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广东省江门市台山市2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025·台山模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·台山模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．（2025·台山模拟）已知，与互为余角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴．
故选B．
【分析】
根据余角的定义列式计算即可．
4．（2025·台山模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
5．（2025·台山模拟）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）．
A．a＋c＞b＋c； B．c－a＞c－b； C．ac＞bc； D．．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
B，∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴-a+c＜-b+c，
故此选项错误；
C，∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D，∵a＞b，c＜0，
∴，
故此选项错误；
故选A．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·台山模拟）如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，，
，
．
故选：C．
【分析】
根据平角等定义求出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
7．（2025·台山模拟）定义：．已知，，则（　　）
A． B．8 C． D．32
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
8．（2025·台山模拟）已知一次函数的图象经过.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过
∵
∴当 时，1＞a
即一次函数，y随x的增大而减小
故k＜0
一次函数的图象与x轴交于负半轴
故一次函数图象经过二、三、四象限
∴b＜0
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象及性质，利用数形结合思想即可作答.
9．（2025·台山模拟）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
【分析】根据三角形重心性质可得，，，再根据余弦定义可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．（2025·台山模拟）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（　　）
A．这次随机抽样调查一共抽取了200份样本；
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人；
C．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人；
D．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是．
【答案】D
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】用篮球人数除以占比得出调查总人数为，再得出喜欢羽毛球的人数，喜欢跳绳的人数以及最喜欢排球的人数占比，用样本估计1600人当中喜欢排球的人数，通过跳绳人数占总人数的比来求圆心角度数．
【解答】
解：，
这次调查的样本容量为；
最喜欢羽毛球的有（人），
最喜欢排球的有（人），
（人）；
，
跳绳所对应的圆心角是；
（人），
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人.
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·台山模拟）计算：　 　．
【答案】3
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：；
故答案为：3．
【分析】
直接根据除法法则进行计算即可．
12．（2025·台山模拟）因式分解： =　 　
【答案】2x（x+2）（x－2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题首先提取公因式2x，然后再利用平方差公式进行因式分解．
13．（2025·台山模拟）如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件　 　，使得和全等（写出一个即可）．
【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，，
若添加条件为，可根据HL判定全等；
若添加条件为∠D=∠C，可根据ASA判定全等；
若添加条件为∠DBF=∠CAE，可根据AAS判定全等；
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
14．（2025·台山模拟）如图，为的直径．平分，与交于点，．若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案为： ．
【分析】
先利用圆周角定理的推论，求得∠ACB=90°，然后利用角平分线的意义求得∠DBC=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得EC，再求出的面积．
15．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为　 　．
【答案】-8
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，∴EB∥DC，AD=BC，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴OC=BC，∴，
∴∴，
∵k<0，∴；
故答案为：．
【分析】
先证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．（2025·台山模拟）计算：．
【答案】解：

【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行计算即可．
17．（2025·台山模拟）某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在
（1）确定值；
（2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？
【答案】（1）根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据（1）可知：，
当y=1920时，得：
，
解得：．
答：商品价格每件应定为24元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）写出利润与售价x的函数关系式，当利润是1920元时，就得到关于x的方程，从而求解．
（1）解：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为，
∴根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据解析（1）可知：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为：，
∵每月获利为1920元，
∴，
解得：．
答：为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元．
18．（2025·台山模拟）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高 请说明理由 (写出一条理由即可)；
（3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名
【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）（名）
【知识点】扇形统计图；常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：将8年级抽取学生的得分从低到高排列，则第5个和第6个分数的平均数则为中位数，
八年级“了解”的数据：82，82，82，89；八年级“不了解”的数据有；
八年级“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
【分析】
（1）由题可推得八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发回答即可；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·台山模拟）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1．
（1）求该拋物线所对应的函数解析式；
（2）连接，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：设抛物线的交点式为，
将点代入得：，
解得：，
；
（2）解：如图，连接，
将代入，
得，
，
∴CP∥AB，四边形CABP为梯形，
∴OC=4，AB=3，CP=1，
=8
四边形的面积为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可；
（2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求证CABP为梯形再利用梯形面积公式求解即可．
（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
；
（2）解：如图，连接，
将代入，得，
点的坐标为，
抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
，，，
，
四边形的面积为8．
20．（2025·台山模拟）如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的半径长．
【答案】（1）与相切，
理由如下：如图，连接，
∵ 且平分 ，
∴∠ABC=∠CBD，2∠ABC=∠ABD，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠ABD，
∴CO∥DB，
∴∠ACO=∠D=90°，
与相切
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，CO∥DB，
，
，
，
，
的半径长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案；
（2）先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
（1）解：与相切．
理由如下：如图，连接，
，
.
平分，
，
，
，
.
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，，
又，
，
，
，
，
的半径长为．
21．（2025·台山模拟）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
（1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
（2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，
根据题意，得．
．
．
（舍），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（2025·台山模拟）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离．
【探索】
①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则 ▲ ．（用含的代数式表示）
②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则 ▲ ．
【应用】
如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值．
【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？
【答案】【探索】：①；
②；
【应用】：
∵草坪倾斜角为，
∴解析式为：，
设N横坐标为a，
则，
当时，最大，；
∵，
∴此时最大，；
【拓展】：
∵圆弧与y轴相切，
∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，
此时最大，即最大，，
则，
则．
【知识点】垂径定理；解直角三角形；二次函数的实际应用-喷水问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：【探索】：
①由题意得：；
故答案为：；
②设直线l和x轴的夹角为，
由直线l的表达式知：，
则，
即，
故答案为：；
【分析】【探索】①根据两点间距离即可求出答案.
②设直线l和x轴的夹角为，由直线l的表达式知：，再根据余弦定义即可求出答案.
【应用】求出 解析式为：，设N横坐标为a，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
【应用】 根据切线性质圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·台山模拟）（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解∶ ∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ．（定角）
∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ．
（2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
【答案】解：（1）①28，②90°； 4；
（2）4；
（3）①结论：；
理由如下：
∵AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，
∴，
∴，
∠CDF+∠DEA=∠DAE+∠DEA=90°，
∴；
②如图4，连接交于点O，
∵点P在运动中保持，
∴点P的运动路径是以为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；定点定长辅助圆模型；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】（1）①如图1，

