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习题课四　多物体平衡和动态平衡问题
题组一　多物体的平衡问题
1.（多选）如图所示，弹簧测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计。物体A的重力为40 N，物体B的重力为10 N。以下说法正确的是（　　）
A.地面对A的支持力是30 N
B.物体A受到的合外力是30 N
C.弹簧测力计的示数是20 N
D.弹簧测力计的示数是10 N
2.叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则（　　）
A.上方球与下方三个球间均没有弹力
B.下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C.水平地面对下方三个球的支持力均为mg
D.水平地面对下方三个球的摩擦力均为μmg
3.（多选）如图所示，夏日的风中，有四个固定连接起来的大灯笼被吹起来处于静止状态，此时悬挂最上面灯笼的绳子与竖直方向的夹角为β，灯笼序号自上往下依次标记为1、2、3、4，每个灯笼质量均为m，假设每个灯笼所受的水平风力均为f，重力加速度大小为g，则（　　）
A.绳子上的拉力为4mg
B.四个灯笼所受到的水平风力之和可能等于4mg
C.2号灯笼与3号灯笼之间的作用力可能等于2mg
D.3号、4号灯笼之间的作用力为
题组二　物体的动态平衡问题
4.如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A.A的示数不变，B的示数减小
B.A的示数减小，B的示数不变
C.A的示数增大，B的示数减小
D.A的示数减小，B的示数增大
5.如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A.不变 B.逐渐减小
C.逐渐增大 D.先增大后减小
6.如图所示，轻杆一端固定一个轻滑轮，另一端嵌入竖直的墙中。一根轻绳一端连接一个物体，另一端通过滑轮固定在墙上的某一个位置P，把绳子端点P沿墙面向O点缓慢移动，轻杆位置不变，忽略绳子与滑轮的摩擦力，关于轻绳的拉力大小和绳对滑轮作用力的说法正确的是（　　）
A.轻绳的拉力变大
B.绳对滑轮的压力变大
C.绳对滑轮的压力大小始终不变
D.绳对滑轮的压力方向始终沿杆指向墙里
7.如图所示，轻杆A端用铰链固定在墙上，B端吊一重物。通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方（滑轮大小及摩擦均不计），且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前（　　）
A.拉力F增大
B.拉力F大小不变
C.轻杆的弹力增大
D.轻杆的弹力大小不变
8.如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C处于静止状态。则（　　）
A.B、C间的摩擦力一定不为零
B.斜面体C受到水平面的摩擦力一定为零
C.水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D.不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左
9.如图所示，两个完全相同的光滑小球P、Q，放置在墙壁和斜木板之间，当斜木板和竖直墙壁的夹角θ缓慢减小时（θ＜90°），下列说法正确的是（　　）
A.墙壁、木板受到P球的压力均减小
B.墙壁、木板受到P球的压力均增大
C.Q球对P球的压力减小，对木板的压力增大
D.P球受到墙壁弹力减小
10.如图所示，将三根完全相同的轻杆通过铰链组合在一起，一吊炉通过细铁链静止悬挂在三脚架正中央，三脚架正中央离地面高度为h，吊炉和细铁链的总质量为m，支架与铰链间的摩擦忽略不计。下列说法正确的是（　　）
A.吊炉受四个力
B.每根轻杆受到地面的支持力大小为mg
C.减小h时，每根轻杆对地面的压力增大
D.减小h时，每根轻杆对地面的压力减小
11.如图所示，弯折杆PRQ固定在竖直面内，PR水平，QR与PR间的夹角为60°，B球套在杆QR上，一根细线连接A、B两球，另一根细线连接小球A与杆PR上的O点，连接在O点的细线与水平方向的夹角为60°，连接A、B两球的细线与QR杆垂直，B球刚好不下滑。已知A球质量为2m，B球质量为m，两小球均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球B与杆RQ间的动摩擦因数为（　　）
