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专项 4 二次函数的存在性问题
1.二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象与 轴分别交于点 ( 1,0)， (3,0)，与 轴交于点
(0, 3)， ， 为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的解析式；
解：把 ( , )， ( , )， ( , ) 的坐标分别代入
= + + ，
+ = , = ,
得 + + = ,解得 = ,
= , = ,
∴ 二次函数的解析式为 = .
（2）当 ， 两点关于抛物线的对称轴对称，△ 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求
点 的坐标.
如图，抛物线 = 的对称轴为直线
= = .
×
∵ ， 两点关于抛物线的对称轴对称， ( , ) ，
∴ ( , ) ，
设 ( , ) .
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∵ △ 是以点 为直角顶点的直角三角形，
∴ ∠ = ，∴ + = ，
∴ + ( ) + ( ) + ( + + ) = + ( ) ，
解得 = ， =

（舍去），∴ = ，

∴ ( , ) .

2.如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 + + 3经过点 (3,0)，与 轴交于点
，且关于直线 = 1 对称.
（1）求该抛物线的解析式.
解：∵ 抛物线 = + + 经过点 ( , )，与 轴交于点 ，且关于
直线 = 对称，
∴ = , = , 解得
+ + = , = ,
∴ 该抛物线的解析式为 = + + .
（2）当 1 ≤ ≤ 时， 的取值范围是 0 ≤ ≤ 2 1，求 的值.
∵ 抛物线的开口向下，对称轴为直线 = ，
∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小.
当 ≤ ≤ 时， ≤ ≤ ，
①当 ≤ 时，则当 = 时，函数有最大值，即 = + + ，
解得 = 或 = ，均不符合题意，舍去；
②当 > 时，则当 = 时，函数有最大值，即
= + × + = ，解得 = .

综上， = .

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（3）点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，在 轴
上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；
若不存在，说明理由.
存在.
令 = + + = ，解得 = , = ，当 = 时， = ，
∴ ( , )， ( , ) .
设直线 的解析式为 = + ，把 ( , )的坐标代入，得 = ，∴
直线 的解析式为 = + .
设 ( , + + )( < < )，则 ( , + ) ，
∴ = ( + + ) ( + ) = + ，
= + ( + ) = ， = + ( + ) ，
当以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时， = ，即 = + ，
解得 = （舍去）或 = ，
此时菱形的边长为 = ；
②当 为对角线时， = ，即 + ( + ) = + ，
解得 = 或 = （舍去），
此时菱形的边长为 + × = .
综上，存在点 ,使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，该菱形的边
长为 或 2.
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3.如图，已知抛物线 = 2 + + 4( ≠ 0) 与 轴交于点 (1,0)和 ，与 轴交于点 ，对称
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轴为直线 = ．
2
（1）求抛物线的解析式.
+ + = , = ,
解：根据题意，得 = , 解得 = ,

∴ 抛物线的解析式为 = + .
（2）如图 1，若点 是线段 上的一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛
物线于点 ，连接 ，当线段 长度最大时，判断四边形 的形状并说明理由.
四边形 是平行四边形.理由如下：
由（1）易得 ( , ), ( , ) ,
∴ 直线 的解析式为 = + .
∵ 点 在线段 上，∴ 可设 ( , + )( < < ) .
∵ // 轴，∴ ( , + ) ,
∴ = ( + ) ( + ) = + = ( ) + ,
∵ < ，∴ 当 = 时，线段 取最大值 4.
∵ = ,∴ = .
又∵ // ,
∴ 当线段 长度最大时，四边形 是平行四边形.
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（3）如图 2，在（2）的条件下， 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且∠ =
2∠ ．在 轴上是否存在点 ，使得△ 为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
在 轴上存在点 ，使得△ 为等腰三角形.
连接 并延长交 于点 .
∵ ( , ), 是 的中点，∴ ( , ) .
如图，由（2）知 ( , ), ( , ) .
∵ // ,∴ ∠ = ∠ .
又∵ ∠ = ∠ ,∴ ∠ = ∠ .
设点 ( , )关于 的对称点为 ,则 ( , ) .
易知直线 过点 ( , )和 ( , ) ,
∴ 直线 的解析式为 = .
由点 是直线 与抛物线 = + 的交点，
可得 ( , ) .
假设 轴上存在点 ( , ),使△ 为等腰三角形.
若 = ,即 = ,则 + = + ( ) ,
解得 = ,∴ ( , ) ；

若 = ,即 = ,则 + = ( ) + ,
解得 =± ,∴ ( , )或 ( , ) ；
若 = ,即 = ,则 + ( ) = ( ) + ,
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化简，得 + = .
∵ = ( ) × × = < ,∴ 方程无实数根，
故在 轴上不存在点 ，使 = .
综上所述，在 轴上存在点 ，使得△ 为等腰三角形，

点 的坐标为( , )，( , )或( , ) .

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1.二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象与 轴分别交于点 ( 1,0)， (3,0)，与 轴交于点
(0, 3)， ， 为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当 ， 两点关于抛物线的对称轴对称，△ 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求
点 的坐标.
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2.如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 + + 3经过点 (3,0)，与 轴交于点
，且关于直线 = 1 对称.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）当 1 ≤ ≤ 时， 的取值范围是 0 ≤ ≤ 2 1，求 的值.
（3）点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，在 轴
上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；
若不存在，说明理由.
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3.如图，已知抛物线 = 2 + + 4( ≠ 0) 与 轴交于点 (1,0)和 ，与 轴交于点 ，对称
= 5轴为直线 ．
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（1）求抛物线的解析式.
（2）如图 1，若点 是线段 上的一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛
物线于点 ，连接 ，当线段 长度最大时，判断四边形 的形状并说明理由.
（3）如图 2，在（2）的条件下， 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且∠ =
2∠ ．在 轴上是否存在点 ，使得△ 为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
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