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3.牛顿第二定律
题组一　对牛顿第二定律的理解
1.（多选）下列对牛顿第二定律的理解正确的是（　　）
A.由F＝ma可知，F与a成正比，m与a成反比
B.牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C.加速度的方向总跟合外力的方向一致
D.当外力停止作用时，加速度随之消失
2.如图所示，顶端固定着小球的轻杆固定在小车上，当小车向右做匀加速直线运动时，球所受合力的方向沿图中的（　　）
A.OA方向　　　　　　 B.OB方向
C.OC方向 D.OD方向
题组二　牛顿第二定律的简单应用
3.质量分别为m甲、m乙的甲、乙两车放在光滑水平桌面上，在相同拉力作用下，甲车的加速度为2 m/s2，乙车的加速度为6 m/s2，则（　　）
A.m甲＝3m乙 B.m甲＝4m乙
C.3m甲＝m乙 D.4m甲＝m乙
4.如图所示，底板光滑的小车上用两个量程为20 N、完全相同的轻质弹簧测力计甲和乙系住一个质量为1 kg的物块。在水平地面上，当小车做匀速直线运动时，两弹簧测力计的示数均为10 N。当小车做匀加速直线运动时，弹簧测力计甲的示数变为8 N，这时小车运动的加速度大小是（　　）
A.2 m/s2 B.4 m/s2
C.6 m/s2 D.8 m/s2
5.一个质量为50 kg的沙发静止的水平地面上，甲、乙两人同时从背面和侧面分别用F1＝120 N、F2＝160 N的力推沙发，F1与F2相互垂直，且平行于地面。沙发与地面间的动摩擦因数μ＝0.3。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.沙发不会被推动
B.沙发将沿着F1的方向移动，加速度为0.6 m/s2
C.沙发将沿着F2的方向移动，加速度为0.2 m/s2
D.沙发的加速度大小为1 m/s2
题组三　牛顿第二定律的瞬时性问题
6.2023年8月4日，辽宁省大连市一家游乐场发生了一起惊险的事故。一火箭蹦极娱乐项目运行过程中两根弹性缆绳的其中一根突然断裂，导致两名游客悬挂在半空中。幸运的是，他们及时被救下，没有造成人员伤亡。假设两名游客及座椅的总质量为m，缆绳断裂时每根缆绳与竖直方向的夹角均为60°，张力均为3mg，简化为如图乙所示的模型，已知重力加速度为g，则其中一根缆绳断裂瞬间，这两名游客的加速度大小为（　　）
A.g B.g
C.g D.0
7.如图所示，A、B两木块间连一竖直轻质弹簧，A、B的质量均为m，一起静止放在一块水平光滑木板上。若将此木板沿水平方向突然抽去，在抽去木板的瞬间，A、B两木块的加速度分别是（　　）
A.aA＝0，aB＝g B.aA＝g，aB＝g
C.aA＝0，aB＝2g D.aA＝g，aB＝2g
8.在粗糙程度相同的水平面上，手推木块向右压缩轻质弹簧至图甲所示位置；松手后，木块最终静止在图乙所示位置。下列有关说法中正确的是（　　）
A.松手后，木块的速度先增大后减小
B.弹簧恢复原状过程中，弹簧的弹力不断增大
C.木块离开弹簧后，继续向前运动，是因为木块受到向前的力的作用
D.木块离开弹簧后，水平面对木块的摩擦力逐渐减小
9.2022年7月19日，一段《幼童不慎坠楼，千钧一发之际，路人扔下手机徒手接娃》的视频冲上了热搜。浙江桐乡市两岁小孩意外坠楼，银行小伙果断救人，此善举引来桐乡全城市民点赞。假设小孩突然从7.5 m高处坠落，孩子质量为10 kg，楼下恰好有人双手将孩子接住，该人接住孩子时离地面大概1.5 m，接住孩子后向下做匀减速运动，孩子到地时速度恰好减为零。假设小孩可视为质点，不计空气阻力，g取10 m/s2，请你估算一下该人每只手平均承受多大的力（　　）
A.500 N B.450 N
C.350 N D.250 N
10.（多选）如图所示，套在动摩擦因数为0.4的水平细杆上的小球，上端与轻绳相连、左端与轻弹簧相连，轻弹簧的左端固定在O点。初始时刻小球静止在A点，此时弹簧伸长了1.5 cm，绳子拉力为13.0 N。已知弹簧劲度系数k＝200 N/m，小球质量m＝0.5 kg，取重力加速度g＝10 m/s2。某时刻剪断轻绳，下列说法正确的是（　　）
A.小球初始时刻静止在A点时受到摩擦力大小为3.0 N
B.剪断轻绳的瞬间，小球受力个数不变
C.剪断轻绳的瞬间，小球加速度为2 m/s2
D.剪断轻绳后小球向左做匀加速直线运动
11.如图，质量为m＝5 kg的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向的夹角为θ＝37°，球恰好能在杆上匀速向下滑动。若球受一大小为F＝200 N的水平推力作用，可使小球沿杆向上加速滑动，求：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
（1）小球与斜杆间的动摩擦因数μ的大小；
（2）小球沿杆向上加速滑动时的加速度大小。
12.（2022·浙江6月选考19题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1＝4 m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ＝，货物可视为质点（取cos 24°＝0.9，sin 24°＝0.4，重力加速度g取10 m/s2）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2 m/s，求水平滑轨的最短长度l2。
3.牛顿第二定律
1.CD　物体所受外力和物体的质量与加速度无关，故选项A错误；B项违反了因果关系；选项C、D符合牛顿第二定律的矢量性和瞬时性关系，故选项C、D正确。
2.D　当小车向右做匀加速直线运动时，小球和小车是一个整体，所以小球也向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知合力沿OD方向，D正确。
3.A　分别对甲和乙，由牛顿第二定律可知a甲＝，a乙＝，由于水平桌面光滑，两车所受合力即为拉力，可得＝＝＝3，故A正确。
4.B　当弹簧测力计甲的示数变为8 N时，弹簧测力计乙的示数变为12 N，这时物块所受的合力为4 N，由牛顿第二定律F＝ma得物块的加速度a＝ ＝4 m/s2，故B正确。
5.D　由二力合成可知，两力的合力大小为F＝＝200 N，而最大静摩擦力Fmax＝μFN＝μmg＝0.3×500 N＝150 N，有F＞Fmax，则沙发要做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有F－Fmax＝ma，可得a＝1 m/s2，故D项正确。