A. B.
C. D.
12.一长L0＝5 cm的橡皮筋，其伸长量与所受的拉力成正比，当橡皮筋受到F1＝2 N的拉力时，其长度变为L1＝9 cm。现将橡皮筋的一端固定在竖直墙壁上，另一端与一质量M＝0.5 kg的滑块连接，滑块放置在长木板上，长木板放置在水平地面上，橡皮筋被拉直时恰好水平，如图所示。现用F＝20 N的水平向右的拉力将长木板从滑块下方拉出，滑块稳定时橡皮筋的长度L2＝7 cm，橡皮筋始终在弹性限度内，取重力加速度大小g＝10 N/kg。
（1）求橡皮筋的劲度系数k；
（2）求滑块与长木板间的动摩擦因数μ；
（3）在滑块上放一质量m＝0.2 kg的砝码后，再将长木板从滑块下方向右缓慢拉出时，求橡皮筋的长度L3。
习题课四　多物体平衡和动态平衡问题
1.AC　先对B受力分析，受重力和绳的拉力，处于平衡状态，则绳的拉力FT＝10 N，再对A受力分析，受重力、绳的拉力、地面的支持力，处于平衡状态，A所受合外力为零，则地面对A的支持力FN＝GA－FT＝30 N，故A正确，B错误；滑轮处于平衡状态，所受合外力为零，根据力的合成可知弹簧测力计的示数为20 N，C正确，D错误。
2.C　将四个球看作一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，设其中一个球受到的支持力大小为FN，因此3FN＝4mg，解得FN＝mg，C正确；最上面的球对下面三个球肯定有压力，即有弹力，A错误；以下方三个球中任意一个球为研究对象，受力分析如图所示，由此可知B错误；由于地面与球之间的摩擦力为静摩擦力，因此不能通过Ff＝μFN求解，D错误。
3.BD　设悬挂最上面灯笼的绳子上的拉力大小为F，对四个灯笼整体分析，根据平衡条件可得Fcos β＝4mg，解得F＝，故A错误；当β＝45°时，有 tan β＝＝1，此时四个灯笼所受到的风力之和为f合＝4mg，故B正确；对3、4号灯笼整体分析可知，2号灯笼与3号灯笼之间的作用力大小为F23＝＞2mg，故C错误；对4号灯笼分析可知，3号与4号灯笼之间的作用力大小为F34＝，故D正确。
4.C　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读数为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
5.B　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不断减小，故选B。
6.B　由于同一根绳子的张力处处相等，故轻绳的拉力一定等于物体的重力G保持不变，故A错误；根据平行四边形定则，两边轻绳的拉力相等，故合力在角平分线上，由于两拉力的夹角不断减小，故两个拉力的合力不断变大，故滑轮受到的压力不断变大，故B正确，C错误。根据前面分析可知，两个拉力的合力在角平分线上，随着两拉力的夹角不断改变，合力方向不断改变，故绳对滑轮的压力方向不可能始终沿杆指向墙里，故D错误。
7.D　以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉力FT（等于重物所受的重力G）、轻杆的弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示。由平衡条件得知，FN和F的合力FT'与FT大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT'＝FT＝G，解得FN＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变小，AB、AO保持不变，BO变小，则轻杆弹力FN保持不变，拉力F变小，故D正确，A、B、C错误。
8.D　若绳子对B的拉力恰好等于B的重力沿斜面向下的分力，则B不受摩擦力，A错误；对B、C构成的整体分析可得，整体受到斜向上的拉力，该拉力在竖直方向上有分力，在水平方向上有分力，整体有相对地面向右运动的趋势，所以必须受到地面向左的摩擦力，水平面对C的支持力小于B、C的总重力，B、C错误，D正确。
9.B　以两个小球整体为研究对象进行受力分析，如图所示。由图可知，墙壁给球的压力F2逐渐增大，挡板给球的支持力F1逐渐增大，根据牛顿第三定律可知墙壁受到的压力增大，木板受到的压力增大，故B正确，A、D错误；以Q为研究对象，P球对Q球的支持力为F3＝mQgcos θ，木板对Q的支持力F4＝mQgsin θ，θ减小，F3增大，F4减小，则Q球对P球的压力增大，对木板的压力减小，故C错误。
10.B　对吊炉进行受力分析可知，吊炉受到重力和细铁链的拉力两个力的作用，故A错误；将整个装置视为整体，对整体进行受力分析，由于支架完全相同且均匀分布，故地面对每根支架的支持力大小相等，根据平衡条件得3F＝mg，即F＝，结合牛顿第三定律可知，减小h时，每根轻杆对地面的压力不变，故B正确，C、D错误。
11.B　设连接O点的细线拉力为F1，连接小球B的细线拉力为F2，以A球为研究对象，受力分析如图所示，有F1cos 30°＝2mg＋F2cos 60°，F1sin 30°＝F2sin 60°，解得F2＝2mg，以B球为研究对象有mgsin 60°＝μ（F2－mgcos 60°），解得μ＝，故选B。
12.（1）50 N/m　（2）0.2　（3）7.8 cm
解析：（1）由于橡皮筋的伸长量与所受的拉力成正比，有F1＝k（L1－L0），解得k＝50 N/m。
（2）当橡皮筋的长度为L2时，橡皮筋受到的拉力大小为F2＝k（L2－L0），长木板被拉出时滑块处于静止状态，可知滑块受到的滑动摩擦力大小等于橡皮筋上的拉力，即F2＝Ff＝μMg，联立解得μ＝0.2。
（3）在滑块上放砝码后，再将长木板从滑块下方向右缓慢拉出的过程，滑块及砝码整体处于平衡状态，可得μ（M＋m）g＝k（L3－L0），解得L3＝7.8 cm。
4 / 4习题课四　多物体平衡和动态平衡问题
要点一　多物体的平衡问题
　多物体平衡的处理方法：整体法和隔离法
（1）如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；
（2）如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，对有关物体单独分析。
【典例1】　如图所示，A球的重力G1＝60 N，斜面体B的重力G2＝100 N，斜面体倾角为30°，一切摩擦均不计。则水平力F为多大时，才能使A、B均处于静止状态？求此时竖直墙壁和水平面受到的压力大小。
