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人教A版高一暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·福建省·历年真题)的虚部为( )
A. B. C. D.
2.(2025·全国·历年真题)设全集是小于的正整数，集合，则中元素个数为( )
A. B. C. D.
3.(2025·全国·历年真题)不等式的解集是( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省·期末考试)设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.(2025·湖南省株洲市·其他类型)已知，，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)若为的解集，则的解集为( )
A. 或 B.
C. D.
7.(2025·湖北省黄冈市·其他类型)已知某班有名同学，据统计发现同学们喜爱的第届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目名同学只喜欢乒乓球比赛，名同学只喜欢跳水比赛，名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有名，喜欢跳水与射击比赛的同学有名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
8.(2025·云南省·同步练习)已知正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·福建省·期中考试)已知复数的实部为，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数
C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限
10.(2025·云南省昭通市·期末考试)下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. “”是“关于的方程有实根”的充要条件
11.(2025·浙江省·单元测试)已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·湖北省·单元测试)将集合，，用列举法表示为 ．
13.(2025·海南省海口市·期末考试)若“ ，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．
14.(2025·河南省·月考试卷)设复数，满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·河南省·单元测试)本小题分
已知复数，，，为虚数单位．
若是纯虚数，求实数的值
若，求的值．
16.(2025·广东省·月考试卷)本小题分
已知，，求和的取值范围；
已知，，求的取值范围．
17.(2025·江苏省·单元测试)本小题分
已知集合，集合，：，：．
当实数为何值时，是的充要条件；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.(2025·广西壮族自治区·单元测试)本小题分
如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为米，长为米，设．
要使矩形花坛的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省？精确到米
当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出最小值．
19.(2025·湖北省孝感市·月考试卷)本小题分
对于四个正数，，，，若，那么称是的“不足序列”．
对于，，，，试求的“不足序列”；
对于四个正数，，，，若是的“不足序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由；
设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“不足序列”，且是的“不足序列”，求：正整数的最小值．
1.【答案】
【解析】解：，所以的虚部为
故选：．
2.【答案】
【解析】解：依题意，，所以，共个元素，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：，可得，
即为，且，可得．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意：，
，
当时，满足题意，此时无解，
，即，
解得：．
当时，要使成立，
此时令有解，
根据二次函数根的分布，
可得，且，即，且或，
解得：或，
综合可得：．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：的解集为，
，是对应方程的两个根，
，
解得，，
则等价为，
即，
解得或，
即不等式的解集为．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人，

由图可知，解得，
所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，且，
．
当且仅当，即，时，等号成立，则．
若不等式对任意实数恒成立，
则，即对任意实数恒成立，
，
．
实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
所以其虚部为，故A正确
，其共轭复数，故B错误
，故C正确
在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】解：对于，例如，满足，但，所以A错误
对于，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以B正确
对于，当且，可得，但，满足，但，所以“且”是“”的充分不必要条件，所以不正确
对于，方程有实根，所以D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】解：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示，
由图知，，从而当时，不等式的解集为，故A正确；
当时，不等式的解集为的形式，故B错误；
由的解集为，知，
因此当，时函数值都是，
由当时函数值是，得，解得或．
当时，由，解得或，不满足，不符合题意，
所以，由，解得或，满足，
此时，故C错误，D正确．
故选AD．
12.【答案】，，
【解析】解：，且，，
为偶数且，
当时，，当时，，当时，．
故答案为：，，．
13.【答案】
【解析】解：命题“，使成立”是假命题，
即“在上恒成立”是真命题，
即，则只需求的最小值即可，
，，
当且仅当，即时等号成立，
故实数的取值范围是．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：设，在复平面内对应的向量为，对应的向量为，
如图所示，
因为，
所以，且三角形为等边三角形，
所以
又因为，
所以，
所以，
所以，故．
故答案为：．
15.【答案】解：，，
因为是纯虚数，
所以，解得．
因为，则
解得，此时，，所以．
【解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的概念，是基础题．
16.【答案】解：，
又，
，
又，
设，得
即
而，

【解析】本题考查了不等式的基本性质，属于中档题
根据不等式的性质求解即可．
由待定系数法配凑后，再利用不等式的性质求解即可得到答案．
17.【答案】解：，即，
有，解得，故B，
因为是的充要条件，
所以，
故的解集也为，
所以，即；
因为是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当，此时即或，符合题意；
当时，当或时，，即，此时，解得，
由当时，，不合题意，所以
当时，，即，此时，解得，
综上所述的取值范围为．
18.【答案】解：由题可知，所以，
又，所以，则 ，
所以， ，
，解得或 ，
因为，所以的长的范围为 ．
当且仅当，即时等号成立，
所以当为米时周长最小，周长为．
，
当且仅当 ，即时等号成立，
所以当为米时，矩形花坛的面积最小，最小为平方米．
19.【答案】解：由，，，
所以的“不足序列”为
由是的“不足序列”，得，
则，即，
同理，即，
所以，
由已知得，
又，，均为正整数，则，
即，则，
又对集合内的每个均成立，
则，所以正整数的最小值为．
下证时满足题意，由可知：，
所以，
再由，
可知：，
即对集合内的每个，总存在正整数，满足题意，
所求正整数的最小值为．
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