6.B　缆绳断裂瞬间两名游客及座椅受到重力和其中一根缆绳的作用力，且其夹角为120°，设合力大小为F，根据牛顿第二定律及余弦定理可得F＝ma，F2＝（mg）2＋（3mg）2－2mg·3mg·cos 60°，解得a＝g，故选B。
7.C　在抽去木板的瞬间，弹簧对A木块的支持力和对B木块的压力并未改变。在抽去木板的瞬间，A木块受重力和支持力，mg＝F，aA＝0；B木块受重力和弹簧向下的压力，根据牛顿第二定律得aB＝ ＝ ＝2g，故选C。
8.A　释放木块后，由于木块受到的弹力大于阻力，木块的速度从0开始增大，木块先加速，然后弹力小于阻力，木块开始减速，最后弹力消失，水平方向只受阻力，木块继续减速，所以木块的速度先增大后减小，故A正确；弹簧恢复原状过程中，弹簧的形变逐渐减小，则弹簧的弹力不断变小，故B错误；木块离开弹簧后，不再受弹簧弹力的作用，由于惯性可以继续前进，而不是受到向前的力的作用，故C错误；滑动摩擦力与压力、接触面的粗糙程度有关，木块离开弹簧后减速运动过程中，压力与接触面的粗糙程度不变，故水平面对木块的摩擦力不变，故D错误。
9.D　小孩下落的运动可分为两个阶段，一是自由落体运动，下落高度为h1＝6 m，然后减速了h2＝1.5 m，根据运动学公式得，自由落体阶段v2＝2gh1，设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段0－v2＝－2ah2，减速阶段对孩子受力分析，根据牛顿第二定律可得2F－mg＝ma，联立解得F＝250 N，故选D。
10.AC　小球初始时刻静止在A点时受到静摩擦力，大小等于弹簧弹力大小，故F静＝kx＝3.0 N，故A正确；剪断轻绳的瞬间，绳子拉力消失，小球受力个数变少，故B错误；剪断轻绳的瞬间，弹簧弹力不变，支持力突变成5 N，最大静摩擦力变为Fmax＝μFN＝2 N，则小球受力不平衡，所以加速度为a＝＝2 m/s2，故C正确；剪断轻绳后小球运动过程中弹簧弹力始终变化，所以小球先做加速度减小的加速直线运动，当弹簧弹力等于摩擦力时，速度最大，之后小球做加速度增大的减速运动，直到静止，故D错误。
11.（1）0.75　（2）2 m/s2
解析：（1）小球匀速向下滑动时，受力分析如图甲所示，由平衡条件得
平行于杆方向，有mgsin θ＝Ff1
垂直于杆方向，有FN1＝mgcos θ
又Ff1＝μFN1
联立解得μ＝0.75。
（2）水平推力作用后，对小球受力分析，如图乙所示，
平行于杆方向，有Fcos θ－mgsin θ－Ff2＝ma
垂直于杆方向，有FN2＝Fsin θ＋mgcos θ
又Ff2＝μFN2
联立解得a＝2 m/s2。
12.（1）2 m/s2　（2）4 m/s　（3）2.7 m
解析：（1）货物在倾斜滑轨运动时，由牛顿第二定律得mgsin 24°－μmgcos 24°＝ma1
解得a1＝2 m/s2。
（2）货物在倾斜滑轨做匀加速运动，则有v2＝2a1l1
解得v＝4 m/s。
（3）货物在水平滑轨做匀减速运动，则有－v2＝2a2l2，a2＝－μg
解得l2＝2.7 m。
3 / 33.牛顿第二定律
课标要求 素养目标
1.能准确表述牛顿第二定律，并理解牛顿第二定律的概念及含义。 2.知道国际单位制中力的单位是怎样定义的。 3.能运用牛顿第二定律解释生产、生活中的有关现象，解决有关问题。 4.初步体会牛顿第二定律在认识自然过程中的有效性和价值 1.通过对实验的分析、总结，明确一次实验的结论并不能成为“定律”，知道牛顿第二定律的得出要求。（物理观念） 2.通过对力的单位“牛顿”的定义，明确牛顿第二定律成立的条件。（物理观念） 3.通过实例分析和训练，理解牛顿第二定律，掌握运用牛顿第二定律分析求解问题的基本思路和方法。（科学思维）
知识点一　牛顿第二定律的表达式
1.牛顿第二定律的内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成　　　　，跟它的质量成　 　，加速度的方向跟作用力的方向　　　。
2.牛顿第二定律的表达式：F＝　　　，其中k为比例系数。
知识点二　力的单位
1.力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N。
2.“牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N，即1 N＝　　　　　　　。
3.国际单位制中k＝1，牛顿第二定律的表达式为F＝　　　，式中F、m、a的单位分别为牛顿、千克、米每二次方秒。
【情景思辨】
让一名孩子推动光滑水平面上很重的一个箱子。判断下列说法的正误：
（1）因为孩子力气较小，所以箱子可能不动。（　　）
（2）孩子对箱子施力，然后产生了加速度，加速度的产生滞后于力的作用。（　　）
（3）箱子加速度的方向一定与箱子所受合力方向相同。（　　）
（4）箱子的质量与箱子的加速度成反比。（　　）
（5）若孩子的推力逐渐减小，则箱子做减速运动。（　　）
（6）孩子停止用力，则箱子立刻停下来。（　　）
要点一　牛顿第二定律的理解
1.表达式F＝ma的理解
（1）单位统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位。
（2）F与a的对应关系：F是合力时，a是合加速度，即物体的加速度；F是某个力时，a是该力产生的加速度。
2.牛顿第二定律的五个性质
因果性 力是产生加速度的原因
矢量性 F＝ma是矢量式，加速度的方向与合力的方向相同
瞬时性 加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性 F＝ma中F、m、a对应同一物体
独立性 作用在物体上的每一个力都产生加速度，且彼此独立，互不影响，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
3.a＝与a＝的区别
（1）a＝是加速度的定义式，不能决定a的大小，a与v、Δv、Δt没有必然联系。
（2）a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和质量共同决定。
【典例1】　在粗糙的水平面上，物体在水平推力的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经过一段时间后，将水平推力逐渐减小到零（物体不停止），在水平推力减小到零的过程中（　　）
A.物体的速度逐渐减小，加速度（大小）逐渐减小
B.物体的速度逐渐增大，加速度（大小）逐渐减小
C.物体的速度先增大后减小，加速度（大小）先增大后减小
D.物体的速度先增大后减小，加速度（大小）先减小后增大
尝试解答
1.下列说法正确的是（　　）
A.由牛顿第二定律知，加速度大的物体，所受的合力一定大
B.物体的加速度大，说明它的质量一定小
C.任何情况下，物体的加速度大，速度变化量一定大
