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专项 6 利用旋转进行相关计算
方法指导
1.利用旋转求角度时，一般根据三角形的内角和定理或三角形外角的性质进行求解.
2.利用旋转求长度或面积时，一般通过旋转某个三角形到特殊位置，构造等边三角形、直角三
角形、等腰三角形进行求解.
3.利用旋转添加辅助线，实质是进行“图”移“形”动，将零散的条件转移到同一个三角形中求解.
类型 1 利用旋转的性质求角度或线段长
1.如图，在△ 中，∠ = 85 ，将△ 绕点 顺时针旋转得到△ ，使点 的对应
点 恰好落在边 上， ， 交于点 .若∠ = ，则∠ 的度数是( )
A. 385 + B.
3 3 3
175 + C.175 D.95 +
2 2 2 2
答案：C
【解析】 根据旋转的性质可知 = ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ，
1
∴ ∠ = ∠ = (180 ) = 90
1
，∵ ∠ = 85 ，
2 2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 85 ，
1 3∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 + 85 = 175 （外角的性质）.
2 2
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2.如图，将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，点 ， 的对应点分别为点 ， ，连接
，点 恰好落在线段 上，若 = 3， = 1，则 的长为( )
A.√5 B.√10 C.2 D.2 √2
答案：A
【解析】 如图，连接 ，由旋转的性质知∠ = 90 ，∠ = 90 ，
= ，∠ = ∠ ,∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 180 ∠ = 90 .
∵ = 3， = 1，∴ = √ 2 + 2 = √32 + 12 = √10 ，
√10
∴ √ 2 + 2 = √ 2 + 2 = √2 = √10，∴ = = √5 .
√2
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类型 2 利用旋转的性质求面积
3.如图，边长为 1 的正方形 绕点 逆时针旋转30 得到正方形 ′ ′ ′ ，图中阴影部分
的面积为( )
A.1 B.√3 C. √31 D.
√3
2 1
3 3 4
答案：C
【解析】 解题思路：设 ′ ′与 的交点为 ，连接 ，由旋转的性质和正方形的性质可知 ′
= = , ∠ ′ = 60 ，利用“HL ”可证明Rt△ ′ ≌Rt△ ，进而得∠ = ∠ ′ =
30 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据阴影部分的面积等于正方形 的面积-四边形
′ 的面积得解．
如图，
设 ′ ′与 的交点为 ，连接 ，由旋转的性质和正方形的性质可知 ′ = = , ∠ ′
= 60 ，∠ = ∠ ′ = 90 ，在Rt△ ′ 和Rt△ 中，
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= ,
{ ′′ ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL) ， = ,
1
∴ ∠ = ∠ ′ = ∠ ′ = 30 ，∴ = 2 ，
2
在Rt△ 中，由勾股定理，得 2 + 2 = 2 ，
2 2 √3 1 √3 √3∴ 1 + = 4 ,∴ = ，∴ 阴影部分的面积为1 × 1 2 × × 1 × = 1 ．
3 2 3 3
4.如图，在等边三角形 内有一点 ， = 4 ， = 3， = 5，将△ 绕点 逆时针旋
转，使 与 重合，点 旋转至点 ，则四边形 的面积为( )
A.12 B.12 + 4 √3 C.6 + 4 √3 D.6 + 8 √3
答案：C
【解析】 如图 ，
连接 ，由旋转的性质,可得
= = 4， = = 3，∠ = ∠ ，∵ △ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形，
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1
∴ = 4.过点 作 ⊥ 于点 ，则 = = 2.在Rt△ 中，
2
由勾股定理得 = √ 2 2 = 2 √3 .
在△ 中，∵ 2 + 2 = 32 + 42 = 25， 2 = 52 = 25，
∴ 2 + 2 = 2，∴ △ 是直角三角形，且∠ = 90 ，
1 1
∴ 四边形 的面积为 △ + △ = × 4 × 2 √3 + × 4 × 3 = 6 + 4 √3 . 2 2
类型 3 利用旋转添加辅助线进行计算
5.如图，在△ 中， = = 3 ，∠ = 30 ， 为△ 内一点，连接 ， ， ，
则 + + 的最小值为( )
A.3 √2 B.3 + √2 C.3 √3 D.3 + √3
答案：A
【解析】 如图 ，
将△ 绕点 逆时针旋转60 得到△ ，
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连接 ， ．由旋转的性质，可知 = ,
∠ = 60 , ∴ △ 是等边三角形，
∴ = . ∵ = ，
∴ + + = + + . ∵ + + ≥ ，
∴ 当点 ， 在线段 上时， + + 的值最小.
