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专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合
类型 1 线段的最值问题
方法指导
1.求斜线段 ，竖直线段 长的最值的步骤（如图）：
①设点 ( , 2 + + )， ( , + )， ( , + ) ;
②表示线段 ， 的长： 2 = ( )2 + ( 2 + + )2 ，
= 2 + + ；
③化简 ， ，利用二次函数的性质求最值.
2.求线段之和（周长）最小：根据二次函数图象的对称性，作对称点，结合“将军饮马”模型求
最值.
3.求线段之差最大：将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时，线段之差最大.
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1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点分别为 和 (1,0)（点 在
点 的左侧），与 轴交于点 (0,3)，点 是直线 上方抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 + 的最
大值及点 的坐标.
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2.如图，已知抛物线过点 (0,0)， (5,5) ，且它的对称轴为直线 = 2 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当△ 的面积为 15 时，求点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，若 是抛物线上的动点，当 的值最大时，求点 的坐标以及
的最大值.
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类型 2 面积的最值问题
方法指导
1.铅垂法：对于斜置于平面直角坐标系中的三角形，常将其进行“横切”或“竖切（”平行于坐标轴）
分割成两个三角形，再进行面积计算.如图 1，作 ⊥ 轴交 于点 ,则 △ = △ +
1 1
△ = = ( ) ( ) . 2 2
2.割补法：将所求图形分割成以坐标轴为底的多个三角形或修补成矩形（边与坐标轴平行） ，
然后利用图形面积公式进行和（差）计算即可.如图 2，连接 ,则 △ = 四边形
△ = △ + △ △ .
3.平移法：一般过三角形某顶点作与另外两点构成线段的平行线，利用 “平行线间的距离处处
相等”，转化为求同底等高的三角形的面积.如图 3，过点 作 // 交 轴于点 ，连接 ,则
+
△ =

△ .特别说明：当点 的横坐标为 时， 2 △ 最大.
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3.如图，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 (1,0)， (0,3) .
（1）求抛物线的解析式.
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得△ 的面积最大.若存在，请直接写出点
的坐标和△ 的面积的最大值；若不存在，请说明理由.
1
4.已知平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点，
2
与 轴的正半轴交于点 ，且 (4,0), = 4 √2 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是抛物线在第一象限内的一点，连接 , ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，交
于点 ，记△ ,△ 的面积分别为 1， 2 ，求 1 2 的最大值.
12/40专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合
类型 1 线段的最值问题
方法指导
1.求斜线段 ，竖直线段 长的最值的步骤（如图）：
①设点 ( , 2 + + )， ( , + )， ( , + ) ;
②表示线段 ， 的长： 2 = ( )2 + ( 2 + + )2 ，
= 2 + + ；
③化简 ， ，利用二次函数的性质求最值.
2.求线段之和（周长）最小：根据二次函数图象的对称性，作对称点，结合“将军饮马”模型求
最值.
3.求线段之差最大：将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时，
线段之差最大.
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1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点分别为 和 (1,0)（点 在
点 的左侧），与 轴交于点 (0,3)，点 是直线 上方抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
解：把 ( , )， ( , )的坐标分别代入 = + + ，
+ + = , = ,
得{ 解得{
= , = ,
∴ 抛物线的解析式为 = + .
（2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 + 的最
大值及点 的坐标.
在 = + 中，令 = ，得 = + ，
解得 = 或 = ，∴ ( , ) .
由 ( , )， ( , )易得直线 的解析式为 = + .
设 ( , + )，则 ( , )， ( , + ) ，其中 < < ，

∴ + = + + ( ) = + = ( + ) + .

∵ < ，且 < < ，

∴ 当 = 时， + 取得最大值，最大值为 .此时 ( ， ) ．

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2.如图，已知抛物线过点 (0,0)， (5,5) ，且它的对称轴为直线 = 2 .
（1）求此抛物线的解析式；
解：∵ 抛物线过点 ( , )且它的对称轴为直线 = ，
∴ 抛物线与 轴的另一个交点坐标为( , ) .
∴ 设抛物线的解析式为 = ( ) ，
把( , )代入，得 = ，解得 = ，
则 = ( ) = ，
故此抛物线的解析式为 = .
（2）若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当△ 的面积为 15 时，求点
的坐标；
由点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，可设 ( , )( > ) .
设直线 的解析式为 = ，则 = ，解得 = ，
∴ 直线 的解析式为 = .
设直线 与抛物线的对称轴交于点 ，则 ( , ) ，
∴ = | | .

