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河南省洛阳市偃师区2024-2025学年七年级下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．中国探火 B．中国火箭
C． 中国行星探测 D．航天神舟
3．若，则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是 （ ）
A．5m B．15m C．20m D．30m
5．若解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学著作《周髀算经》中有一个数学问题：今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺，乙发邺九日至洛阳．问邺、洛阳相去几何？其大意是：现有甲比乙每日所行路程多25里，甲从洛阳出发后7日到邺城，乙从邺城出发9日后到洛阳．问邺城和洛阳之间的距离是多少？设邺城和洛阳之间的距离为里，根据题意，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中，如花坛边缘、露天步道等，还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料．现有若干正三角形地砖，打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖进行密铺，则不应购买的地砖形状是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
8．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如，将转化为分数时，可设，则，即，解得，即．那么，将转化为分数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
10．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组有且只有两个整数解，则，以上四个结论，正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
11．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ．
12．“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ．
13．如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹可知， ．
14．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为 平方米．
15．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 ．
三、解答题
16．解方程：．
17．解方程组：
18．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
19．如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)已知与成轴对称．请用尺规作图，作出对称轴（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)请利用格点画出将绕点逆时针旋转得到的（点的对称点为，点的对称点为），线段与的位置关系为_______．
20．如图，在中，为边上的高，点E为上一点，连结．
(1)当为边的中线时，若，的面积为40，求的长；
(2)当为的平分线时，若，求的度数．
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买1本甲种书和2本乙种书共需85元；购买2本甲种书和3本乙种书共需145元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买甲，乙两种书共100本，且购书总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
22．【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？
(3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______．
23．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转．
(1)在图1中，________；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒．
参考答案
1．B
解：A．是不等式，不是方程，排除；
B．，化简得，是整式方程且仅含未知数，次数为1，符合条件；
C．含两个未知数，不是一元方程，排除；
D．右边不是整式，不是一元一次方程，排除；
故选B．
2．B
解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合．
故选：B．
3．C
解：A．∵，
∴， 选项正确， 不符合题意；
B．∵，
∴，选项正确，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴， 选项错误， 符合题意；
D．∵，
∴， 选项正确， 不符合题意．
故选： C．
4．D
根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
所以AB的距离不能是30m．
故选：D．
5．A
解：根据解集的图示，可得不等式组为．
故选A．
6．C
解：由题意可列方程：．
故选：C．
7．C
A．正方形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意；
B．正六边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意；
C．正八边形的每个内角是，与不能组成的角，所以不能密铺，选项说法错误，符合题意；
D．正十二边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
8．A
设，
则
解得：
故选：A．
9．B
解：一个正方形面积为，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4=16，故B正确．
故选：B．
10．A
解：①若a＝5，则不等式组为，此不等式组的解集为2＜x≤5，此结论正确；
②若a＝1，则不等式组为，此不等式组无解，此结论正确；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a≤2，此结论正确；
④若不等式组有且只有两个整数解，则4≤a＜5，此结论正确；
故选：A．
11．6
解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
12．
解：根据题意，可列不等式为：，
故答案为：．
13．/55度
解： 由作图方法可知，平分，，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
14．171
解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）．
故答案为：171．
15．/115度
解：由折叠可知：，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
17．
解：（1），
②×2-①×3得：x= ，
把x= 代入①得：-7y=8，
解得：y= ，
则方程组的解为
18．不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2．
解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是，
则不等式组的正整数解是1，2．
19．(1)见详解
(2)见详解，垂直
（1）解：如图，对称轴即为所求．
（2）解：如图，即为所求，根据旋转性质可得．
20．(1)5
(2)
（1）解：∵为边上的高，的面积为40，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)甲种书的单价是35元，乙种书的单价是25元；
(2)该校最多可以购买甲种书50本．
（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得，解得：，
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是25元；
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，
根据题意得：，解得：，
∵m是正整数，∴m的最大值为50．
答：该校最多可以购买甲种书50本．
22．(1)；
(2)
(3)
（1）解：，
①②：，
解得；
①②：，
解得，
故；
（2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元，
依题意得：，
则购买15张过江船票，7张观光船票即为，
，得：，
解得，
故购买15张过江船票，7张观光船票共需元；
（3）解：由题意得：①，
②，
，
可得，
解得．
故
23．(1)
(2)①图见解析，；②或25秒
（1）解：∵，
，
故答案为：；
（2）解：①如图，此时，，
，
∴当等于 165 度时，两个三角形的边与边互相垂直；
②设旋转的时间为秒，由题知，，
当转到与重合时，（秒），
分两种情况：
当转到与重合前，时，
，
当，即，
解得：秒；
当转到与重合后，时，
，
当，即，
解得：秒；
∴当，旋转的时间是或 25 秒．

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