由旋转的性质，可知 = = 3，∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∴ = , ⊥ .由
勾股定理,可得 = √2 = 3 √2，∴ + + 的最小值为3 √2 .
6.如图，△ 是等边三角形，∠ + ∠ = 180 ， = 8， = 2，
则 的长为___________.
答案：6
【解析】 解题思路：由题中条件∠ + ∠ = 180 ，
△ 是等边三角形，可想到将△ 绕点 逆时针旋转60 ，
使∠ 旋转后的角与∠ 组成一个平角，进而可得出以 为边的等边三角形，
即可求出 的长.
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如图，
∵ △ 是等边三角形，∴ 将△ 绕点 逆时针旋转60 得到△ ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ 点 ， ， 在一条直线上.
由旋转的性质，可知 = ， = ，
∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形，
∴ = = 8，∴ = = 6 .
7.如图，线段 绕点 逆时针旋转120 得到线段 ，点 的对应点为点 ，在∠ 的内部有
一点 ， = 8， = 4， = 4√13，则线段 的长为__________.
答案： √
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【解析】 如图，
将△ 绕点 逆时针旋转120 得
到△ ，连接 交 于点 ，过点 作 ⊥
于点 ，则△ ≌△ ，∠ = 120 ，
∴ = = 8， = = 4 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 30 ， ∴ = = 4 ，
2
∴ = = √ 2 2 = 4√3，∴ = 8√3.在△ 中，
2 + 2 = (8 √3)2 + 42 = 208， 2 = (4√13)2 = 208 ，
∴ 2 + 2 = 2，∴ △ 为直角三角形，且∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，
∠ = ∠ ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ ，
= ,
1 1
∴ = = ， = = = 2 √3.在Rt△ 中，
2 2
= √ 2 + 2 = 2 √7，∴ = = 2 = 4 √7．
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方法指导
1.利用旋转求角度时，一般根据三角形的内角和定理或三角形外角的性质进行求解.
2.利用旋转求长度或面积时，一般通过旋转某个三角形到特殊位置，构造等边三角形、直角三
角形、等腰三角形进行求解.
3.利用旋转添加辅助线，实质是进行“图”移“形”动，将零散的条件转移到同一个三角形中求解.
类型 1 利用旋转的性质求角度或线段长
1.如图，在△ 中，∠ = 85 ，将△ 绕点 顺时针旋转得到△ ，使点 的对应
点 恰好落在边 上， ， 交于点 .若∠ = ，则∠ 的度数是( )
A. 385 + B.
3
175 + C.
3
175 D.
3
95 +
2 2 2 2
2.如图，将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，点 ， 的对应点分别为点 ， ，连接
，点 恰好落在线段 上，若 = 3， = 1，则 的长为( )
A.√5 B.√10 C.2 D.2 √2
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类型 2 利用旋转的性质求面积
3.如图，边长为 1 的正方形 绕点 逆时针旋转30 得到正方形 ′ ′ ′ ，图中阴影部分
的面积为( )
A.1 B.√3 C. √31 D.
√3
1 2 3 3 4
4.如图，在等边三角形 内有一点 ， = 4 ， = 3， = 5，将△ 绕点 逆时针旋
转，使 与 重合，点 旋转至点 ，则四边形 的面积为( )
A.12 B.12 + 4 √3 C.6 + 4 √3 D.6 + 8 √3
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类型 3 利用旋转添加辅助线进行计算
5.如图，在△ 中， = = 3 ，∠ = 30 ， 为△ 内一点，连接 ， ， ，
则 + + 的最小值为( )
A.3 √2 B.3 + √2 C.3 √3 D.3 + √3
6.如图，△ 是等边三角形，∠ + ∠ = 180 ， = 8， = 2，
则 的长为___________.
7.如图，线段 绕点 逆时针旋转120 得到线段 ，点 的对应点为点 ，在∠ 的内部有
一点 ， = 8， = 4， = 4√13，则线段 的长为__________.
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