尝试解答
1.如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m之间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A.M对m的摩擦力方向向左
B.M对m无摩擦力作用
C.地面对M的摩擦力方向向右
D.地面对M无摩擦力作用
2.（多选）如图所示，一轻弹簧的两端栓接着A、B两物体，其重力分别是GA＝8 N，GB＝4 N，静止放置在倾角为30°、底端带挡板的足够长光滑斜面上。现用平行于斜面的力F施加在B物体上并缓慢往上拉，当物体B上移20 cm时，物体A即将向上运动，已知弹簧始终在弹性限度内，则以下说法正确的是（　　）
A.施加F前，A对挡板的压力大小为12 N
B.施加F前后，B对斜面的压力大小始终为2 N
C.轻弹簧的劲度系数为30 N/m
D.从施加力F到A即将向上运动的过程中，F不断增大
要点二　物体的动态平衡问题
方法（一）　解析法
解题思路
（1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
（2）根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。
【典例2】　（多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无论旧时还是现在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所示，直角支架固定在竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在轻质细绳上，细绳的一端固定在支架水平部分的C点，另一端固定在支架竖直部分的B点，系统处于平衡状态，此时细绳上的拉力大小为F1；当细绳的竖直固定端点B下移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F2；当细绳的水平固定端点C右移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F3；不计空气对灯笼的影响，细绳的长度始终不变，则关于F1、F2、F3的大小关系正确的是（　　）
A.F1＜F2 B.F1＝F2
C.F1＜F3 D.F1＞F3
尝试解答
方法（二）　图解法
1.适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
2.解题思路
（1）确定研究对象，作出受力分析图。
（2）明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化。
（3）将三力首尾连接，构造出矢量三角形；或将某力根据其作用效果进行分解，画出平行四边形。
（4）根据已知量的变化情况，判断有向线段（表示力）的变化，从而确定各个力的变化情况。
【典例3】　如图，用OA、OB两根轻绳将质量为m的花盆悬于两竖直墙之间，开始时OA与竖直墙壁夹角为60°，OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳的长度使绳右端由B点缓慢上移至B'点，此时OB'与OA之间的夹角θ＜90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB（重力加速度为g），则（　　）
A.FOA、FOB的合力将增大
B.FOA先减小后增大
C.FOB先增大后减小
D.FOB最小为mg
尝试解答
方法（三）　相似三角形法
1.适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直。
2.解题思路：找到物体受力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化，从而得到力的变化。
【典例4】　如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平。现将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中（小球P未到达半球最高点前），下列说法正确的是（　　）
A.弹簧长度不变
B.弹簧变长
C.小球对半球形物体的压力不变
D.小球对半球形物体的压力变大
尝试解答
1.如图所示，A、B两物体重力都等于10 N，各接触面间的动摩擦因数都等于0.3，同时有F＝1 N的两个水平力分别作用在A和B上，A和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　）
A.6 N，3 N B.1 N，1 N
C.0，1 N D.0，2 N
2.内壁光滑的圆筒竖直放置在水平地面上，质量分布均匀的两个光滑圆球A、B放在圆筒内，A球的质量和半径均小于B球，第一次放置位置如图甲所示，第二次放置位置如图乙所示。图甲中A球对筒壁的压力大小为FN1，B球对筒底的压力大小为F1；图乙中B球对筒壁的压力大小为FN2，A球对筒底的压力大小为F2。则（　　）
A.FN1＞FN2 B.FN1＜FN2
C.F1＞F2 D.F1＜F2
3.一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。重力加速度为g。则拉力F（　　）
A.方向可能在图中Ⅰ区域内
B.方向可能在图中Ⅱ区域内
C.最小值为mgcos θ
D.最小值为mgtan θ
4.（多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（　　）
A.轻绳OA受到的拉力大小为mg
B.轻杆OB受到的弹力大小为mg
C.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
习题课四　多物体平衡和动态平衡问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　20 N　20 N　160 N
解析：方法一：隔离法
分别对球A、斜面体B进行受力分析，如图甲、乙所示，建立平面直角坐标系
由共点力的平衡条件知
对A有F2sin 30°＝F1，F2cos 30°＝G1
对B有F＝F2'sin 30°，F3＝F2'cos 30°＋G2
其中F2和F2'是一对相互作用力，即F2、F2'大小相等，代入数据，联立解得