D.a与Δv及Δt无关，但可以用Δv和Δt的比值来计算加速度a的大小
要点二　牛顿第二定律的简单应用
【探究】
如图所示，行车时驾驶员及乘客必须系好安全带，以防止紧急刹车时造成意外伤害。
（1）汽车突然刹车，要在很短时间内停下来，会产生很大的加速度，这时如何知道安全带对人的作用力大小呢？
（2）汽车启动时，安全带对驾驶员产生作用力吗？
【归纳】
1.应用牛顿第二定律解题的步骤
2.解题方法
（1）矢量合成法：若物体只受两个力作用时，常用平行四边形定则求这两个力的合外力，然后计算物体的加速度，加速度的方向即是物体所受合外力的方向。
（2）正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体的加速度。
①建立坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴（如x轴）的正方向（也就是不分解加速度），将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0。
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a，根据牛顿第二定律列方程求解。
【典例2】　如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线与竖直方向的夹角为37°，球和车厢相对静止，球的质量为1 kg（g取10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）。求：
（1）车厢运动的加速度，并说明车厢的运动情况；
（2）悬线对球的拉力大小。
尝试解答
2.（多选）为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新的交通工具，乘客的座椅能随着坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平，如图所示。当此车减速上坡时（　　）
A.座椅的支持力小于乘客的重力
B.乘客受到水平向右的摩擦力作用
C.乘客受到水平向左的摩擦力作用
D.乘客所受力的合力沿斜坡向上
要点三　牛顿第二定律的瞬时性问题
1.瞬时性问题
物体受力与其加速度具有瞬时对应关系，瞬时性问题就是分析某时刻（前后）物体的受力、加速度如何变化。
2.四种常见模型
　　　模型　 特性　　 轻绳 轻杆 轻弹簧 木块
弹力 只能产 生拉力 既能产生拉力，又能产生压力 既能产生拉力，又能产生压力 只能产生压力（或支持力）
受力时形变量 微小不计 微小不计 较大 微小不计
弹力能否突变 可以突变 可以突变 两端连有物体时不能突变 可以突变
3.解决瞬时性问题的基本思路
（1）分析原状态下物体的受力情况，利用平衡条件或牛顿第二定律求出各力大小。
（2）分析当状态变化时（剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失。
（3）求物体在状态变化后所受的合力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
【典例3】　如图所示，天花板上用细绳吊起两个用轻质弹簧相连的质量相同的小球，两小球均保持静止。当突然剪断细绳时，上面的小球A与下面的小球B的加速度大小分别为（　　）
A.aA＝g，aB＝g B.aA＝g，aB＝0
C.aA＝2g，aB＝0 D.aA＝0，aB＝g
尝试解答
【拓展训练】
　（1）在[典例3]中，若突然剪断弹簧，求上面的小球A与下面的小球B的加速度。
（2）在[典例3]中，若将弹簧改成细绳，突然剪断A球上面的细绳，求上面的小球A与下面的小球B的加速度。
（3）在[典例3]中，若将细绳改成弹簧，突然剪断下面的弹簧，求上面的小球A与下面的小球B的加速度。
1.（多选）关于牛顿第二定律的表达式F＝kma，下列说法正确的是（　　）
A.在任何情况下式中k都等于1
B.式中k的数值由质量、加速度和力的大小决定
C.式中k的数值由质量、加速度和力的单位决定
D.使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N
2.下列关于加速度大小的判断正确的是（　　）
A.由公式a＝可知，a与Δv成正比、与Δt成反比
B.由公式a＝可知，a与Δv成反比、与Δt成正比
C.由公式a＝可知，a与F成正比、与m成反比
D.由公式a＝可知，a与F成反比、与m成正比
3.（多选）如图所示，质量均为m的A、B两球之间系着一根不计质量的弹簧，放在光滑的水平面上，A球紧靠竖直墙壁。今用水平力F将B球向左推压弹簧，平衡后，突然将F撤去，在这瞬间（　　）
A.B球的速度为零，加速度为零
B.B球的速度为零，加速度大小为
C.在弹簧第一次恢复原长之后A才离开墙壁
D.在A离开墙壁后，A、B两球均向右做匀速运动
4.自制一个加速度计，其构造是：一根轻杆，下端固定一个小球，上端装在水平轴O上，杆可在竖直平面内左右摆动，用白硬纸作为表面，放在杆摆动的平面上，并刻上刻度，可以直接读出加速度的大小和方向。使用时，加速度计右端朝汽车前进的方向，如图所示，g取9.8 m/s2。
（1）硬纸上刻度线b在经过O点的竖直线上，则在b处应标的加速度数值是多少？
（2）刻度线c和O点的连线与Ob的夹角为30°，则c处应标的加速度数值是多少？
（3）刻度线d和O点的连线与Ob的夹角为45°。在汽车前进时，若轻杆稳定地指在d处，则0.5 s内汽车速度变化了多少？
3.牛顿第二定律
【基础知识·准落实】
知识点一
1.正比　反比　相同　2.kma
知识点二
2.1 kg·m/s2　3.ma
情景思辨
（1）×　（2）×　（3）√　（4）×　（5）×　（6）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　D　对物体在水平方向上的受力分析如图所示，因为原来做匀加速直线运动，所以F＞Ff，由于运动一段时间，所以物体已有一定的速度，当力F减小时包含以下三个过程：
①刚开始阶段：F＞Ff，由牛顿第二定律得a＝，F减小，a减小，但a、v同向，故v增大；
②随着F减小：F＝Ff时，即F合＝0，a＝0，速度达到最大；
③力F继续减小：F＜Ff，F合的方向变了，a的方向也相应变化，与速度方向相反，故v减小，由牛顿第二定律得a＝，故a（大小）增大。综上所述，a（大小）先减小后增大，v先增大后减小，故选D。
素养训练
1.D　加速度大的物体，所受合力不一定大，因为物体的质量不确定，选项A错误；物体的加速度大，质量不一定小，因为所受合外力不确定，选项B错误；a＝只能用于计算加速度a，a与Δv和Δt无关，物体的加速度大，速度变化量Δv不一定大，因为时间Δt不确定，选项C错误，D正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间求得，由牛顿第二定律F＝ma可得安全带产生的作用力。
