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广东省湛江市雷州市三校2025年中考二模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025·雷州模拟）实数的绝对值是，则实数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·雷州模拟）我国航天技术全球领先.2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样后起飞，飞 越38万公里返回地面．将数据38万用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·雷州模拟）下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·雷州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雷州模拟）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雷州模拟）如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（　　）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
7．（2025·雷州模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．点一定在第四象限
B．点到轴的距离为6
C．若中，则点在轴上
D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
8．（2025·雷州模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·雷州模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·雷州模拟）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025·雷州模拟）函数的自变量x的取值范围是 　 　．
12．（2025·雷州模拟）反比例函数的图象在第　 　象限．
13．（2025·雷州模拟）关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是　 　．
14．（2025·雷州模拟）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为　 　．
15．（2025·雷州模拟）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为　 　（用含m，n的代数式表示）
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025·雷州模拟）（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（2025·雷州模拟）正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率．
18．（2025·雷州模拟）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
（1）请分别写出与之间的函数关系式；
（2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025·雷州模拟）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
20．（2025·雷州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
21．（2025·雷州模拟）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．
（1）求证：是的切线；
（2）求的度数；
（3）若点N是的中点，且，求的长．
五、解答题（13+14分，共27分）
22．（2025·雷州模拟）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
（1）求抛物线M的表达式和点A的坐标；
（2）点F是线段上一动点，求周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
23．（2025·雷州模拟）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是.
故选：D．
【分析】
根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将38万写成科学记数法的形式，得到：38万=380000=3.8×105.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是将一个数表示为a × 10n形式，其中 1≤| a |<10，且 n 为整数， 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
故选：A．
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则计算即可求解．
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．平均数和众数均不能得出，方差由平均数决定，故不能得出；而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数， .
故选：A．
【分析】
根据平均数、方差、中位数、众数的定义解答即可．
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴点一定在第四象限，
故本选项不符合题意；
B．点到轴的距离为6，
故本选项不符合题意；
C．若中，则或，
即点在轴或轴上，本说法错误，
故本选项符合题意；
D．若，则，
则点一定在第一，第三象限的角平分线上，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】 根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得BE，AE，AB，根据勾股定理逆定理可得，再根据正弦定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④，
故选D.
【分析】根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可判断①；再根据补角可判断②；如图，延长交于K，根据直线平行性质可得，则，根据补角可得∠BEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】四
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
∴图象经过第二、四象限，
当时 ，反比例函数图象在第四象限，
故答案为：四 ．
【分析】
根据反比例函数解图象的性质求解即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组有3个整数解，
，
.
故答案为：.
【分析】先分别求得不等式的解，进而得到不等式组的解集，再通过不等式组的整数解确定a的取值范围.
14．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，过点 作 轴于点，
，
，，
，
，
，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴，
，
．
又 ∵，
．
【分析】
过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长到E，使得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
延长到E，使得．推出，证明，再证明，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
16．【答案】（1）
，
故答案为-4；
（2）
，
把代入，得．
故答案为.
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
17．【答案】（1）50；144
（2）
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
A B C D
A / √ √ √
B √ / √ √
C √ √ / √
D √ √ √ /
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）
解：成绩达到优秀等级的人数为，
【分析】
（1）根据条形统计图及扇形统计图可进行求解；
（2）由（1）可补全条形统计图；
（3）根据题意得出成绩优异的学生占比，然后问题可求解；
（4）列出表格，然后可求解概率．
（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）解：成绩达到优秀等级的人数为，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
A B C D
A / √ √ √
B √ / √ √
C √ √ / √
D √ √ √ /
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
18．【答案】（1）解：与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
19．【答案】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程组的解法，结合“加减消元法”，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”，求得方程组的解，验证即可得到答案．
（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
20．【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接；∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵平分，，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（3）解：，，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；
（2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数；
（3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解．
（1）证明：如图所示，连接；
∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵平分，
，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（3）解：，
，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
22．【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∴点的坐标为
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）P的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【分析】（1）设二次函数表达式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为，设直线的表达式为：，再根据待定系数法将点A，C坐标点爱如解析式可得，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，根据垂直平分线判定定理可得所在直线垂直于y轴，则点的坐标为，根据线段中点可得点G的横坐标为-1，再代入一次函数解析式可得点G的坐标为，根据两点间距离可得DE，DE'，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质设抛物线N的表达式为，将点代入得：，则抛物线N的表达式为，求出顶点P的坐标为，再将代入二次函数解析式可得，作于H，则，根据线中点可得，根据等角对等边可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
1 / 1广东省湛江市雷州市三校2025年中考二模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025·雷州模拟）实数的绝对值是，则实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是.