F＝F1＝20 N，F3＝160 N
由力的相互性可知，竖直墙壁和水平面受到的压力大小分别为20 N、160 N。
方法二：整体法
将A、B视为一个整体，该整体处于静止状态，所受合力为零。对整体进行受力分析，如图丙所示，由平衡条件得F＝F1，F3＝G1＋G2＝160 N
再隔离B进行受力分析，如图乙所示，由平衡条件可得
F＝F2'sin 30°，F3＝F2'cos 30°＋G2
联立解得F2'＝40 N，F1＝F＝20 N
由力的相互性可知，竖直墙壁和水平面受到的压力大小分别为20 N、160 N。
素养训练
1.D　对m受力分析，m受到重力、支持力、水平向左的弹力，根据平衡条件知，还受M对m向右的摩擦力，摩擦力方向向右，故A、B错误；对整体受力分析，在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所以地面对M无摩擦力作用，故C错误，D正确。
2.BCD　施加力F前，用整体法可知，挡板对整体的支持力为F1＝（GA＋GB）sin 30°＝6 N，则由牛顿第三定律可知A对挡板的压力大小为6 N，选项A错误；因F和弹簧弹力均平行于斜面，则B所受的支持力不变，恒为F2＝GBcos 30°＝2 N，则选项B正确；施加力F之前，弹簧的压缩量设为x1，对B物体有kx1＝GBsin 30°，A物体即将向上运动时，弹簧的伸长量设为x2，此时，对A物体有kx2＝GAsin 30°，由题意有x1＋x2＝＝20 cm，代入数据得k＝30 N/m，则选项C正确；物体B缓慢上移的过程中，弹簧由压缩态变为伸长态，对B的弹力先向上减小后向下增加，则拉力F一直变大，选项D正确。
要点二
知识精研
【典例2】　BD　设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相等，设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条件可知2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ（d为C点到竖直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F不变，即F1＝F2，当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减小，则θ角减小，cos θ变大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
【典例3】　D　根据平衡条件可知，FOA、FOB的合力始终与花盆的重力平衡，所以不变，故A错误；花盆在重力mg、FOA、FOB三力作用下处于动态平衡状态，作出一系列矢量三角形，如图所示，由图可知FOA一直减小，FOB先减小后增大，且当FOB垂直于FOA时有最小值，为FOBmin＝mgsin 60°＝mg，故B、C错误，D正确。
【典例4】　C　以小球为研究对象，分析小球受力情况：受重力G、细绳的拉力FT和半球形物体的支持力FN，作出FN、FT的合力F，由平衡条件得F＝G。由三角形相似可得＝＝。将F＝G代入得FN＝G，FT＝G，将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中，DO、PO是恒定不变的，G也不变，PD变小，可见FT变小，FN不变，即弹簧的弹力变小，弹簧变短，由牛顿第三定律知小球对半球形物体的压力不变，故C正确，A、B、D错误。
【教学效果·勤检测】
1.C　A、B均静止，应用整体法，A、B整体水平方向所受外力大小相等、方向相反，故地面对B无摩擦力。以A为研究对象，水平方向必受大小与F相等、方向与F相反的静摩擦力，即B对A的摩擦力大小为1 N，故C正确。
2.B　对A、B整体进行分析有F1＝F2＝g，C、D错误；由几何关系可知，甲、乙两图中两球心连线与竖直方向的夹角相同，设为θ，根据力的平衡条件可知FN1＝mAgtan θ，FN2＝mBgtan θ，又mA＜mB，解得FN1＜FN2，A错误，B正确。
3.B　小球受竖直向下的重力mg和沿细线向上的拉力FT以及拉力F，三力平衡，则力F必在mg和FT夹角的对角范围内，即在图中的Ⅱ区域，当力F与FT垂直时，F最小，最小值为Fmin＝mgsin θ，故选B。
4.AC　对小球进行受力分析，力的矢量三角形如图所示。由几何关系可知FTOA＝FTOB＝mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，故C正确，D错误。
4 / 4(共56张PPT)
习题课四　
多物体平衡和动态平衡问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　多物体的平衡问题
　多物体平衡的处理方法：整体法和隔离法
（1）如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体法，
这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；
（2）如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，对
有关物体单独分析。
【典例1】　如图所示，A球的重力G1＝60 N，斜面体B的重力
G2＝100 N，斜面体倾角为30°，一切摩擦均不计。则水平力F
为多大时，才能使A、B均处于静止状态？求此时竖直墙壁和水
平面受到的压力大小。
答案：20 N　20 N　160 N
解析：方法一：隔离法
分别对球A、斜面体B进行受
力分析，如图甲、乙所示，
建立平面直角坐标系
由共点力的平衡条件知
对A有F2sin 30°＝F1，F2cos30°＝G1
对B有F＝F2'sin 30°，F3＝F2'cos 30°＋G2
其中F2和F2'是一对相互作用力，即F2、F2'大小相等，代入数据，联立解得F＝F1＝20 N，F3＝160 N
由力的相互性可知，竖直墙壁和水
平面受到的压力大小分别为20 N、
160 N。
方法二：整体法
将A、B视为一个整体，该整体处于静止状态，所受合力为零。对整体进行受力分析，如图丙所示，
由平衡条件得F＝F1，F3＝G1＋G2＝160 N
再隔离B进行受力分析，如图乙所示，由平衡条
件可得F＝F2'sin 30°，F3＝F2'cos 30°＋G2
联立解得F2'＝40 N，F1＝F＝20 N
