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第28章 圆 同步练习卷 2025-2026学年冀教版九年级数学上册
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.如图，是的直径，点，在上若，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为( )
A. B. C. D.
3.如图，已知、是的两条直径，，那么( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，点，，是上的三点若，，则的大小为( )
A. B. C. D.
7.如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动绳索与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的母线长为，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为______结果保留
10.如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止则在此运动过程中，扫过区域的面积是______结果保留
11.如图，已知点是的直径上的一点，过点作弦，使若的度数为，则的度数是 ．
12.将一张长厘米、宽厘米的长方形铁皮卷成一个高为厘米的圆柱形水桶的侧面接头处损耗不计，则水桶底面圆的半径是 厘米用含的式子表示．
13.如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是______．
14.如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为米，则该屋顶弧的弧长为______米结果保留
15.如图，在边长为的正方形中，对角线的中点为，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为______结果保留
16.从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面阴影部分的面积是______结果用表示
三、解答题：本题共6小题，共52分。
17.本小题分
如图，、、、是上的四点，求证：．
18.本小题分
如图，以的边为直径作半圆，分别交，于，两点，连结若是的中点，求证：．
19.本小题分
如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
求证：为圆的直径；
过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．
20.本小题分
如图，是圆的直径，、为圆上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交圆于点，连接、、．
求证：；
设交于点，若，，是弧的中点，求的值
21.本小题分
已知是半圆的直径，，点在半圆上，过点作，垂足为点，的延长线与弦交于点，与半圆交于点点不与点重合．
如图，若，求的长；
如图，若，求的长．
22.本小题分
在内接于，点在上，连结，，分别交于点，，．
求证：．
若．
求证：．
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据直径所对的圆周角是直角得，求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等得出，即可得出结果本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理．
【解答】
解：是的直径，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故选：．
设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
弧对的圆周角是和，
，
故选A．
根据等腰三角形性质求出的度数，根据圆周角定理得出，代入求出即可．
本题考查了等腰三角形性质和圆周角定理的应用，关键是求出的度数和得出．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，垂径定理由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推出，进而得出答案．
【解答】
解：因为直径垂直于弦，
所以，
所以．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：如图，过作于，交于，
，，
，
又，
中，，
．
故选：．
首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而根据垂径定理得出答案．
此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出的长是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．由圆周角定理可得，继而．
【解答】
解：与所对弧为，
由圆周角定理可知：，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解本题的关键．根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
【解答】
解：根据题意得：，
则重物上升了，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解．
【解答】
解：是的直径，
，
，
又，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：该圆锥的侧面积
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10.【答案】
【解析】解：运动路径如图：

故答案为：．
根据题意画出图形如图，将运动路径分为四部分，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．
11.【答案】
【解析】连接、，的度数为，．，．，，，，，的度数是．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元一次方程的应用．
由题意可知，圆柱底面圆的周长为，设底面圆的半径为，列方程求解即可．
【解答】
解：由题意可得：圆柱底面圆的周长为，
设底面圆的半径为，则
，
解得：，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故答案为：．
首先利用圆周角定理求的的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，难度较小．
14.【答案】
【解析】解：过点作于点，交弧于点，
，
米，
在中，，
，
，
该屋顶弧的弧长为米，
故答案为：．
过点作于点，解直角三角形求出，则，根据弧长公式求解即可．
本题考查垂径定理，弧长的计算等知识，解题的关键是掌握垂径定理和弧长公式．
15.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，
由勾股定理得，，
，
图中的阴影部分的面积，
故答案为：．
根据勾股定理求出，得到、的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由条件可知阴影部分的面积是：
．
故答案为：．
根据扇形面积公式，用大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解．
本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
17.【答案】证明：，
，
，
即，
．

【解析】根据，得出，求出，即可证明结论．
18.【答案】略
【解析】略
19.【答案】证明：，
又，
，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
即，
，
为圆的直径；
解：平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，，
，
，
圆的半径长为．
【解析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得到，根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形对角互补得到，从而证得，根据三角形内角和定理求出，最后根据的圆周角所对的弦是直径即可得证；
先证是等边三角形，即可求出，再根据平行线的性质求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得出的长，再在中求出的长，即可得出圆的半径．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理及推论，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
20.【答案】见解析；
．
【解析】证明：如图，连接，
因为是的直径，
所以，即，
又，
所以垂直平分，
所以；
解：如图，连接，
由条件可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
是弧的中点，是的直径，
，
，
是弧的中点，
，
∽，
，
．
连接，利用垂直平分，可得；
连接，利用三角函数求出，再结合∽，可计算出．
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键在于做辅助线，利用角相等证明相似三角形，结合相似比例计算．
21.【答案】解：，
，
，
，
，
在中，，
；
，
，
即，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
【解析】先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长；
根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，再根据垂径定理得到，，所以，于是可计算出，然后利用含度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
22.【答案】证明：延长交于点，连结，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
；
证明：，
，
，
，
，，
又，即，
，
；
解：，，
∽，
，
设，则，
由知，
，
设，则，
由知，
，，
，
，
，
即，，
，
，，
∽，
，
即，
，
解得，
，
．
【解析】延长交于点，连结，利用圆周角定理，三角形外角的性质和垂直的定义解答即可；
利用平行线的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键．
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