（2）汽车启动时，有向前的加速度，此时座椅的后背对驾驶员产生向前的作用力，安全带不会对驾驶员产生作用力。
【典例2】　（1）7.5 m/s2，方向水平向右　车厢可能向右做匀加速直线运动或向左做匀减速直线运动　（2）12.5 N
解析：（1）方法一：合成法
小球和车厢相对静止，它们的加速度相同。以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图所示，小球所受合力F合＝mgtan 37 °，由牛顿第二定律得小球的加速度为a＝＝gtan 37°＝7.5 m/s2，加速度方向水平向右。
车厢的加速度与小球的相同，车厢做的是向右的匀加速运动或向左的匀减速运动。
方法二：正交分解法
建立直角坐标系如图所示，
正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程得
x方向Fx＝ma
y方向Fy－mg＝0
即Fsin 37°＝ma，Fcos 37°－mg＝0
解得a＝7.5 m/s2，加速度方向水平向右。
车厢的加速度与小球的相同，车厢做的是向右的匀加速运动或向左的匀减速运动。
（2）由图可知，悬线对球的拉力大小为
F＝＝12.5 N。
素养训练
2.AC　当车减速上升时，乘客、车具有相同的加速度，方向沿斜坡向下，则乘客受到合力方向沿斜坡向下；由于座椅的上表面是水平的，所以乘客受到重力、支持力、水平向左的静摩擦力，故B、D错误，C正确；在竖直方向，由牛顿第二定律有mg－FN＝may，得FN＝mg－may，故A正确。
要点三
知识精研
【典例3】　C　先分析整体平衡（细绳未剪断）时，A和B的受力情况。如图所示，A球受重力、弹簧弹力F1及绳子拉力F2；B球受重力、弹簧弹力F1'，且F1'＝mg，F1＝F1'。剪断细绳瞬间，F2消失，但弹簧尚未收缩，仍保持原来的形态，F1不变，故B球所受的力不变，此时aB＝0，而A球的加速度大小为aA＝＝2g。故C正确。
拓展训练
提示：（1）aA＝0
aB＝g，方向竖直向下。
（2）aA＝g，方向竖直向下
aB＝g，方向竖直向下。
（3）aA＝g，方向竖直向上
aB＝g，方向竖直向下。
【教学效果·勤检测】
1.CD　在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值由质量、加速度和力的单位决定，只有当质量的单位为kg、加速度的单位为m/s2、力的单位为N时，比例系数k才等于1，A、B错误，C正确；由牛顿第二定律F＝ma，知m＝1 kg、a＝1 m/s2时1 N＝1 kg·m/s2，即使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N，D正确。
2.C　根据加速度的定义式a＝可知，加速度描述的是物体速度变化的快慢，加速度的大小与Δv、Δt无关，A、B错误；根据牛顿第二定律a＝可知，加速度与合力F、质量m有关，且与F成正比，与m成反比，C正确，D错误。
3.BC　撤去F瞬间，弹簧弹力大小仍为F，故B的加速度为，此时B球还没有运动，故B球的速度为零，选项A错误，B正确；弹簧恢复原长后由于B的运动弹簧被拉长，它对A球产生拉力，使A球离开墙壁，选项C正确；A离开墙壁后，弹簧不断伸长、收缩，对A、B仍有作用力，即A、B的合力不为零，两球仍做变速直线运动，选项D错误。
4.（1）0　（2）5.66 m/s2　（3）减少了4.9 m/s
解析：（1）当轻杆与Ob重合时，小球所受合力为0，其加速度为0，车的加速度也为0，故b处应标的加速度数值为0。
（2）方法一：合成法
当轻杆与Oc重合时，以小球为研究对象，受力分析如图所示。
根据力的合成的平行四边形定则和牛顿第二定律得mgtan θ＝ma1，解得a1＝gtan θ＝9.8× m/s2≈5.66 m/s2。
方法二：正交分解法
建立直角坐标系，并将轻杆对小球的拉力正交分解，如图所示。则水平方向有
Fsin θ＝ma1 ①
竖直方向有Fcos θ－mg＝0 ②
联立以上两式解得小球的加速度a1≈5.66 m/s2，
方向水平向右，即c处应标的加速度数值为5.66 m/s2。
（3）若轻杆与Od重合，同理可得
mgtan 45°＝ma2，
解得a2＝gtan 45°＝9.8 m/s2，方向水平向左，与速度方向相反
所以在0.5 s内汽车速度应减少，减少量Δv＝a2Δt＝9.8×0.5 m/s＝4.9 m/s。
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3.牛顿第二定律
课标要求 素养目标
1.能准确表述牛顿第二定律，
并理解牛顿第二定律的概念及
含义。 2.知道国际单位制中力的单位
是怎样定义的。 3.能运用牛顿第二定律解释生
产、生活中的有关现象，解决
有关问题。 4.初步体会牛顿第二定律在认
识自然过程中的有效性和价值 1.通过对实验的分析、总结，明确一
次实验的结论并不能成为“定律”，
知道牛顿第二定律的得出要求。（物
理观念）
2.通过对力的单位“牛顿”的定义，
明确牛顿第二定律成立的条件。（物
理观念）
3.通过实例分析和训练，理解牛顿第
二定律，掌握运用牛顿第二定律分析
求解问题的基本思路和方法。（科学
思维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　牛顿第二定律的表达式
1. 牛顿第二定律的内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成
，跟它的质量成 ，加速度的方向跟作用力的方向
。
2. 牛顿第二定律的表达式：F＝ ，其中k为比例系数。
正
比　
反比　
相
同　
kma　
知识点二　力的单位
1. 力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N。
2. “牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫
作1 N，即1 N＝ 。
3. 国际单位制中k＝1，牛顿第二定律的表达式为F＝ ，式中
F、m、a的单位分别为牛顿、千克、米每二次方秒。
1 kg·m/s2　
ma　
【情景思辨】
让一名孩子推动光滑水平面上很重的一个箱子。判断下列说法的
正误：
（1）因为孩子力气较小，所以箱子可能不动。 （　×　）
（2）孩子对箱子施力，然后产生了加速度，加速度的产生滞后于力
的作用。 （　×　）
×
×
（3）箱子加速度的方向一定与箱子所受合力方向相同。 （　√　）
（4）箱子的质量与箱子的加速度成反比。 （　×　）
（5）若孩子的推力逐渐减小，则箱子做减速运动。 （　×　）
