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广东省惠州市惠城区第一次2025年初中学业水平模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·惠城模拟）以下是惠州市的场馆标志，其中属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·惠城模拟）截至年4月5日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·惠城模拟）下列四个代数式：、、、，化简后无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·惠城模拟）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体变化前后的三视图，改变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．以上三种视图都改变
5．（2025·惠城模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·惠城模拟）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·惠城模拟）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·惠城模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·惠城模拟）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·惠城模拟）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·惠城模拟）已知方程的两根分别为a和b，则　 　．
12．（2025·惠城模拟）要使得式子有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025·惠城模拟）将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则　 　°．
14．（2025·惠城模拟）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　 　．
15．（2025·惠城模拟）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分．
16．（2025·惠城模拟）已知方程，小张同学是这样解方程的：
解： 第一步（___________）
第二步（___________）
第三步（___________）
显然不成立，故原方程无解．
你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据．
17．（2025·惠城模拟）惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高，已知在C处测得塔顶的仰角，朝塔脚前进米到B点，在B处测得塔顶的仰角，已知，请求出塔高约为多少米．（，结果精确到个位）
18．（2025·惠城模拟）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形．
【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·惠城模拟）甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数．
20．（2025·惠城模拟）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
21．（2025·惠城模拟）（综合与实践）
项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：
【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）
【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：
【问题解决】
任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式．
任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗．
任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？
五、解答题（三）﹔本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·惠城模拟）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．
（1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ；
（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值．
23．（2025·惠城模拟）探究如下问题：
（1）【观察猜想】
①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________（用“>”“<”或“=”填空）．
②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________；
（2）【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B，
③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．）
④如图4，当时，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选C．
【分析】
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题可得：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；无理数的概念
【解析】【解答】解：、、，
化简后无理数有共2个，
故选∶B．
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和化简二次根式，再根据无理数的定义即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体A放到小正方体B的正上方，主视图发生变化，
上层的小正方形由原来位于左边变为右边；
俯视图和左视图都没有发生变化．
故答案为：A．
【分析】
根据三视图的定义，分析几何体变化前后的三视图．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
故选：C．
【分析】
分别按照同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则以及完全平方公式进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
【分析】连接交于点D，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：B．
【分析】
设绫布有x尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱即可列出方程．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两根分别为a和b，
∴
∴
故答案为：4．
【分析】根据韦达定理，则，据此进行求解即可．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0的条件可得关于x的不等式．
13．【答案】54
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为多边形是正五边形，
所以，
∵，
∴，
，
故答案为：54．
【分析】
先求出正五边形的内角，再利用三角形内角和求解．
14．【答案】
【知识点】“二十四点”游戏
【解析】【解答】根据题意得，．
【分析】
根据题意列式求解即可．
15．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】设点A的坐标为∶，，根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可将点B的坐标用含a、k的代数式表示出来，再根据三角形ABC的面积可得关于k的方程，解方程即可求解．
16．【答案】解：小张的解答是正确，依据：第一步“等式的性质”
第二步“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．”
第三步“分式的化简.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则进行求解即可．
17．【答案】解：设为米，∵在中，，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：，
答：塔高约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设为米，在中，，可得到﹐再由，可得到，在中，，利用，求解即可
18．【答案】【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分）
【任务2】
1、角的性质：筝形有一组对角相等．
2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线．
角的性质证明如下：连接，
根据定义
易证，
∴．
故筝形有一组对角相等得证．
对角线的性质证明如下：连接，交点为O
∵
∴A在BD的中垂线上，C在BD的中垂线上，
∴AC为BD的中垂线，
即.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
任务1：根据定义画出图形即可；
任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可；
19．【答案】（1）；
；
；
（2）解：∵ （人），（人），∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值；
（2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案．
（1）解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多，
∴甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
（2）解：∵ （人），（人），
∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
20．【答案】（1）证明：如图所示，连结，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，
，
∴，
∴，
在中，，，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据“同弧对应的圆周角相等”可以得到，然后根据AB是的直径得到，由此即可证明；
（2）在中，利用三角函数计算公式可以计算出x的值，此时即可计算出，在中，解直角三角形即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，，
，
在中，，，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为，则，
在中，，，，
．
21．【答案】任务1：设，
将代入上式得：
解得：
则；
任务2：10；8.
任务3：
设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，
x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、，
经计算买盒花费最少的方案是：
最少要（元）.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务2：A盒底面长宽分别为24，12，
∴底面恰好可以放2个水平的碗，
根据高度为16，
当L=16时，n=5.5，碗最多可以叠放5个，
由于底面能放两个水平的碗，
故A总共可以放10个碗；
B盒的宽和高均为12，此时正方可以容纳一个竖放的碗，
根据长为22，将L=22代入，得到n=8.5，
此时B最多可以放8个碗.
