 2 + 2 = 0有两个不相等的实数根 1， 2 ，且 1 + 2 + 1 2 = 2，则实数
= ___.
6.关于 的一元二次方程 2 + 2 + 3 = 0 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根为 ， ，且 2 = + 3 ，求 的值.
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类型 4 与几何图形的综合应用
7.已知平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程 2 ( + 3) + 2 + 2 = 0 的两
个实数根.
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长.
（2）若 的长为 3，则平行四边形 的周长是多少？
8.一题多解已知关于 的方程 2 (3 + 1) + 2 2 + 2 = 0 .
（1）求证：无论 取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的一边长 = 6，另两边长 ， 恰好是这个方程的
两个根，求此三角形的周长.
7/40专项 2 根的判别式的热门考向
类型 1 判断一元二次方程根的情况
1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A. 2 6 = 0 B. 2 9 = 0
C. 2 6 + 6 = 0 D. 2 6 + 9 = 0
【解析】 Δ = ( 6)2 4 × 1 × 0 = 36 > 0 ，该方程有两个不相等的实数根，故 A选项不符
合题意；Δ = 02 4 × 1 × ( 9) = 36 > 0 ，该方程有两个不
相等的实数根，故 B选项不符合题意；Δ = ( 6)2 4 × 1 × 6 = 12 > 0 ，该方程有两个不相
等的实数根，故 C选项不符合题意；Δ = ( 6)2 4 × 1 × 9 = 0 ，该方程有两个相等的实数
根，故 D选项符合题意.
2. 已知 ， ， 为常数，点 ( , )在第四象限，则关于 的方程 2 + + = 0 的根的情况
是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
【解析】 ∵ 点 ( , )在第四象限,∴ > 0, < 0,∴ < 0,∴ 方程 2 + + = 0的判别式
Δ = 2 4 > 0,∴ 方程 2 + + = 0 有两个不相等的实数根．
类型 2 求字母的取值范围（或值）
3.关于 的一元二次方程 9 2 6 + = 0 有两个相等的实数根，则 = ( )
A. 9 B.4 C. 1 D.1
【解析】 ∵ 关于 的一元二次方程 9 2 6 + = 0 有两个相等的实数根，∴ Δ = ( 6)2
4 × 9 × = 36 36 = 0，解得 = 1 .
4.关于 的一元二次方程( 2) 2 + 4 + 2 = 0有两个实数根，则 的取值范围是( )
A. ≤ 4 B. ≥ 4
C. ≥ 4且 ≠ 2 D. ≤ 4且 ≠ 2
【解析】 ∵ 关于 的一元二次方程( 2) 2 + 4 + 2 = 0 有两个实数根，∴ 2 ≠ 0且
Δ ≥ 0，即42 4 × ( 2) × 2 ≥ 0，解得 ≤ 4，∴ 的取值范围是 ≤ 4且 ≠ 2 .
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类型 3 与根与系数关系的综合应用
5.已知关于 的一元二次方程
2 + 2 + 2 + 2 = 0有两个不相等的实数根 1， 2 ，且 1 + 2 + 1 2 = 2，则实数
= ___.
【解析】解题思路：先根据根与系数的关系,得 1 + 2 = 2 , 21 2 = + 2,结合 1 +
2 + 1 2 = 2,得到 = 0 或 3,此时需要结合Δ > 0,确定 的取值.特别提醒：做题时要特别
注意运用根与系数的关系时,要保证方程有根.
∵ 1, 2是关于 的一元二次方程 2 + 2 + 2 + 2 = 0 的两个实数根,∴ 1 + 2 = 2 ,
1 22 = + 2. ∵ 1 + 2 + 1 2 = 2 ,
∴ 2 + 2 + 2 = 2,解得 1 = 0, 2 = 3. ∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴ Δ =
(2 )2 4 × 1 × ( 2 + 2) > 0,∴ > 2，∴ 实数 的值为 3．
6.关于 的一元二次方程 2 + 2 + 3 = 0 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
解：∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ = = × × ( ) = + > ,
解得 > .
（2）若方程的两个根为 ， ，且 2 = + 3 ，求 的值.
∵ 方程的两个根为 , ,∴ = = ,

∴ = + ,解得 = , = （舍去）.
综上， 的值为 3.
类型 4 与几何图形的综合应用
7.已知平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程 2 ( + 3) + 2 + 2 = 0 的两
个实数根.
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长.
解：因为四边形 是菱形,所以 = .
因为 , 的长是方程 ( + ) + + = 的两个实数根,所以
= [ ( + )] ( + ) = ( ) = ,
所以 = ,
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所以原方程为 + = ,解得 = = .
故当 = 时,四边形 是菱形,这时菱形的边长为 2.
（2）若 的长为 3，则平行四边形 的周长是多少？
将 = 代入方程 ( + ) + + = ,
得 ( + ) + + = ,解得 = ,
所以原方程为 + = ,
解得 = , = ,所以 = ,
故平行四边形 的周长为 × ( + ) = ．
8.一题多解已知关于 的方程 2 (3 + 1) + 2 2 + 2 = 0 .
（1）求证：无论 取何值，方程总有实数根；
证明： = [ ( + )] × × ( + ) = + = ( ) ,
∵ 无论 取何值,( ) ≥ ,∴ ≥ ,
∴ 无论 取何值,方程总有实数根.
（2）若等腰三角形 的一边长 = 6，另两边长 ， 恰好是这个方程的
两个根，求此三角形的周长.
解：解法一 ∵ = ( ) ,
∴ = + ±| |,∴ = , = + .
∵ , 恰好是这个方程的两个实数根,
∴ 不妨设 = , = + ,
当 , 为腰长时, = = ,∴ = ,∴ = ,∴ = ,
∴ 三角形的周长为 + + = ；
当 , 为腰长时, + = ,解得 = ,
∴ = = . ∵ + < ,∴ 这种情况不成立；
当 , 为腰长时, + = ,∴ = ,∴ = ,
∴ 三角形的周长为 + + = .
综上,此三角形的周长为 16 或 22.
解法二 当 为底边长时, , 为腰长,
则方程有两个相等的实数根.∴ = ( ) = ,∴ = ,
∴ 原方程为 + = ,解得 = = ,
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∴ = = ,∵ + < ,∴ 这种情况不成立.
当 为腰长时, = 或 = ,
即方程的一个实数根是 = ,
把 = 代入,得 ( + ) + + = ,
解得 = 或 = ,
当 = 时,原方程为 + = ,
解得 = , = ,∴ 三角形的三边长为 6,6,4,
∴ 三角形的周长为 + + = .
当 = 时,原方程为 + = ,
解得 = , = ,
∴ 三角形的三边长为 6,6,10,
∴ 三角形的周长为 + + = .
综上,此三角形的周长为 16 或 22.
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