（6）孩子停止用力，则箱子立刻停下来。 （　×　）
√
×
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　牛顿第二定律的理解
1. 表达式F＝ma的理解
（1）单位统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国
际单位。
（2）F与a的对应关系：F是合力时，a是合加速度，即物体的加速
度；F是某个力时，a是该力产生的加速度。
2. 牛顿第二定律的五个性质
因果性 力是产生加速度的原因
矢量性 F＝ma是矢量式，加速度的方向与合力的方向相同
瞬时性 加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性 F＝ma中F、m、a对应同一物体
独立性 作用在物体上的每一个力都产生加速度，且彼此独立，互不影响，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
3. a＝与a＝的区别
（1）a＝是加速度的定义式，不能决定a的大小，a与v、Δv、Δt
没有必然联系。
（2）a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和质量共
同决定。
【典例1】　在粗糙的水平面上，物体在水平推力的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经过一段时间后，将水平推力逐渐减小到零（物体不停止），在水平推力减小到零的过程中（　　）
A. 物体的速度逐渐减小，加速度（大小）逐渐减小
B. 物体的速度逐渐增大，加速度（大小）逐渐减小
C. 物体的速度先增大后减小，加速度（大小）先增大后减小
D. 物体的速度先增大后减小，加速度（大小）先减小后增大
解析：对物体在水平方向上的受力分析如图所
示，因为原来做匀加速直线运动，所以F＞
Ff，由于运动一段时间，所以物体已有一定的
速度，当力F减小时包含以下三个过程：
①刚开始阶段：F＞Ff，由牛顿第二定律得a＝，F减小，
a减小，但a、v同向，故v增大；
②随着F减小：F＝Ff时，即F合＝0，a＝0，速度达到最大；
③力F继续减小：F＜Ff，F合的方向变了，a的方向也相应变
化，与速度方向相反，故v减小，由牛顿第二定律得a＝
，故a（大小）增大。综上所述，a（大小）先减小后增
大，v先增大后减小，故选D。
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 由牛顿第二定律知，加速度大的物体，所受的合力一定大
B. 物体的加速度大，说明它的质量一定小
C. 任何情况下，物体的加速度大，速度变化量一定大
D. a与Δv及Δt无关，但可以用Δv和Δt的比值来计算加速度a的大小
解析：　加速度大的物体，所受合力不一定大，因为物体的质量
不确定，选项A错误；物体的加速度大，质量不一定小，因为所受
合外力不确定，选项B错误；a＝只能用于计算加速度a，a与Δv
和Δt无关，物体的加速度大，速度变化量Δv不一定大，因为时间Δt
不确定，选项C错误，D正确。
要点二　牛顿第二定律的简单应用
【探究】
　如图所示，行车时驾驶员及乘客必须系好安全带，以防止紧急刹车
时造成意外伤害。
（1）汽车突然刹车，要在很短时间内停下来，会产生很大的加速
度，这时如何知道安全带对人的作用力大小呢？
提示：汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间
求得，由牛顿第二定律F＝ma可得安全带产生的作用力。
（2）汽车启动时，安全带对驾驶员产生作用力吗？
提示：汽车启动时，有向前的加速度，此时座椅的后背对
驾驶员产生向前的作用力，安全带不会对驾驶员产生作用力。
【归纳】
1. 应用牛顿第二定律解题的步骤
2. 解题方法
（1）矢量合成法：若物体只受两个力作用时，常用平行四边形定
则求这两个力的合外力，然后计算物体的加速度，加速度的
方向即是物体所受合外力的方向。
（2）正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物
体的加速度。
①建立坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴
（如x轴）的正方向（也就是不分解加速度），将物体所受的
力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0。
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，
也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a，根据牛
顿第二定律列方程求解。
【典例2】　如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线与竖直方向的夹角为37°，球和车厢相对静止，球的质量为1 kg（g取10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）。求：
（1）车厢运动的加速度，并说明车厢的运动情况；
答案：7.5 m/s2，方向水平向右　车厢可能向右做匀加
速直线运动或向左做匀减速直线运动
解析：方法一：合成法小球和车厢相对静止，
它们的加速度相同。以小球为研究对象，对小球进
行受力分析如图所示，小球所受合力F合＝mgtan 37
°，由牛顿第二定律得小球的加速度为a＝＝gtan
37°＝7.5 m/s2，加速度方向水平向右。
车厢的加速度与小球的相同，车厢做的是向右的匀
加速运动或向左的匀减速运动。
方法二：正交分解法
建立直角坐标系如图所示，
正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程
得
x方向Fx＝ma
y方向Fy－mg＝0
即Fsin 37°＝ma，Fcos 37°－mg＝0
解得a＝7.5 m/s2，加速度方向水平向右。
车厢的加速度与小球的相同，车厢做的是向右的匀加速运动
或向左的匀减速运动。
（2）悬线对球的拉力大小。
答案： 12.5 N
解析：由图可知，悬线对球的拉力大小为
F＝＝12.5 N。
2. （多选）为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新的交
通工具，乘客的座椅能随着坡度的变化而自动调整，使座椅始终保
持水平，如图所示。当此车减速上坡时（　　）
A. 座椅的支持力小于乘客的重力
B. 乘客受到水平向右的摩擦力作用
C. 乘客受到水平向左的摩擦力作用
D. 乘客所受力的合力沿斜坡向上
解析：　当车减速上升时，乘客、车具有相同的加速度，方向