∵ △ = ，∴ × | | × = ，
∴ = （负值已舍），∴ 点 的坐标为( , ) .
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（3）在（2）的条件下，若 是抛物线上的动点，当 的值最大时，
求点 的坐标以及 的最大值.
由 ≤ 可知，当点 在线段 的延长线上时，如
图， 取最大值，最大值为 的长.
设直线 的解析式为 = + .
+ = , = ,
把点 ( , )， ( , )的坐标分别代入，得{ 解得{
+ = , = ,
∴ 直线 的解析式为 = + .
令 = + ，解得 = ， = （舍去）.
对于 = + ，当 = 时， = ，∴ ( , ) ，
此时， = = √( ) + ( ) = √ .
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类型 2 面积的最值问题
方法指导
1.铅垂法：对于斜置于平面直角坐标系中的三角形，常将其进行“横切”或“竖切（”平行于坐标轴）
分割成两个三角形，再进行面积计算.如图 1，作 ⊥ 轴交 于点 ,则 △ = △ +
1 1
△ = = ( ) ( ) . 2 2
2.割补法：将所求图形分割成以坐标轴为底的多个三角形或修补成矩形（边与坐标轴平行） ，
然后利用图形面积公式进行和（差）计算即可.如图 2，连接 ,则 △ = 四边形
△ = △ + △ △ .
3.平移法：一般过三角形某顶点作与另外两点构成线段的平行线，利用 “平行线间的距离处处
相等”，转化为求同底等高的三角形的面积.如图 3，过点 作 // 交 轴于点 ，连接 ,则
+
△ =

△ .特别说明：当点 的横坐标为 时， 2 △ 最大.
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3.如图，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 (1,0)， (0,3) .
【解析】 解题思路：（1）将 ， 两点的坐标代入函数解析式，求出 ， 的值即可；（2）过
点 作 ⊥ 轴于点 ，设 ( , 2 2 + 3)，且点 在第二象限，根据 △ = △ +
梯形 △ 可得二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可求解.
（1）求抛物线的解析式.
解：将点 ( , )， ( , )的坐标代入 = + + ，
+ + = , = ,
得{ 解得{
= , = ,
∴ 抛物线的解析式为 = + .
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得△ 的面积最大.若存在，请直接写出点
的坐标和△ 的面积的最大值；若不存在，请说明理由.
对于 = + ，令 = ,则 + = ,
解得 = , = ，∴ ( , )，∴ = ,
∵ ( , )，∴ = .过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图，
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设 ( , + )，且点 在第二象限，
∴ = , = + ,

∴ △ = △ + 梯形 △ = × + ( + ) × × = (

+ )( + ) + ( + )( ) × × = ( + ) + ，


∵ < ，∴ 有最大值，


∴ 当 = 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为( , ) .

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4.已知平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点，
2
与 轴的正半轴交于点 ，且 (4,0), = 4 √2 .
（1）求抛物线的解析式；
解：∵ ( , )，∴ = .∵ ∠ = , = √ ，
∴ = √ = ，∴ ( , ) .
把点 ( , ), ( , ) 的坐标代入抛物线的解析式，得
= , = ,
{ 解得{
× + + = , = ,


∴ = + + .

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（2）如图，点 是抛物线在第一象限内的一点，连接 , ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，交
于点 ，记△ ,△ 的面积分别为 1， 2 ，求 1 2 的最大值.
∵ ( , ), ( , ) ，
∴ 设直线 的解析式为 = + ( ≠ ) ，
把 ( , )的坐标代入得 = ，∴ = + .

设 ( , + + )，则 ( , + ), ( , ) ，


∴ = + + + = + , = + , = ，


∴ = △ + △ = = + ,

= = ( + )( ) = ( )
，

∴ = + ( ) = + = ( ) + ，

∴ 当 = 时， 取得最大值，最大值为 .
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