由力的相互性可知，竖直墙壁和水平面受到的压
力大小分别为20 N、160 N。
1. 如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m之间有
一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确
的是（　　）
A. M对m的摩擦力方向向左
B. M对m无摩擦力作用
C. 地面对M的摩擦力方向向右
D. 地面对M无摩擦力作用
解析：　对m受力分析，m受到重力、支持力、水平向左的弹
力，根据平衡条件知，还受M对m向右的摩擦力，摩擦力方向向
右，故A、B错误；对整体受力分析，在竖直方向上受到的重力和
支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所以地面对
M无摩擦力作用，故C错误，D正确。
2. （多选）如图所示，一轻弹簧的两端栓接着A、B两物体，其重力
分别是GA＝8 N，GB＝4 N，静止放置在倾角为30°、底端带挡板
的足够长光滑斜面上。现用平行于斜面的力F施加在B物体上并缓
慢往上拉，当物体B上移20 cm时，物体A即将向上运动，已知弹簧
始终在弹性限度内，则以下说法正确的是（　　）
A. 施加F前，A对挡板的压力大小为12 N
C. 轻弹簧的劲度系数为30 N/m
D. 从施加力F到A即将向上运动的过程中，F不断增大
解析：　施加力F前，用整体法可知，挡板对整体的支持力为
F1＝（GA＋GB）sin 30°＝6 N，则由牛顿第三定律可知A对挡板的
压力大小为6 N，选项A错误；因F和弹簧弹力均平行于斜面，则B
所受的支持力不变，恒为F2＝GBcos 30°＝2 N，则选项B正确；
施加力F之前，弹簧的压缩量设为x1，对B物体有kx1＝GBsin 30°，
A物体即将向上运动时，弹簧的伸长量设为x2，此时，对A物体有
kx2＝GAsin 30°，由题意有x1＋x2＝＝20 cm，代
入数据得k＝30 N/m，则选项C正确；物体B缓慢上移的过程中，弹簧由压缩态变为伸长态，对B的弹力先向上减小后向下增加，则拉力F一直变大，选项D正确。
要点二　物体的动态平衡问题
方法（一）　解析法
解题思路
（1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
（2）根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。
【典例2】　（多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无
论旧时还是现在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所
示，直角支架固定在竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在
轻质细绳上，细绳的一端固定在支架水平部分的C点，另一端固
定在支架竖直部分的B点，系统处于平衡状态，此时细绳上的拉
力大小为F1；当细绳的竖直固定端点B下移少许，重新平衡时细
绳上的拉力大小为F2；当细绳的水平固定端点C右移少许，重新
平衡时细绳上的拉力大小为F3；不计空气对灯笼的影响，细绳
的长度始终不变，则关于F1、F2、F3的大小关系
正确的是（　　）
A. F1＜F2 B. F1＝F2
C. F1＜F3 D. F1＞F3
解析：设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相
等，设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条
件可知2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ
（d为C点到竖直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F
不变，即F1＝F2，当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减
小，则θ角减小，cos θ变大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
1. 适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不
变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
2. 解题思路
（1）确定研究对象，作出受力分析图。
（2）明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化。
（3）将三力首尾连接，构造出矢量三角形；或将某力根据其作用
效果进行分解，画出平行四边形。
方法（二）　图解法
（4）根据已知量的变化情况，判断有向线段（表示力）的变化，
从而确定各个力的变化情况。
【典例3】　如图，用OA、OB两根轻绳将质量为m的花盆悬于两竖直墙之间，开始时OA与竖直墙壁夹角为60°，OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳的长度使绳右端由B点缓慢上移至B'点，此时OB'与OA之间的夹角θ＜90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB（重力加速度为g），则（　　）
A. FOA、FOB的合力将增大
B. FOA先减小后增大
C. FOB先增大后减小
解析：根据平衡条件可知，FOA、FOB的
合力始终与花盆的重力平衡，所以不
变，故A错误；花盆在重力mg、FOA、
FOB三力作用下处于动态平衡状态，作出一系列矢量三角形，如图所示，由图可知FOA一直减小，FOB先减小后增大，且当FOB垂直于FOA时有最小值，为FOBmin＝mgsin 60°＝mg，故B、C错误，D正确。
1. 适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均
不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互
垂直。
2. 解题思路：找到物体受力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三