【分析】
任务1：利用待定系数法求出函数解析式即可；
任务2：根据两个盒子的形状，A盒中碗适合平放，B盒中碗适合竖放，根据尺寸求出个数；
任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可.
22．【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：如图，作于，
易证，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
易证，
∴，
又∵∠M=∠N=∠DCB=90°，
易证，
∴，
设DM=x，
∴，CM=，
∵，
解得：（舍），，
∴，
由（2）的结论可得：．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）①∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得证；②证明四边形四边形是平行四边形，得出，即可得证；
（2）作于，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，从而推出，即可得解；
（3）作交的延长线于，作于，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，再由勾股定理求出，从而得出，结合（2）的结论即可得解．
（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，作于，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵（k为常数），
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接，
，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
由（2）的结论可得：．
23．【答案】（1）①；
②抛物线．
（2）解：已知，﹐
∵，
∴，
，
整理得：，
故点P的坐标x与y的关系式：．
（3）解：③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，
则，
由（1）（2）可知，，
∴，
故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切．
④当时，点定，定直线，
过A作⊥y轴于H，过B作⊥y轴于K，
设，则在中，，
∵，
∴，
又由（1）（2）可知，，
∴，
解得：，
同理可得：，
故．
【知识点】圆与函数的综合
【解析】【解答】（1）①∵的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，
∴；
②对应的，如图所示：
通过观察得知它是抛物线．
故答案为：（1）①；②抛物线．
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，
②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答即可；
（2）根据，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式；
（3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，根据梯形中位线证明即可；④过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K，利用三角函数表示出，再计算推理即可．
（1）解：①因为的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，
所以；
②对应的（保留作图痕迹）如图所示：
通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物线．
（2）解：已知，定直线，则﹐
∵，
∴
两边同时平方得：
整理得：
故点P的坐标x与y的关系式：．
（3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，
则，
由（1）（2）可知，，
∴，
故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切．
④当时，点定，定直线，
过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K，
设，则在中，，
∵，
∴，
又由（1）（2）可知，，
∴，
解得：，
同理可得：，
故．
1 / 1广东省惠州市惠城区第一次2025年初中学业水平模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·惠城模拟）以下是惠州市的场馆标志，其中属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选C．
【分析】
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．（2025·惠城模拟）截至年4月5日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题可得：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．（2025·惠城模拟）下列四个代数式：、、、，化简后无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；无理数的概念
【解析】【解答】解：、、，
化简后无理数有共2个，
故选∶B．
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和化简二次根式，再根据无理数的定义即可得到答案．
4．（2025·惠城模拟）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体变化前后的三视图，改变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．以上三种视图都改变
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体A放到小正方体B的正上方，主视图发生变化，
上层的小正方形由原来位于左边变为右边；
俯视图和左视图都没有发生变化．
故答案为：A．
【分析】
根据三视图的定义，分析几何体变化前后的三视图．
5．（2025·惠城模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
故选：C．
【分析】
分别按照同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则以及完全平方公式进行判断即可．
6．（2025·惠城模拟）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
【分析】连接交于点D，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．（2025·惠城模拟）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
8．（2025·惠城模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．（2025·惠城模拟）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：B．
【分析】
设绫布有x尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱即可列出方程．
10．（2025·惠城模拟）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·惠城模拟）已知方程的两根分别为a和b，则　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两根分别为a和b，
∴
∴
故答案为：4．
【分析】根据韦达定理，则，据此进行求解即可．
12．（2025·惠城模拟）要使得式子有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0的条件可得关于x的不等式．
13．（2025·惠城模拟）将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则　 　°．
【答案】54
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为多边形是正五边形，
所以，
∵，
∴，
，
故答案为：54．
【分析】
先求出正五边形的内角，再利用三角形内角和求解．
14．（2025·惠城模拟）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　 　．
【答案】
【知识点】“二十四点”游戏
【解析】【解答】根据题意得，．
【分析】
根据题意列式求解即可．
15．（2025·惠城模拟）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】设点A的坐标为∶，，根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可将点B的坐标用含a、k的代数式表示出来，再根据三角形ABC的面积可得关于k的方程，解方程即可求解．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分．
16．（2025·惠城模拟）已知方程，小张同学是这样解方程的：
解： 第一步（___________）
第二步（___________）
第三步（___________）
显然不成立，故原方程无解．
你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据．
【答案】解：小张的解答是正确，依据：第一步“等式的性质”
第二步“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．”
第三步“分式的化简.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则进行求解即可．
17．（2025·惠城模拟）惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高，已知在C处测得塔顶的仰角，朝塔脚前进米到B点，在B处测得塔顶的仰角，已知，请求出塔高约为多少米．（，结果精确到个位）
【答案】解：设为米，∵在中，，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：，