故选：D．
【分析】
根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解．
2．（2025·雷州模拟）我国航天技术全球领先.2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样后起飞，飞 越38万公里返回地面．将数据38万用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将38万写成科学记数法的形式，得到：38万=380000=3.8×105.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是将一个数表示为a × 10n形式，其中 1≤| a |<10，且 n 为整数， 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．（2025·雷州模拟）下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
4．（2025·雷州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
故选：A．
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则计算即可求解．
5．（2025·雷州模拟）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·雷州模拟）如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（　　）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【答案】A
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．平均数和众数均不能得出，方差由平均数决定，故不能得出；而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数， .
故选：A．
【分析】
根据平均数、方差、中位数、众数的定义解答即可．
7．（2025·雷州模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．点一定在第四象限
B．点到轴的距离为6
C．若中，则点在轴上
D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴点一定在第四象限，
故本选项不符合题意；
B．点到轴的距离为6，
故本选项不符合题意；
C．若中，则或，
即点在轴或轴上，本说法错误，
故本选项符合题意；
D．若，则，
则点一定在第一，第三象限的角平分线上，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】 根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025·雷州模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025·雷州模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得BE，AE，AB，根据勾股定理逆定理可得，再根据正弦定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
10．（2025·雷州模拟）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④，
故选D.
【分析】根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可判断①；再根据补角可判断②；如图，延长交于K，根据直线平行性质可得，则，根据补角可得∠BEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025·雷州模拟）函数的自变量x的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025·雷州模拟）反比例函数的图象在第　 　象限．
【答案】四
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
∴图象经过第二、四象限，
当时 ，反比例函数图象在第四象限，
故答案为：四 ．
【分析】
根据反比例函数解图象的性质求解即可．
13．（2025·雷州模拟）关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组有3个整数解，
，
.
故答案为：.
【分析】先分别求得不等式的解，进而得到不等式组的解集，再通过不等式组的整数解确定a的取值范围.
14．（2025·雷州模拟）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，过点 作 轴于点，
，
，，
，
，
，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴，
，
．
又 ∵，
．
【分析】
过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解．
15．（2025·雷州模拟）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为　 　（用含m，n的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长到E，使得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
延长到E，使得．推出，证明，再证明，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025·雷州模拟）（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
，
故答案为-4；
（2）
，
把代入，得．
故答案为.
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
17．（2025·雷州模拟）正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50；144
（2）
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
A B C D
A / √ √ √
B √ / √ √
C √ √ / √
D √ √ √ /
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）
解：成绩达到优秀等级的人数为，
【分析】
（1）根据条形统计图及扇形统计图可进行求解；
（2）由（1）可补全条形统计图；
（3）根据题意得出成绩优异的学生占比，然后问题可求解；
（4）列出表格，然后可求解概率．
（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）解：成绩达到优秀等级的人数为，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
A B C D
A / √ √ √
B √ / √ √
C √ √ / √
D √ √ √ /
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
18．（2025·雷州模拟）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
（1）请分别写出与之间的函数关系式；
（2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】（1）解：与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025·雷州模拟）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程组的解法，结合“加减消元法”，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”，求得方程组的解，验证即可得到答案．
（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
20．（2025·雷州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
21．（2025·雷州模拟）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．
（1）求证：是的切线；
（2）求的度数；
（3）若点N是的中点，且，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接；∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵平分，，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（3）解：，，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；
（2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数；
（3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解．
（1）证明：如图所示，连接；
∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵平分，
，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（3）解：，
，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
五、解答题（13+14分，共27分）
22．（2025·雷州模拟）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
（1）求抛物线M的表达式和点A的坐标；
（2）点F是线段上一动点，求周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∴点的坐标为
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）P的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【分析】（1）设二次函数表达式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为，设直线的表达式为：，再根据待定系数法将点A，C坐标点爱如解析式可得，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，根据垂直平分线判定定理可得所在直线垂直于y轴，则点的坐标为，根据线段中点可得点G的横坐标为-1，再代入一次函数解析式可得点G的坐标为，根据两点间距离可得DE，DE'，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质设抛物线N的表达式为，将点代入得：，则抛物线N的表达式为，求出顶点P的坐标为，再将代入二次函数解析式可得，作于H，则，根据线中点可得，根据等角对等边可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·雷州模拟）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
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