角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何
三角形边长的变化，从而得到力的变化。
方法（三）　相似三角形法
【典例4】　如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，
光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻
质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物
体上的小球P相连，DA水平。现将细绳固定点A向右缓慢平移的过
程中（小球P未到达半球最高点前），下列说法正确的是（　　）
A. 弹簧长度不变
B. 弹簧变长
C. 小球对半球形物体的压力不变
D. 小球对半球形物体的压力变大
解析：以小球为研究对象，分析小球受力情
况：受重力G、细绳的拉力FT和半球形物体
的支持力FN，作出FN、FT的合力F，由平衡
条件得F＝G。
由三角形相似可得＝＝。将F＝G代入得FN＝G，FT＝G，将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中，DO、PO是恒定不变
的，G也不变，PD变小，可见FT变小，FN不变，即弹簧的弹力变小，弹簧变短，由牛顿第三定律知小球对半球形物体的压力不变，
故C正确，A、B、D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，A、B两物体重力都等于10 N，各接触面间的动摩擦因
数都等于0.3，同时有F＝1 N的两个水平力分别作用在A和B上，A
和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　）
A. 6 N，3 N B. 1 N，1 N
C. 0，1 N D. 0，2 N
解析：　A、B均静止，应用整体法，A、B整体水平方向所受外
力大小相等、方向相反，故地面对B无摩擦力。以A为研究对象，
水平方向必受大小与F相等、方向与F相反的静摩擦力，即B对A的
摩擦力大小为1 N，故C正确。
2. 内壁光滑的圆筒竖直放置在水平地面上，质量分布均匀的两个光滑
圆球A、B放在圆筒内，A球的质量和半径均小于B球，第一次放置
位置如图甲所示，第二次放置位置如图乙所示。图甲中A球对筒壁
的压力大小为FN1，B球对筒底的压力大小为F1；图乙中B球对筒壁
的压力大小为FN2，A球对筒底的压力大小为F2。则（　　）
A. FN1＞FN2 B. FN1＜FN2
C. F1＞F2 D. F1＜F2
解析：　对A、B整体进行分析有F1＝F2＝g，C、D错
误；由几何关系可知，甲、乙两图中两球心连线与竖直方向的夹角
相同，设为θ，根据力的平衡条件可知FN1＝mAgtan θ，FN2＝mBgtan
θ，又mA＜mB，解得FN1＜FN2，A错误，B正确。
3. 一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉
力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。重力加
速度为g。则拉力F（　　）
A. 方向可能在图中Ⅰ区域内
B. 方向可能在图中Ⅱ区域内
C. 最小值为mgcos θ
D. 最小值为mgtan θ
解析：　小球受竖直向下的重力mg和沿细线向上的拉力FT以及拉
力F，三力平衡，则力F必在mg和FT夹角的对角范围内，即在图中
的Ⅱ区域，当力F与FT垂直时，F最小，最小值为Fmin＝mgsin θ，故
选B。
4. （多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接
在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状
态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，
则（　　）
A. 轻绳OA受到的拉力大小为mg
C. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
解析：　对小球进行受力分析，力的矢量三
角形如图所示。由几何关系可知FTOA＝FTOB＝
mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小
段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则
由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，
故C正确，D错误。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　多物体的平衡问题
1. （多选）如图所示，弹簧测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦
不计。物体A的重力为40 N，物体B的重力为10 N。以下说法正确
的是（　　）
A. 地面对A的支持力是30 N
B. 物体A受到的合外力是30 N
C. 弹簧测力计的示数是20 N
D. 弹簧测力计的示数是10 N
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解析：　先对B受力分析，受重力和绳的拉力，处于平衡状态，
则绳的拉力FT＝10 N，再对A受力分析，受重力、绳的拉力、地面
的支持力，处于平衡状态，A所受合外力为零，则地面对A的支持
力FN＝GA－FT＝30 N，故A正确，B错误；滑轮处于平衡状态，所
受合外力为零，根据力的合成可知弹簧测力计的示数为20 N，C正
确，D错误。
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2. 叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，
相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则（　　）
A. 上方球与下方三个球间均没有弹力
B. 下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