∵A为圆心，
∴．
②，
如图2，连接交于点P，
由图可知，OC=10，OP=OB=6
当点P在运动时，有PC≥OC-PO，
∴PC≥10-6=4；
（2）如图3，连接，
由对称性，
∴，
∴M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M在线段上时，，
∵，
∴，
∴≥．
故答案为：（1）①28，②90°； 4；（2）4；
【分析】（1）①根据圆的定义构造辅助圆，运用圆周角定理即可得出；②根据“直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上”可以构造辅助圆，然后列出不等式PC≥OC-PO，代入计算即可；
（2）根据对称性得出，然后构造辅助圆，运用圆的性质列出不等式，最后代入计算即可解答；
（3）①利用SAS证明出，进而推出∠DAE+∠DEA=90°，最后得出答案；②因为点P在运动中保持，得出点P的运动路径是以为直径的圆的，最后利用弧长公式计算即可．
1 / 1广东省江门市台山市2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025·台山模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2025·台山模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
3．（2025·台山模拟）已知，与互为余角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·台山模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
5．（2025·台山模拟）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）．
A．a＋c＞b＋c； B．c－a＞c－b； C．ac＞bc； D．．
6．（2025·台山模拟）如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·台山模拟）定义：．已知，，则（　　）
A． B．8 C． D．32
8．（2025·台山模拟）已知一次函数的图象经过.若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·台山模拟）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·台山模拟）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（　　）
A．这次随机抽样调查一共抽取了200份样本；
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人；
C．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人；
D．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·台山模拟）计算：　 　．
12．（2025·台山模拟）因式分解： =　 　
13．（2025·台山模拟）如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件　 　，使得和全等（写出一个即可）．
14．（2025·台山模拟）如图，为的直径．平分，与交于点，．若，则的面积为　 　．
15．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．（2025·台山模拟）计算：．
17．（2025·台山模拟）某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在
（1）确定值；
（2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？
18．（2025·台山模拟）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高 请说明理由 (写出一条理由即可)；
（3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·台山模拟）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1．
（1）求该拋物线所对应的函数解析式；
（2）连接，，，求四边形的面积．
20．（2025·台山模拟）如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的半径长．
21．（2025·台山模拟）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
（1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
（2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（2025·台山模拟）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离．
【探索】
①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则 ▲ ．（用含的代数式表示）
②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则 ▲ ．
【应用】
如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值．
【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？
23．（2025·台山模拟）（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解∶ ∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ．（定角）
∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ．
（2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴．
故选B．
【分析】
根据余角的定义列式计算即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
B，∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴-a+c＜-b+c，
故此选项错误；
C，∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D，∵a＞b，c＜0，
∴，
故此选项错误；
故选A．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，，
，
．
故选：C．
【分析】
根据平角等定义求出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过
∵
∴当 时，1＞a
即一次函数，y随x的增大而减小
故k＜0
一次函数的图象与x轴交于负半轴
故一次函数图象经过二、三、四象限
∴b＜0
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象及性质，利用数形结合思想即可作答.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
【分析】根据三角形重心性质可得，，，再根据余弦定义可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】用篮球人数除以占比得出调查总人数为，再得出喜欢羽毛球的人数，喜欢跳绳的人数以及最喜欢排球的人数占比，用样本估计1600人当中喜欢排球的人数，通过跳绳人数占总人数的比来求圆心角度数．
【解答】
解：，
这次调查的样本容量为；
最喜欢羽毛球的有（人），
最喜欢排球的有（人），
（人）；
，
跳绳所对应的圆心角是；
（人），
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人.
故选：D．
11．【答案】3
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：；
故答案为：3．
【分析】
直接根据除法法则进行计算即可．
12．【答案】2x（x+2）（x－2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题首先提取公因式2x，然后再利用平方差公式进行因式分解．
13．【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，，
若添加条件为，可根据HL判定全等；
若添加条件为∠D=∠C，可根据ASA判定全等；
若添加条件为∠DBF=∠CAE，可根据AAS判定全等；
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案为： ．
【分析】
先利用圆周角定理的推论，求得∠ACB=90°，然后利用角平分线的意义求得∠DBC=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得EC，再求出的面积．
15．【答案】-8
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，∴EB∥DC，AD=BC，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴OC=BC，∴，
∴∴，
∵k<0，∴；
故答案为：．
【分析】
先证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．

