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专项 8 旋转中的分类讨论思想
1.如图，正方形 的边长为 5，两边 , 分别在 轴、 轴上，点 在边 上， = 3，
连接 ，把△ 绕点 旋转90 ，则旋转后点 的对应点 ′ 的坐标是( )
A.( 2,0) B.( 2,10)
C.( 2,0)或(2, 10) D.( 2,0)或(2,10)
答案：D
【解析】 如图，∵ 正方形 的边长为 5， = 3，∴ = 2，
当逆时针旋转90 时，
如图 1， ′ = = 5， ′ ′ = 2， ′ ′// 轴，∴ ′ = 10，∴ ′(2,10) ；
当顺时针旋转90 时，如图 2， ′ = 2，∴ ′( 2,0) .
2.在矩形 中， = 5， = 3 ，把矩形 绕点 顺时针旋转，当点 落在直线 上
的点 处时，线段 的长度等于( )
A.√10 B.2√10 C.√10或2√10 D.√10或3√10
答案：D
【解析】 如图，
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当点 落在线段 上的点 处时， = = 5，在Rt△ 中，
= √ 2 2 = 4，∴ = 1，在Rt△ 中， = √ 2 + 2 = √10；
当点 落在点 左侧的点 ′ 处时， ′ = = 5，
在Rt△ ′中， ′ = √ 2′ 2 = 4 ，
∴ ′ = 5 + 4 = 9，在Rt△ ′ 中， ′ = √32 + 92 = 3√10 .
综上所述，线段 的长度为√10或3√10 ．
3.线段 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 = 2，线段 与 轴的夹角为60 ，
现将线段 绕点 旋转30 ，则点 的对应点的坐标为______________.
答案：( , )或(√ , )
【解析】 如图，
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当线段 绕点 逆时针旋转30 时，得到线段 1；
当线段 绕点 顺时针旋转30 时，得到线段 2. ∵ 线段 与 轴的夹角为60
，
∴ 点 1在 轴上，∵ = 2，∴ 1 = 2，∴ 点 1 的坐标为(0,2)；过点 2作 2 ⊥ 轴于点 ，
1则 2 = 2 ，∠ 2 = 30 ，∴ =
2 2 2 2
2 2 = 1 ， = √ 2 2 = √2 1 = √3， 2
∴ 点 2的坐标为(√3, 1). ∴ 点 的对应点的坐标为(0,2)或(√3, 1) .
4.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 20 ，将△ 绕点 旋转至△ ′ ′ ，点 ， 分
别与点 ′， ′ 对应，如果直线 ′ ′ ⊥ 直线 ，那么∠ ′ ′ 的度数为___________.
答案： 或
【解析】 解题思路：题目中的旋转没有说明旋转方向和旋转角，故需先判断旋转角，由 ′ ′与
是对应线段，且直线 ′ ′ ⊥ 直线 ，可知旋转角为90 ，旋转方向不明确，则分两种情
况讨论.
∵ ′ ′与 是对应线段，且直线 ′ ′ ⊥ 直线 ，∴ 旋转角为90 .
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当把△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ′ ′ 时，
如图 1，点 ， ， ′ 在同一条直线上，点 ′， ， 在同一条直线上，
′ = ，∠ ′ = 90 ，∠ ′ ′ = ∠ = 20 ，
∴ △ ′ 为等腰直角三角形，∴ ∠ ′ = 45 ，
∴ ∠ ′ ′ = ∠ ′ + ∠ ′ ′ = 45 + 20 = 65 ；
当把△ 绕点 逆时针旋转90 得到△ ′ ′ 时，
如图 2，点 ， ， ′在同一条直线上，点 ′ ，
， 在同一条直线上， ′ = ，∠ ′ = 90 ，
∠ ′ ′ = ∠ = 20 ，∴ △ ′ 为等腰直角三角形，
∴ ∠ ′ = 45 ，∴ ∠ ′ ′ = ∠ ′ ∠ ′ ′ = 45 20 = 25 .