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解析：　将四个球看作一个整体，地面的支持力与
球的重力平衡，设其中一个球受到的支持力大小为
FN，因此3FN＝4mg，解得FN＝mg，C正确；最上
面的球对下面三个球肯定有压力，即有弹力，A错
误；以下方三个球中任意一个球为研究对象，受力
分析如图所示，由此可知B错误；由于地面与球之间
的摩擦力为静摩擦力，因此不能通过Ff＝μFN求解，
D错误。
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3. （多选）如图所示，夏日的风中，有四个固定连接起来的大灯笼被
吹起来处于静止状态，此时悬挂最上面灯笼的绳子与竖直方向的夹
角为β，灯笼序号自上往下依次标记为1、2、3、4，每个灯笼质量
均为m，假设每个灯笼所受的水平风力均为f，重力加速度大小为
g，则（　　）
A. 绳子上的拉力为4mg
B. 四个灯笼所受到的水平风力之和可能等于4mg
C. 2号灯笼与3号灯笼之间的作用力可能等于2mg
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解析：　设悬挂最上面灯笼的绳子上的拉力大小为F，对四个灯
笼整体分析，根据平衡条件可得Fcos β＝4mg，解得F＝，故A
错误；当β＝45°时，有 tan β＝＝1，此时四个灯笼所受到的风
力之和为f合＝4mg，故B正确；对3、4号灯笼整体分析可知，2号灯
笼与3号灯笼之间的作用力大小为F23＝＞
2mg，故C错误；对4号灯笼分析可知，3号与4号灯笼之间的作用力
大小为F34＝，故D正确。
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题组二　物体的动态平衡问题
4. 如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、
B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减
小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A. A的示数不变，B的示数减小
B. A的示数减小，B的示数不变
C. A的示数增大，B的示数减小
D. A的示数减小，B的示数增大
解析：　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读
数为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
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5. 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变
绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳
上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A. 不变 B. 逐渐减小
C. 逐渐增大 D. 先增大后减小
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解析：　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力
与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等
于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两
根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不
断减小，故选B。
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6. 如图所示，轻杆一端固定一个轻滑轮，另一端嵌入竖直的墙中。一
根轻绳一端连接一个物体，另一端通过滑轮固定在墙上的某一个位
置P，把绳子端点P沿墙面向O点缓慢移动，轻杆位置不变，忽略绳
子与滑轮的摩擦力，关于轻绳的拉力大小和绳对滑轮作用力的说法
正确的是（　　）
A. 轻绳的拉力变大
B. 绳对滑轮的压力变大
C. 绳对滑轮的压力大小始终不变
D. 绳对滑轮的压力方向始终沿杆指向墙里
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解析：　由于同一根绳子的张力处处相等，故轻绳的拉力一定等
于物体的重力G保持不变，故A错误；根据平行四边形定则，两边
轻绳的拉力相等，故合力在角平分线上，由于两拉力的夹角不断减
小，故两个拉力的合力不断变大，故滑轮受到的压力不断变大，故
B正确，C错误。根据前面分析可知，两个拉力的合力在角平分线
上，随着两拉力的夹角不断改变，合力方向不断改变，故绳对滑轮
的压力方向不可能始终沿杆指向墙里，故D错误。
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7. 如图所示，轻杆A端用铰链固定在墙上，B端吊一重物。通过轻绳
跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方（滑轮
大小及摩擦均不计），且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前
（　　）
A. 拉力F增大
B. 拉力F大小不变
C. 轻杆的弹力增大
D. 轻杆的弹力大小不变
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解析：　以B端为研究对象，受力分析：受重
物的拉力FT（等于重物所受的重力G）、轻杆的
弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所
示。由平衡条件得知，FN和F的合力FT'与FT大
小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT'＝FT＝G，解得FN＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变
小，AB、AO保持不变，BO变小，则轻杆弹力FN保持不变，拉力F变小，故D正确，A、B、C错误。
