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专项 5 函数图象信息题
1.根据抛物线开口方向判断 ：开口向上， > 0；开口向下， < 0 .
2.由 和对称轴的位置判断 ：规律是“左同右异”，即对称轴在 轴左侧， ， 同号；对称轴在
轴右侧， ， 异号.
3.由抛物线与 轴的交点位置判断 ：交于正半轴， > 0 ；交于负半轴， < 0；交于原点， = 0
.
4.特殊式子的判断：看到 + + ，令 = 1；看到 + ，令 = 1 ；看到 4 + 2 + ，
令 = 2；看到 4 2 + ，令 = 2 .然后看纵坐标.
5. > 1 根据 或 < 1 判断 2 + 的符号；根据 > 1或- < 1 判断 2 的符号.
2 2 2 2
6.知道抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)与 轴的交点情况，可得Δ = 2 4 与 0的大小关系．
类型 1 函数图象的共存问题
1.一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 2 与二次函数 = 2 + 的图象可
能是( )
A. B. C. D.
【解析】解法一 ∵ 二次函数 = 2 + ,∴ 抛物线开口向上，∴ 排除 B;∵ 一次函数 = + 2，
∴ 直线与 轴的正半轴相交，∴ 排除 D；由选项 A,C中抛物线的图象得 < 0，∴ 排除 A．
解法二 当 > 0 时，一次函数 = + 2 的图象经过第一、第二、第三象限，二次函数 = 2 +
的图象开口向上，顶点坐标在 轴的正半轴上；当 < 0时，一次函数 = + 2 的图象经
过第一、第二、第四象限，二次函数 = 2 + 的图象开口向上，顶点坐标在 轴的负半轴上.
结合选项知 C项符合题意.
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2.已知二次函数 = 2( ≠ 0) 和一次函数 = + ( ≠ 0) 的图象如图所示，则函数
= 2 + 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵函数 = 2的图象开口向上，∴ > 0. ∵ 一次函数 = + 经过第一、第二、
第三象限，∴ > 0, > 0，∴ 函数 = 2 + 的图象开口向上.∵ > 0，∴ < 0，∴
函数 = 2 + 的图象与 轴交于负半轴.∵ > 0， > 0，∴ = < 0，即函数 =
2
2 + 的图象的对称轴在 轴的负半轴，∴ 符合上述条件的是 C选项.
3.在同一平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 与一次函数 = + 的图象
可能是( )
A. B. C. D.
【解析】 A项，由一次函数的图象，知 > 0， > 0 ，则二次函数的图象应开口向上，对称
轴在 轴左侧，故 A项不符合题意；B，C项，由一次函数的图象，知 > 0， < 0，则二次
函数的图象应开口向上，对称轴在 轴右侧，故 B项不符合题意，C项符合题意；D项，由
一次函数的图象，知 < 0， = 0，则二次函数的图象应开口向下，对称轴为 轴，故 D项不
符合题意.
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类型 2 二次函数图象与 , , 之间的关系
4.如图是二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 = 1，
图象与 轴交点的纵坐标是 2.有下列结论：①2 + = 0；②方程 2 + + = 0 一定有一
个根在 2和 1之间；③方程 2 + + 3 = 0 一定有两个不相等的实数根；④ < 2
2
.其中，正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 逐项分析如下，故选 B.
序号 分析 正误
∵ 抛物线 = 2+ + 的对称轴为直线 =1，
① √
∴ b=1，∴ = 2 ，∴2 + =0 .
2a
∵ 抛物线 = 2+ + 的对称轴为直线 =1，
且与 轴的一个交点的横坐标在 2和 3之间，
② ×
∴ 抛物线与 轴的另一个交点的横坐标在 1和 0之间，
∴ 方程 2+ + =0在 2和 1之间无根.
易知抛物线 = 2+ + 3与直线 = 有两个交点，
2
③ √
∴ 方程 = 2+ + 3=0一定有两个不相等的实数根.
2
∵ 抛物线 = 2+ + 与 轴的另一个交点的横坐标
在 1和 0之间，且抛物线开口向下，
④ ∴ 当 = 1时， <0,即 + <0. ×
∵ 抛物线与 轴交点的纵坐标是 2，
∴ =2，∴ +2<0，∴ >2 .