答：塔高约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设为米，在中，，可得到﹐再由，可得到，在中，，利用，求解即可
18．（2025·惠城模拟）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形．
【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明．
【答案】【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分）
【任务2】
1、角的性质：筝形有一组对角相等．
2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线．
角的性质证明如下：连接，
根据定义
易证，
∴．
故筝形有一组对角相等得证．
对角线的性质证明如下：连接，交点为O
∵
∴A在BD的中垂线上，C在BD的中垂线上，
∴AC为BD的中垂线，
即.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
任务1：根据定义画出图形即可；
任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可；
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·惠城模拟）甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数．
【答案】（1）；
；
；
（2）解：∵ （人），（人），∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值；
（2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案．
（1）解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多，
∴甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
（2）解：∵ （人），（人），
∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
20．（2025·惠城模拟）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连结，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，
，
∴，
∴，
在中，，，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据“同弧对应的圆周角相等”可以得到，然后根据AB是的直径得到，由此即可证明；
（2）在中，利用三角函数计算公式可以计算出x的值，此时即可计算出，在中，解直角三角形即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，，
，
在中，，，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为，则，
在中，，，，
．
21．（2025·惠城模拟）（综合与实践）
项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：
【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）
【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：
【问题解决】
任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式．
任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗．
任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？
【答案】任务1：设，
将代入上式得：
解得：
则；
任务2：10；8.
任务3：
设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，
x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、，
经计算买盒花费最少的方案是：
最少要（元）.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务2：A盒底面长宽分别为24，12，
∴底面恰好可以放2个水平的碗，
根据高度为16，
当L=16时，n=5.5，碗最多可以叠放5个，
由于底面能放两个水平的碗，
故A总共可以放10个碗；
B盒的宽和高均为12，此时正方可以容纳一个竖放的碗，
根据长为22，将L=22代入，得到n=8.5，
此时B最多可以放8个碗.
【分析】
任务1：利用待定系数法求出函数解析式即可；
任务2：根据两个盒子的形状，A盒中碗适合平放，B盒中碗适合竖放，根据尺寸求出个数；
任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可.
五、解答题（三）﹔本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·惠城模拟）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．
（1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ；
（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值．
【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：如图，作于，
易证，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
易证，
∴，
又∵∠M=∠N=∠DCB=90°，
易证，
∴，
设DM=x，
∴，CM=，
∵，
解得：（舍），，
∴，
由（2）的结论可得：．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）①∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得证；②证明四边形四边形是平行四边形，得出，即可得证；
（2）作于，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，从而推出，即可得解；
（3）作交的延长线于，作于，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，再由勾股定理求出，从而得出，结合（2）的结论即可得解．
（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，作于，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵（k为常数），
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接，
，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
由（2）的结论可得：．
23．（2025·惠城模拟）探究如下问题：
（1）【观察猜想】
①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________（用“>”“<”或“=”填空）．
②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________；
（2）【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B，
③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．）
④如图4，当时，求证：．
【答案】（1）①；
②抛物线．
（2）解：已知，﹐
∵，
∴，
，
整理得：，
故点P的坐标x与y的关系式：．
（3）解：③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，
则，
由（1）（2）可知，，
∴，
故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切．
④当时，点定，定直线，
过A作⊥y轴于H，过B作⊥y轴于K，
设，则在中，，
∵，
∴，
又由（1）（2）可知，，
∴，
解得：，
同理可得：，
故．
【知识点】圆与函数的综合
【解析】【解答】（1）①∵的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，
∴；
②对应的，如图所示：
通过观察得知它是抛物线．
故答案为：（1）①；②抛物线．
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，
②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答即可；
（2）根据，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式；
（3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，根据梯形中位线证明即可；④过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K，利用三角函数表示出，再计算推理即可．
（1）解：①因为的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，
所以；
②对应的（保留作图痕迹）如图所示：
通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物线．
（2）解：已知，定直线，则﹐
∵，
∴
两边同时平方得：
整理得：
故点P的坐标x与y的关系式：．
（3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，
则，
由（1）（2）可知，，
∴，
故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切．
④当时，点定，定直线，
过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K，
设，则在中，，
∵，
∴，
又由（1）（2）可知，，
∴，
解得：，
同理可得：，
故．
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