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8. 如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过
细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平
行，A、B、C处于静止状态。则（　　）
A. B、C间的摩擦力一定不为零
B. 斜面体C受到水平面的摩擦力一定为零
C. 水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D. 不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面
对C的摩擦力方向一定向左
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解析：　若绳子对B的拉力恰好等于B的重力沿斜面向下的分
力，则B不受摩擦力，A错误；对B、C构成的整体分析可得，
整体受到斜向上的拉力，该拉力在竖直方向上有分力，在水平
方向上有分力，整体有相对地面向右运动的趋势，所以必须受
到地面向左的摩擦力，水平面对C的支持力小于B、C的总重
力，B、C错误，D正确。
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9. 如图所示，两个完全相同的光滑小球P、Q，放置在墙壁和斜木板
之间，当斜木板和竖直墙壁的夹角θ缓慢减小时（θ＜90°），下列
说法正确的是（　　）
A. 墙壁、木板受到P球的压力均减小
B. 墙壁、木板受到P球的压力均增大
C. Q球对P球的压力减小，对木板的压力增大
D. P球受到墙壁弹力减小
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解析：　以两个小球整体为研究对象进行受力分
析，如图所示。由图可知，墙壁给球的压力F2逐
渐增大，挡板给球的支持力F1逐渐增大，根据牛
顿第三定律可知墙壁受到的压力增大，木板受到
的压力增大，故B正确，A、D错误；以Q为研究对象，P球对Q球的支持力为F3＝mQgcos θ，木板对Q的支持力F4＝mQgsin θ，θ减小，F3增大，F4减小，则Q球对P球的压力增大，对木板的压力减小，故C错误。
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10. 如图所示，将三根完全相同的轻杆通过铰链组合在一起，一吊炉
通过细铁链静止悬挂在三脚架正中央，三脚架正中央离地面高度
为h，吊炉和细铁链的总质量为m，支架与铰链间的摩擦忽略不
计。下列说法正确的是（　　）
A. 吊炉受四个力
C. 减小h时，每根轻杆对地面的压力增大
D. 减小h时，每根轻杆对地面的压力减小
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解析：　对吊炉进行受力分析可知，吊炉受到重力和细铁链的
拉力两个力的作用，故A错误；将整个装置视为整体，对整体进
行受力分析，由于支架完全相同且均匀分布，故地面对每根支架
的支持力大小相等，根据平衡条件得3F＝mg，即F＝，结合牛
顿第三定律可知，减小h时，每根轻杆对地面的压力不变，故B正
确，C、D错误。
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11. 如图所示，弯折杆PRQ固定在竖直面内，PR水平，QR与PR间的
夹角为60°，B球套在杆QR上，一根细线连接A、B两球，另一根
细线连接小球A与杆PR上的O点，连接在O点的细线与水平方向的
夹角为60°，连接A、B两球的细线与QR杆垂直，B球刚好不下滑。已知A球质量为2m，B球质量为m，两小球均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球B与杆RQ间的动摩擦因数为（　　）
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解析：B　设连接O点的细线拉力为F1，连接小球
B的细线拉力为F2，以A球为研究对象，受力分析
如图所示，有F1cos 30°＝2mg＋F2cos 60°，F1sin
30°＝F2sin 60°，解得F2＝2mg，以B球为研究对
象有mgsin 60°＝μ（F2－mgcos 60°），解得μ＝
，故选B。
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12. 一长L0＝5 cm的橡皮筋，其伸长量与所受的拉力成正比，当橡皮
筋受到F1＝2 N的拉力时，其长度变为L1＝9 cm。现将橡皮筋的一
端固定在竖直墙壁上，另一端与一质量M＝0.5 kg的滑块连接，滑
块放置在长木板上，长木板放置在水平地面上，橡皮筋被拉直时
恰好水平，如图所示。现用F＝20 N的水平向右的拉力将长木板从
滑块下方拉出，滑块稳定时橡皮筋的长度L2＝7 cm，橡皮筋始终
在弹性限度内，取重力加速度大小g＝10 N/kg。
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解析：由于橡皮筋的伸长量与所受的拉力成正比，有
F1＝k（L1－L0），解得k＝50 N/m。
（1）求橡皮筋的劲度系数k；
答案：50 N/m　
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（2）求滑块与长木板间的动摩擦因数μ；
答案：0.2　
解析：当橡皮筋的长度为L2时，橡皮筋受到的拉力大小
为F2＝k（L2－L0），长木板被拉出时滑块处于静止状态，
可知滑块受到的滑动摩擦力大小等于橡皮筋上的拉力，即F2
＝Ff＝μMg，联立解得μ＝0.2。
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（3）在滑块上放一质量m＝0.2 kg的砝码后，再将长木板从滑块
下方向右缓慢拉出时，求橡皮筋的长度L3。
答案：7.8 cm
解析：在滑块上放砝码后，再将长木板从滑块下方向右缓慢拉出的过程，滑块及砝码整体处于平衡状态，可得μ（M＋m）g＝k（L3－L0），解得L3＝7.8 cm。
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