5.如图，已知抛物线 = 2 + + ( ， ， 为常数，且 ≠ 0) 的对称轴为直线 = 1，且
该抛物线与 轴交于点 (1,0)，与 轴的交点 在(0, 2)，(0, 3) 之间（不含端点），则下
列结论正确的个数是( )
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① > 0；②9 3 + > 0 2；③ < < 1 ；④若方程 2 + + = + 1的两根为 ,
3
( < )，则 3 < < 1 < .
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 解题思路：根据题意及题图可得 > 0， = 2 > 0 ， 3 < < 2 ，即可判断①
错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为( 3,0)，即可判断②错误；将 和 用 表示，
即可得到 3 < 3 < 2 ，即可判断③正确；结合抛物线 = 2 + + 和直线 = + 1
与 轴的交点，即可判断④正确.

由题图可知 > 0，∵ 抛物线 = 2 + + 的对称轴为直线 = 1，∴ = = 1，∴ =
2
2 > 0，∵ 抛物线 = 2 + + 与 轴的交点 在(0, 2)，(0, 3) 之间，
∴ 3 < < 2，∴ < 0，故①错误；设抛物线与 轴的另一个交点为( , 0)，∵ 抛物线的对
称轴为直线 = 1，且该抛物线与 轴交于点 (1,0)，∴ 1 ( 1) = 1 ，解得 = 3，
∴ 9 3 + = 0 ，故②错误；∵ 抛物线与 轴交于点 (1,0)，∴ + + = 0 ，
∵ 3 < < 2， = 2 > 0，∴ 3 < 3 < 2 2，解得 < < 1 ，故③正确；根据抛物线 =
3
2 + + 与 轴交于点 (1,0)和( 3,0) ，直线 = + 1过点( 1,0)和(0,1) ，画出如图所
示的图象，由图象可知方程 2 + + = + 1的两根 , 满足 3 < < 1 < .
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方法指导
1.根据抛物线开口方向判断 ：开口向上， > 0；开口向下， < 0 .
2.由 和对称轴的位置判断 ：规律是“左同右异”，即对称轴在 轴左侧， ， 同号；对称轴在
轴右侧， ， 异号.
3.由抛物线与 轴的交点位置判断 ：交于正半轴， > 0 ；交于负半轴， < 0；交于原点， = 0
.
4.特殊式子的判断：看到 + + ，令 = 1；看到 + ，令 = 1 ；看到4 + 2 + ，
令 = 2；看到4 2 + ，令 = 2 .然后看纵坐标.

5.根据 > 1或 < 1判断2 + 的符号；根据 > 1或- < 1 判断2 的符号.
2 2 2 2
6.知道抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)与 轴的交点情况，可得Δ = 2 4 与 0的大小关系．
类型 1 函数图象的共存问题
1.一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 2 与二次函数 = 2 + 的图象可
能是( )
A. B.
C. D.
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2.已知二次函数 = 2( ≠ 0) 和一次函数 = + ( ≠ 0) 的图象如图所示，则函数
= 2 + 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.在同一平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 与一次函数 = + 的图
象可能是( )
A. B.
C. D.
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类型 2 二次函数图象与 , , 之间的关系
4.如图是二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 = 1，
图象与 轴交点的纵坐标是 2.有下列结论：①2 + = 0；②方程 2 + + = 0 一定有
3
一个根在 2和 1之间；③方程 2 + + = 0 一定有两个不相等的实数根；④ <
2
2 .其中，正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，已知抛物线 = 2 + + ( ， ， 为常数，且 ≠ 0) 的对称轴为直线 = 1，且
该抛物线与 轴交于点 (1,0)，与 轴的交点 在(0, 2)，(0, 3) 之间（不含端点），则下列
结论正确的个数是( )
2
① > 0；②9 3 + > 0；③ < < 1 ；
3
④若方程 2 + + = + 1的两根为 , ( < )，则 3 < < 1 < .
A.1 B.2 C.3 D.4
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