16．【答案】解：

【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行计算即可．
17．【答案】（1）根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据（1）可知：，
当y=1920时，得：
，
解得：．
答：商品价格每件应定为24元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）写出利润与售价x的函数关系式，当利润是1920元时，就得到关于x的方程，从而求解．
（1）解：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为，
∴根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据解析（1）可知：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为：，
∵每月获利为1920元，
∴，
解得：．
答：为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元．
18．【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）（名）
【知识点】扇形统计图；常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：将8年级抽取学生的得分从低到高排列，则第5个和第6个分数的平均数则为中位数，
八年级“了解”的数据：82，82，82，89；八年级“不了解”的数据有；
八年级“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
【分析】
（1）由题可推得八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发回答即可；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
19．【答案】（1）解：设抛物线的交点式为，
将点代入得：，
解得：，
；
（2）解：如图，连接，
将代入，
得，
，
∴CP∥AB，四边形CABP为梯形，
∴OC=4，AB=3，CP=1，
=8
四边形的面积为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可；
（2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求证CABP为梯形再利用梯形面积公式求解即可．
（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
；
（2）解：如图，连接，
将代入，得，
点的坐标为，
抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
，，，
，
四边形的面积为8．
20．【答案】（1）与相切，
理由如下：如图，连接，
∵ 且平分 ，
∴∠ABC=∠CBD，2∠ABC=∠ABD，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠ABD，
∴CO∥DB，
∴∠ACO=∠D=90°，
与相切
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，CO∥DB，
，
，
，
，
的半径长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案；
（2）先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
（1）解：与相切．
理由如下：如图，连接，
，
.
平分，
，
，
，
.
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，，
又，
，
，
，
，
的半径长为．
21．【答案】（1）如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，
根据题意，得．
．
．
（舍），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
22．【答案】【探索】：①；
②；
【应用】：
∵草坪倾斜角为，
∴解析式为：，
设N横坐标为a，
则，
当时，最大，；
∵，
∴此时最大，；
【拓展】：
∵圆弧与y轴相切，
∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，
此时最大，即最大，，
则，
则．
【知识点】垂径定理；解直角三角形；二次函数的实际应用-喷水问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：【探索】：
①由题意得：；
故答案为：；
②设直线l和x轴的夹角为，
由直线l的表达式知：，
则，
即，
故答案为：；
【分析】【探索】①根据两点间距离即可求出答案.
②设直线l和x轴的夹角为，由直线l的表达式知：，再根据余弦定义即可求出答案.
【应用】求出 解析式为：，设N横坐标为a，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
【应用】 根据切线性质圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解：（1）①28，②90°； 4；
（2）4；
（3）①结论：；
理由如下：
∵AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，
∴，
∴，
∠CDF+∠DEA=∠DAE+∠DEA=90°，
∴；
②如图4，连接交于点O，
∵点P在运动中保持，
∴点P的运动路径是以为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；定点定长辅助圆模型；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】（1）①如图1，

∵A为圆心，
∴．
②，
如图2，连接交于点P，
由图可知，OC=10，OP=OB=6
当点P在运动时，有PC≥OC-PO，
∴PC≥10-6=4；
（2）如图3，连接，
由对称性，
∴，
∴M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M在线段上时，，
∵，
∴，
∴≥．
故答案为：（1）①28，②90°； 4；（2）4；
【分析】（1）①根据圆的定义构造辅助圆，运用圆周角定理即可得出；②根据“直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上”可以构造辅助圆，然后列出不等式PC≥OC-PO，代入计算即可；
（2）根据对称性得出，然后构造辅助圆，运用圆的性质列出不等式，最后代入计算即可解答；
（3）①利用SAS证明出，进而推出∠DAE+∠DEA=90°，最后得出答案；②因为点P在运动中保持，得出点P的运动路径是以为直径的圆的，最后利用弧长公式计算即可．
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