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河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．若含有x的分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．的实数 B． C．的实数 D．
2．如图，在□ABCD中，下列结论不一定成立的是(　 　)
A．∠1＝∠2 B．AD＝DC C．∠ADC＝∠CBA D．OA＝OC
3．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
4．紫斑牡丹是国家重点一级保护野生植物，其花粉粒类似圆形或椭圆形，直径大小平均（）用“”为单位表示数据“”，可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．关于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象经过点（2，4）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当﹣8＜x＜﹣1时，1＜y＜8
6．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形周长不变 B．
C．四边形面积不变 D．
7．把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．学位要在甲乙丙三人中推荐一名成绩不错且发挥稳定的射箭选手参加市区比赛，下面是他们经过很多次测试获取的统计数据，那么选择选手及选择理由最不充分的是（ ）
选手 平均环数 众数（环） 方差
甲 8.6 8 15
乙 8.5 8 3
丙 8.5 9 10
A．选择甲，因为甲平均环数最高
B．选择甲，因为甲的方差最大
C．选择乙，因为乙的方差最小
D．选择丙，因为丙的众数最大
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，)，则点C的坐标（ ）
A．（-1，） B．（） C． D．（-2，1）
10．如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一组数据：，，，，，，它的众数是 ．
12．如图，平行四边形ABDC中，AD、BC相交于点O，若AC=6，AD+BC=16，则△AOC的周长为 ．
13．学校对学生实行学期综合考评，考评办法是把平时考评成绩、期中成绩、期末成绩分别按计入综合考评成绩．某同学期末数学综合考评成绩为分．已知他期中数学成绩是110分，期末数学成绩是115分，则他平时数学成绩是 分．
14．如图，一次函数与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与，垂足为M、N，若四边形为菱形，则点P的横坐标为 ．
15．如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②；
③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍；
④四边形的周长等于四边形的周长．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）化简：
17．为证明自己的研学效果，多思多想组和实践创新组共180名学生，进行数学综合能力测试后，两组分别随机抽取同样多的人数，对成绩进行整理和分析（试卷满分均为60分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．）．
下面给出了部分信息：
a．多思多想组和实践创新组成绩的统计图如下：
b．多思多想组成绩在D．这一组的成绩是：50，50，51，51，51，52，52，53，53，54．
c．多思多想组和创新实践组成绩的平均数、众数、中位数如下：
组别 平均数 众数 中位数
多思多想组 51 m
创新实践组 53 53
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空： ；
(2)若为优秀，估计两组180人中成绩达到优秀的共 人；
(3)根据上面数据，请你对多思多想组和创新实践组的研学效果做出评价．
18．在平面直角坐标系内，正方形如图摆放，已知顶点，．
(1)过C作轴于E，则和的关系是 ，点C的坐标是 ．
(2)反比例函数经过点C，与直线：交于另一点，求k、m的值，并直接写出时x的取值范围．
19．如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)填空：若，，，则当______时，四边形是菱形．
20．为提升同学们综合实践活动能力，学校计划从市场上购进一批型和型两种品牌活动器材．经考查，型器材比型器材单价多元，投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等．
(1)求型器材和型器材每件售价分别多少元？
(2)学校决定购买型器材和型器材共件，且购买型器材件数不少于型器材的件数．实际购买时，型器材实行九折优惠，型器材预付元定金后每件减免元的优惠．学校购买这批活动器材至少要花费多少元？
21．已知：如图，直线l和l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：①在直线l上任取一点A，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点B；
②分别以点P，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q（不与点A重合）；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)根据你的作图，完成下面的证明，括号内填推理依据．
证明：连接．
∵，
∴四边形是______，（__________）（填推理依据）．
∴（__________）（填推理依据）．
即．
22．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积；
(3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形．
23．中，，D是中点，E是射线上的动点，连接，以、为邻边作，连接．已知．
(1)与的位置关系是 ，数量关系是 ．
(2)当等于多少时，四边形为矩形？说明理由．
(3)若四边形为菱形，直接写出 ．
参考答案
1．A
解：要使分式有意义，分母必须不等于零，即：，
解得：，
因此，的取值范围是的实数，
故选：A．
2．B
A，平行四边形对边平行，则AD∥BC，故有∠1=∠2，正确；
B，平行四边形的邻边不一定相等，则AD=DC，错误；
C，平行四边形的对角相等，则∠ADC=∠CBA ，正确；
D，平行四边形对角线互相平分，则OA=OC，正确.
故选B.