综上所述，∠ ′ ′ 的度数为65 或25 ．
5.如图，△ 与△ 都是等边三角形，连接 , , = 2， = 1，将△ 绕点 顺
时针旋转，当点 , , 在同一条直线上时，线段 的长为_________．
答案：√ 或√
【解析】 根据题意，可以将△ 固定不动，
将△ 绕点 顺时针旋转.当点 落在线段 上时，
如图 1，∵ △ 与△ 都是等边三角形，
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∴ = ，∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = . ∵ = = = 2 ，
= = 1，∴ = ，∴ ⊥ .在Rt△ 中，由勾股定理,
得 = √ 2 2 = √3，∴ = = √3.当点 落在线段 的延长线上时，
1 √3 5
如图 2,过点 作 ⊥ 于点 ，则 = , = ,∴ = + = .在Rt△ 中，
2 2 2
2 2 √ √3 5由勾股定理，得 = √ + = ( )2 + ( )2 = √7 .
2 2
综上，线段 的长为√3或√7 ．
6.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，将△ 绕点 按逆时针方向旋转 (0 <
< 90 )得到△ ′ ′ ， ′ 与 交于点 ，连接 ′ ，若△ ′ 是等腰三角形，则旋转角 的
度数为__________．
答案： 或
【解析】 ∵ △ 绕点 按逆时针方向旋转 得到△ ′ ′ ，∴ = ′ ，
1
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = (180 ) ，
2
1
∴ ∠ ′ = ∠ ′ ∠ = (180 ) 30 .
2
根据三角形外角的性质，得∠ ′ = ∠ + ∠ ′ = 30 + .
若△ ′ 是等腰三角形，则可分三种情况讨论:①当∠ ′ = ∠ ′ 时，
1 1
(180 ) = (180 ) 30 ，无解；②当∠ ′ = ∠ ′ 时，
2 2
1
(180 ) = 30 + ，解得 = 40 ；③当∠ ′ = ∠ ′ 时，
2
1
(180 ) 30 = 30 + ，解得 = 20 .
2
综上所述，旋转角 的度数为20 或40 ．
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7.如图，图 1 是一副直角三角尺，∠ = 30 ，将这副三角尺按如图 2 所示方式放置，点 ， ，
， 在同一条直线上，点 在 上，△ 固定不动，在△ 绕点 逆时针旋转180 (不
含180 ) 的过程中，当旋转角为多少时， 与△ 的边垂直？
解：当 ⊥ 时，如图 1，
设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，∴ ∠ = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，
∴ 当旋转角为 时， ⊥ .
当 ⊥ 时，如图 2，
设直线 与 交于点 .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，∴ ∠ = ，
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∴ 当旋转角为 时， ⊥ ．
当 ⊥ 时，如图 3，设直线 与 , 分别交于点 , .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，∴ ∠ = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，∴ ∠ = + = ，
∴ 当旋转角为 时， ⊥ ．
综上，当旋转角为 ， 或 时， 与△ 的边垂直．
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1.如图，正方形 的边长为 5，两边 , 分别在 轴、 轴上，点 在边 上， = 3，
连接 ，把△ 绕点 旋转90 ，则旋转后点 的对应点 ' 的坐标是( )
A.( 2,0) B.( 2,10)
C.( 2,0)或(2, 10) D.( 2,0)或(2,10)
2.在矩形 中， = 5， = 3 ，把矩形 绕点 顺时针旋转，当点 落在直线 上
的点 处时，线段 的长度等于( )
A. 10 B.2 10 C. 10或 2 10 D. 10或 3 10
3.线段 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 = 2，线段 与 轴的夹角为60 ，
现将线段 绕点 旋转30 ，则点 的对应点的坐标为______________.
4.如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 20 ，将△ 绕点 旋转至△ ' ' ，点 ， 分
别与点 '， ' 对应，如果直线 ' ' ⊥ 直线 ，那么∠ ' ' 的度数为___________.
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5.如图，△ 与△ 都是等边三角形，连接 , , = 2， = 1，将△ 绕点 顺时
针旋转，当点 , , 在同一条直线上时，线段 的长为_________．
6.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，将△ 绕点 按逆时针方向旋转 (0 <
< 90 )得到△ ' ' ， ' 与 交于点 ，连接 ' ，若△ ' 是等腰三角形，则旋转角
的度数为__________．
7.如图，图 1是一副直角三角尺，∠ = 30 ，将这副三角尺按如图 2所示方式放置，点 ， ，
， 在同一条直线上，点 在 上，△ 固定不动，在△ 绕点 逆时针旋转180 (不含
180 ) 的过程中，当旋转角为多少时， 与△ 的边垂直？
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