沿斜坡向下，则乘客受到合力方向沿斜坡向下；由于座椅的上表面
是水平的，所以乘客受到重力、支持力、水平向左的静摩擦力，故
B、D错误，C正确；在竖直方向，由牛顿第二定律有mg－FN＝
may，得FN＝mg－may，故A正确。
要点三　牛顿第二定律的瞬时性问题
1. 瞬时性问题
物体受力与其加速度具有瞬时对应关系，瞬时性问题就是分析某时
刻（前后）物体的受力、加速度如何变化。
2. 四种常见模型
　　　模型　 特性　　 轻绳 轻杆 轻弹簧 木块
弹力 只能产生拉力 既能产生拉
力，又能产
生压力 既能产生拉
力，又能产
生压力 只能产生压
力（或支持
力）
受力时形变量 微小不计 微小不计 较大 微小不计
弹力能否突
变 可以突变 可以突变 两端连有物体时不能突变 可以突变
3. 解决瞬时性问题的基本思路
（1）分析原状态下物体的受力情况，利用平衡条件或牛顿第二定
律求出各力大小。
（2）分析当状态变化时（剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去
某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失。
（3）求物体在状态变化后所受的合力，利用牛顿第二定律，求出
瞬时加速度。
【典例3】　如图所示，天花板上用细绳吊起两个用轻质弹簧相连的质量相同的小球，两小球均保持静止。当突然剪断细绳时，上面的小球A与下面的小球B的加速度大小分别为（　　）
A. aA＝g，aB＝g B. aA＝g，aB＝0
C. aA＝2g，aB＝0 D. aA＝0，aB＝g
解析：先分析整体平衡（细绳未剪断）时，A和
B的受力情况。如图所示，A球受重力、弹簧弹
力F1及绳子拉力F2；B球受重力、弹簧弹力F1'，
且F1'＝mg，F1＝F1'。剪断细绳瞬间，F2消失，
但弹簧尚未收缩，仍保持原来的形态，F1不变，
故B球所受的力不变，此时aB＝0，而A球的加速
度大小为aA＝＝2g。故C正确。
【拓展训练】
（1）在[典例3]中，若突然剪断弹簧，求上面的小球A与下面的
小球B的加速度。
提示： aA＝0
aB＝g，方向竖直向下。
（2）在[典例3]中，若将弹簧改成细绳，突然剪断A球上面的细
绳，求上面的小球A与下面的小球B的加速度。
（3）在[典例3]中，若将细绳改成弹簧，突然剪断下面的弹簧，求
上面的小球A与下面的小球B的加速度。
提示： aA＝g，方向竖直向下
aB＝g，方向竖直向下。
提示： aA＝g，方向竖直向上
aB＝g，方向竖直向下。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. （多选）关于牛顿第二定律的表达式F＝kma，下列说法正确的是
（　　）
A. 在任何情况下式中k都等于1
B. 式中k的数值由质量、加速度和力的大小决定
C. 式中k的数值由质量、加速度和力的单位决定
D. 使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N
解析：　在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值由质量、
加速度和力的单位决定，只有当质量的单位为kg、加速度的单位为
m/s2、力的单位为N时，比例系数k才等于1，A、B错误，C正确；
由牛顿第二定律F＝ma，知m＝1 kg、a＝1 m/s2时1 N＝1 kg·m/s2，
即使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N，D正确。
2. 下列关于加速度大小的判断正确的是（　　）
A. 由公式a＝可知，a与Δv成正比、与Δt成反比
B. 由公式a＝可知，a与Δv成反比、与Δt成正比
C. 由公式a＝可知，a与F成正比、与m成反比
D. 由公式a＝可知，a与F成反比、与m成正比
解析：　根据加速度的定义式a＝可知，加速度描述的是物体速
度变化的快慢，加速度的大小与Δv、Δt无关，A、B错误；根据牛
顿第二定律a＝可知，加速度与合力F、质量m有关，且与F成正
比，与m成反比，C正确，D错误。
3. （多选）如图所示，质量均为m的A、B两球之间系着一根不计质量
的弹簧，放在光滑的水平面上，A球紧靠竖直墙壁。今用水平力F
将B球向左推压弹簧，平衡后，突然将F撤去，在这瞬间（　　）
A. B球的速度为零，加速度为零
B. B球的速度为零，加速度大小为
C. 在弹簧第一次恢复原长之后A才离开墙壁
D. 在A离开墙壁后，A、B两球均向右做匀速运动
解析：　撤去F瞬间，弹簧弹力大小仍为F，故B的加速度为，
此时B球还没有运动，故B球的速度为零，选项A错误，B正确；弹
簧恢复原长后由于B的运动弹簧被拉长，它对A球产生拉力，使A球
离开墙壁，选项C正确；A离开墙壁后，弹簧不断伸长、收缩，对
A、B仍有作用力，即A、B的合力不为零，两球仍做变速直线运
动，选项D错误。
4. 自制一个加速度计，其构造是：一根轻杆，下端固定一个小球，上
端装在水平轴O上，杆可在竖直平面内左右摆动，用白硬纸作为表
面，放在杆摆动的平面上，并刻上刻度，可以直接读出加速度的大
小和方向。使用时，加速度计右端朝汽车前进的方向，如图所示，
g取9.8 m/s2。
（1）硬纸上刻度线b在经过O点的竖直线上，
则在b处应标的加速度数值是多少？
答案：0　
解析：当轻杆与Ob重合时，小球所受合力为0，其加速
度为0，车的加速度也为0，故b处应标的加速度数值为0。
（2）刻度线c和O点的连线与Ob的夹角为30°，则c处应标的加速
度数值是多少？
答案：5.66 m/s2　
解析：方法一：合成法当轻杆与Oc重合时，以小球
为研究对象，受力分析如图所示。
根据力的合成的平行四边形定则和牛顿第二定律得
mgtan θ＝ma1，解得a1＝gtan θ＝9.8×
m/s2≈5.66 m/s2。
方法二：正交分解法
建立直角坐标系，并将轻杆对小球的拉力正交
分解，如图所示。
则水平方向有Fsin θ＝ma1①
竖直方向有Fcos θ－mg＝0②
联立以上两式解得小球的加速度a1≈5.66 m/s2，
方向水平向右，即c处应标的加速度数值为5.66 m/s2。
（3）刻度线d和O点的连线与Ob的夹角为45°。在汽车前进时，若
轻杆稳定地指在d处，则0.5 s内汽车速度变化了多少？
答案：减少了4.9 m/s
解析：若轻杆与Od重合，同理可得
mgtan 45°＝ma2，
解得a2＝gtan 45°＝9.8 m/s2，方向水平向左，与速度方
向相反
所以在0.5 s内汽车速度应减少，减少量Δv＝a2Δt＝
9.8×0.5 m/s＝4.9 m/s。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　对牛顿第二定律的理解