3．D
解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8；
从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8；
从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
综上，中位数和众数都没有改变，
故选：D．
4．C
解：∵，
∴．
故选：C．
5．D
A、因为2×4=8≠﹣8，故本选项错误；
B、因为k=﹣8，所以函数图象位于二、四象限故本选项错误；
C、因为k=﹣8＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、因为当x=﹣8时，y=1，当x=﹣1时，y=8，所以当﹣8＜x＜﹣1时，1＜y＜8，故本选项正确；
故选：D．
6．D
解：由题意可知，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；故D符合题意；
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；
故选：D
7．A
解：把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为：．
故选：A．
8．B
解：A、甲的平均环数最高（8.6），确实成绩更好，理由充分；
B、甲的方差最大（15），方差大代表发挥不稳定，与题目要求的“发挥稳定”矛盾，此理由错误，最不充分；
C、乙的方差最小（3），方差小说明发挥最稳定，且平均环数（8.5）与丙相同，理由合理；
D、丙的众数最大（9），但平均环数与乙相同（8.5），方差更大（10），稳定性较差。虽然众数高有一定优势，但整体理由弱于选项B的错误性．
故选：B．
9．B
解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1）；
故选：B．
10．D
解：如图，连接，交于O，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
11．
解：∵数据，，，，，中，出现的次数最多，
∴它的众数是，
故答案为：．
12．14
【详解】分析:由平行四边形的对角线互相平分可得，OA=AD,OC=BC,从而 OA+OC=8,再由已知AC=6可求出△AOC的周长.
详解: ∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=AD,OC=BC.
∵AD+BC=16，
∴OA+OC=8,
∴△AOC的周长为:OA+OC+AC=8+6=14.
故答案为14.
13．112
解：设他平时数学成绩是x分，
根据题意得：，
解得，
∴他平时数学成绩是112分，
故答案为：112．
14．
解：∵过点P分别作两坐标轴的垂线与，
∴，
∵四边形为菱形，
∴四边形为正方形，
∴，
设，把代入，得：，
解得：；
∴点P的横坐标为．
故答案为：
15．①②④
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
同理四边形是菱形，
∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确；
∴，，又，
∴，故②正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形和菱形等高，
∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍，
则需要，故③错误；
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
同理，
∴四边形的周长四边形的周长，故④正确；
故答案为：①②④．
16．（1）；（2）
解：（1）
（2）
17．(1)补全图见详解，
(2)126
(3)见详解
（1）解：随机抽取同样多的人数为：
（人），
实践创新组等级的人数为
（人），
补全图如下：
多思多想组成绩的第、个数为51，52，
，
故答案为：；
（2）解：时，两组共有人数（人），
（人），
估计两组180人中成绩达到优秀的共人，
故答案为：；
（3）解：两组平均成绩相当，但创新实践组的众数、中位数及优秀率明显高于多思多想组，所以创新实践组研学效果更好一些．
18．(1)全等；
(2)，或
（1）解：在正方形中， ， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为．
故答案为：全等；．
（2）反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，．
根据图象知，时或．
19．(1)见解析
(2)2
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
如图：四边形是菱形时，
∵，平行四边形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
20．(1)型每件售价元，型每件售价元；
(2)学校购买这批活动器材至少要花费元
（1）解：设型每件售价元，则型每件售价元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
当时，
可得：，
答：型每件售价元，型每件售价元；
（2）解：设购买型件，则购买型件，
设学校购买这批活动器材要花费元，根据题意，
解得：；
，
，随增大而增大，
取最小值，
（元），
答：学校购买这批活动器材至少要花费元.
21．(1)见解析
(2)菱形；四边相等的四边形是菱形；菱形的性质
（1）解：根据题意补全作图，如图，
；
（2）证明：如图，连接．
∵，
∴四边形是菱形，（四边相等的四边形是菱形）．
∴（菱形的性质）．
即．
故答案为：菱形；四边相等的四边形是菱形；菱形的性质．
22．(1)，
(2)7.5
(3)见解析
（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：点代入得，
设直线的解析式为，
由得，
∴，
令得，
∴，
∴．
（3）证明：∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
23．(1)平行，相等
(2)当时，四边形为矩形，见解析
(3)8
（1）解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行，相等；
（2）当时，四边形为矩形
理由是：四边形是平行四边形，欲使四边形为菱形为矩形，须有，
是中点，
连接时，，
在中，设，，则由勾股定理得，
解得，
，
反之，，
由勾股定理得，
，
点E在的垂直平分线上，，此时平行四边形为矩形；
（3）如图，四边形是平行四边形，欲使四边形为菱形为菱形，须有，
，即，
，
又，
点E与点B重合，
，
故答案为：8．

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