1. （多选）下列对牛顿第二定律的理解正确的是（　　）
A. 由F＝ma可知，F与a成正比，m与a成反比
B. 牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C. 加速度的方向总跟合外力的方向一致
D. 当外力停止作用时，加速度随之消失
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解析：　物体所受外力和物体的质量与加速度无关，故选项A错
误；B项违反了因果关系；选项C、D符合牛顿第二定律的矢量性和
瞬时性关系，故选项C、D正确。
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2. 如图所示，顶端固定着小球的轻杆固定在小车上，当小车向右做匀
加速直线运动时，球所受合力的方向沿图中的（　　）
A. OA方向 B. OB方向
C. OC方向 D. OD方向
解析：　当小车向右做匀加速直线运动时，小球和小车是一个整
体，所以小球也向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知合
力沿OD方向，D正确。
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题组二　牛顿第二定律的简单应用
3. 质量分别为m甲、m乙的甲、乙两车放在光滑水平桌面上，在相同拉
力作用下，甲车的加速度为2 m/s2，乙车的加速度为6 m/s2，则
（　　）
A. m甲＝3m乙 B. m甲＝4m乙
C. 3m甲＝m乙 D. 4m甲＝m乙
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解析：　分别对甲和乙，由牛顿第二定律可知a甲＝，a乙＝
，由于水平桌面光滑，两车所受合力即为拉力，可得＝＝
＝3，故A正确。
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4. 如图所示，底板光滑的小车上用两个量程为20 N、完全相同的轻质
弹簧测力计甲和乙系住一个质量为1 kg的物块。在水平地面上，当
小车做匀速直线运动时，两弹簧测力计的示数均为10 N。当小车做
匀加速直线运动时，弹簧测力计甲的示数变为8 N，这时小车运动
的加速度大小是（　　）
A. 2 m/s2 B. 4 m/s2
C. 6 m/s2 D. 8 m/s2
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解析：　当弹簧测力计甲的示数变为8 N时，弹簧测力计乙的示数
变为12 N，这时物块所受的合力为4 N，由牛顿第二定律F＝ma得
物块的加速度a＝ ＝4 m/s2，故B正确。
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5. 一个质量为50 kg的沙发静止的水平地面上，甲、乙两人同时从背
面和侧面分别用F1＝120 N、F2＝160 N的力推沙发，F1与F2相互垂
直，且平行于地面。沙发与地面间的动摩擦因数μ＝0.3。设最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的
是（　　）
A. 沙发不会被推动
B. 沙发将沿着F1的方向移动，加速度为0.6 m/s2
C. 沙发将沿着F2的方向移动，加速度为0.2 m/s2
D. 沙发的加速度大小为1 m/s2
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解析：　由二力合成可知，两力的合力大小为F＝＝
200 N，而最大静摩擦力Fmax＝μFN＝μmg＝0.3×500 N＝150 N，有
F＞Fmax，则沙发要做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有F－Fmax
＝ma，可得a＝1 m/s2，故D项正确。
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题组三　牛顿第二定律的瞬时性问题
6. 2023年8月4日，辽宁省大连市一家游乐场发生了一起惊险的事故。
一火箭蹦极娱乐项目运行过程中两根弹性缆绳的其中一根突然断
裂，导致两名游客悬挂在半空中。幸运的是，他们及时被救下，没
有造成人员伤亡。假设两名游客及座椅的总质量为m，缆绳断裂时
每根缆绳与竖直方向的夹角均为60°，张力均为3mg，简化为如图
乙所示的模型，已知重力加速度为g，则其中一根缆绳断裂瞬间，
这两名游客的加速度大小为（　　）
A. g B. g
C. g D. 0
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解析：　缆绳断裂瞬间两名游客及座椅受到重力和其中一根缆绳
的作用力，且其夹角为120°，设合力大小为F，根据牛顿第二定律
及余弦定理可得F＝ma，F2＝（mg）2＋（3mg）2－2mg·3mg·cos
60°，解得a＝g，故选B。
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7. 如图所示，A、B两木块间连一竖直轻质弹簧，A、B的质量均为
m，一起静止放在一块水平光滑木板上。若将此木板沿水平方向突
然抽去，在抽去木板的瞬间，A、B两木块的加速度分别是
（　　）
A. aA＝0，aB＝g B. aA＝g，aB＝g
C. aA＝0，aB＝2g D. aA＝g，aB＝2g
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解析：　在抽去木板的瞬间，弹簧对A木块的支持力和对B木块的
压力并未改变。在抽去木板的瞬间，A木块受重力和支持力，mg＝
F，aA＝0；B木块受重力和弹簧向下的压力，根据牛顿第二定律得
aB＝ ＝ ＝2g，故选C。
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8. 在粗糙程度相同的水平面上，手推木块向右压缩轻质弹簧至图甲所
示位置；松手后，木块最终静止在图乙所示位置。下列有关说法中
正确的是（　　）
A. 松手后，木块的速度先增大后减小
B. 弹簧恢复原状过程中，弹簧的弹力不断增大
C. 木块离开弹簧后，继续向前运动，是因为木块受到向前的力的作
用
D. 木块离开弹簧后，水平面对木块的摩擦力逐渐减小
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解析：　释放木块后，由于木块受到的弹力大于阻力，木块的速
度从0开始增大，木块先加速，然后弹力小于阻力，木块开始减
速，最后弹力消失，水平方向只受阻力，木块继续减速，所以木块
的速度先增大后减小，故A正确；弹簧恢复原状过程中，弹簧的形
变逐渐减小，则弹簧的弹力不断变小，故B错误；木块离开弹簧
后，不再受弹簧弹力的作用，由于惯性可以继续前进，而不是受到
向前的力的作用，故C错误；滑动摩擦力与压力、接触面的粗糙程
度有关，木块离开弹簧后减速运动过程中，压力与接触面的粗糙程
度不变，故水平面对木块的摩擦力不变，故D错误。
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9. 2022年7月19日，一段《幼童不慎坠楼，千钧一发之际，路人扔下
手机徒手接娃》的视频冲上了热搜。浙江桐乡市两岁小孩意外坠
楼，银行小伙果断救人，此善举引来桐乡全城市民点赞。假设小孩
突然从7.5 m高处坠落，孩子质量为10 kg，楼下恰好有人双手将孩
子接住，该人接住孩子时离地面大概1.5 m，接住孩子后向下做匀
减速运动，孩子到地时速度恰好减为零。假设小孩可视为质点，不
计空气阻力，g取10 m/s2，请你估算一下该人每只手平均承受多大
的力（　　）
A. 500 N B. 450 N
C. 350 N D. 250 N
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解析：　小孩下落的运动可分为两个阶段，一是自由落体运动，
下落高度为h1＝6 m，然后减速了h2＝1.5 m，根据运动学公式得，
自由落体阶段v2＝2gh1，设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段0
－v2＝－2ah2，减速阶段对孩子受力分析，根据牛顿第二定律可得
2F－mg＝ma，联立解得F＝250 N，故选D。
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10. （多选）如图所示，套在动摩擦因数为0.4的水平细杆上的小球，
上端与轻绳相连、左端与轻弹簧相连，轻弹簧的左端固定在O点。初始时刻小球静止在A点，此时弹簧伸长了1.5 cm，绳子拉力为13.0 N。已知弹簧劲度系数k＝200 N/m，小球质量m＝0.5 kg，取重力加速度g＝10 m/s2。某时刻剪断轻绳，下列说法正确的是（　　）
A. 小球初始时刻静止在A点时受到摩擦力大小为3.0 N
B. 剪断轻绳的瞬间，小球受力个数不变
C. 剪断轻绳的瞬间，小球加速度为2 m/s2
D. 剪断轻绳后小球向左做匀加速直线运动
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解析：　小球初始时刻静止在A点时受到静摩擦力，大小等于
弹簧弹力大小，故F静＝kx＝3.0 N，故A正确；剪断轻绳的瞬间，
绳子拉力消失，小球受力个数变少，故B错误；剪断轻绳的瞬
间，弹簧弹力不变，支持力突变成5 N，最大静摩擦力变为Fmax＝
μFN＝2 N，则小球受力不平衡，所以加速度为a＝＝2
m/s2，故C正确；剪断轻绳后小球运动过程中弹簧弹力始终变化，
所以小球先做加速度减小的加速直线运动，当弹簧弹力等于摩擦
力时，速度最大，之后小球做加速度增大的减速运动，直到静
止，故D错误。
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11. 如图，质量为m＝5 kg的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向的夹角
为θ＝37°，球恰好能在杆上匀速向下滑动。若球受一大小为F＝
200 N的水平推力作用，可使小球沿杆向上加速滑动，求：（g取
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
（1）小球与斜杆间的动摩擦因数μ的大小；
答案：0.75　
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解析：小球匀速向下滑动时，受力分析如图甲所示，由平衡条件得平行于杆方向，有mgsin θ＝Ff1
垂直于杆方向，有FN1＝mgcos θ
又Ff1＝μFN1
联立解得μ＝0.75。
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（2）小球沿杆向上加速滑动时的加速度大小。
答案：2 m/s2
解析：水平推力作用后，对小球受力分析，如图乙所示，
平行于杆方向，有Fcos θ－mgsin θ－Ff2＝ma
垂直于杆方向，有FN2＝Fsin θ＋mgcos θ
又Ff2＝μFN2
联立解得a＝2 m/s2。
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12. （2022·浙江6月选考19题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到
卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1＝4 m，
水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端
由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ＝，货物可视
为质点（取cos 24°＝0.9，sin 24°＝0.4，重力加速度g取10
m/s2）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
答案：2 m/s2　
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解析：货物在倾斜滑轨运动时，由牛顿第二定律得
mgsin 24°－μmgcos 24°＝ma1
解得a1＝2 m/s2。
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（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
答案：4 m/s　
解析：货物在倾斜滑轨做匀加速运动，则有v2＝2a1l1
解得v＝4 m/s。
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（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2 m/s，求水平滑
轨的最短长度l2。
答案：2.7 m
解析：货物在水平滑轨做匀减速运动，则有－v2＝2a2l2，
a2＝－μg
解得l2＝2.7 m。
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