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习题课五　动力学图像、连接体和临界问题
题组一　动力学中的图像问题
1.（多选）一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动。t＝0时，开始对物体施加一外力F，力F的方向与速度方向相同，大小随时间变化的关系如图所示，则物体在0～t0时间内（　　）
A.物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐减小
B.物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐增大
C.t0时刻物体的加速度a＝0，速度v最大
D.t0时刻物体的加速度a＝0，速度v＝0
2.（多选）（2023·全国甲卷19题）用水平拉力使质量分别为m甲、m乙的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知（　　）
A.m甲＜m乙 B.m甲＞m乙
C.μ甲＜μ乙 D.μ甲＞μ乙
3.（多选）如图乙所示，坐标系中的曲线反映的是图甲中滑块在斜面上自由下滑时，加速度a与斜面倾角θ之间的关系图像，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（　　）
A.a1的大小为10 m/s2
B.a1的大小为8 m/s2
C.滑块与斜面间的动摩擦因数为0.75
D.θ1＝53°
题组二　动力学中的连接体问题
4.如图所示，两底角分别为37°和53°的光滑三角劈固定在水平地面上，三角劈顶端装有一光滑定滑轮。质量均为1 kg的物块P、Q用跨过定滑轮的轻绳连接，不计一切摩擦，三角劈斜面足够长，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8。同时由静止释放P、Q后，轻绳的拉力大小为（　　）
A.5 N B.6 N
C.7 N D.8 N
5.（多选）如图所示，材料相同，质量分别为M和m的两物体A和B靠在一起放在水平面上。用水平推力F向右推A使两物体一起向右加速运动时（图甲），A和B之间的作用力为F1，加速度为a1。用同样大小的水平推力F向左推B使两物体一起向左加速运动时（图乙），A和B之间的作用力为F2，加速度为a2。则（　　）
A.F1∶F2＝1∶1 B.F1∶F2＝m∶M
C.a1∶a2＝M∶m D.a1∶a2＝1∶1
6.如图所示，四只猴子水中捞月，它们将一棵又直又高的杨树压弯，竖直倒挂在树梢上，从上到下依次为1、2、3、4号猴子。正当4号猴子打算伸手捞“月亮”时，3号猴子突然两手一滑没抓稳，4号猴子扑通一声掉进了水里。假设3号猴子手滑前四只猴子都处于静止状态，四只猴子的质量都相等且为m，重力加速度为g，那么在3号猴子手滑后的一瞬间（　　）
A.4号猴子的加速度和速度都等于0
B.3号猴子的加速度大小为g，方向竖直向上
C.2号猴子对3号猴子的作用力大小为
D.1号猴子对2号猴子的作用力大小为
题组三　动力学中的临界问题
7.如图所示，货车上一圆柱形货物A被放在V形物体B中，以防止A前后滚动。固定在货车上的B物体由一斜面插上竖直挡板构成。若竖直挡板与A之间的弹力为FN1，斜面与A之间的弹力为FN2，货车向右运动过程中，A和B保持相对静止，下列说法正确的是（　　）
A.货车加速，则FN1增大，FN2减小
B.货车加速，则FN1增大，FN2不变
C.货车减速，则FN1减小，FN2增大
D.货车减速，则FN1不变，FN2增大
8.如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，长木板与水平面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。现对物块施加一水平向右的拉力F，则长木板加速度a的大小可能是（　　）
A.μg B.μg
C.μg D.－μg
9.某动车组只有5节车厢，其中第1、3节车厢为动车，其余为拖车，假设动车组各车厢质量相等，行驶时各车厢受到的阻力大小相同，动车提供的动力大小均为F，则动车匀加速行驶时，相互之间作用力最大的两节车厢是（　　）
A.1、2节车厢 B.2、3节车厢
C.3、4节车厢 D.4、5节车厢
10.（多选）粗糙的水平面上，一物体在水平方向拉力作用下做直线运动，水平拉力F及物体运动速度v随时间变化的图像如图甲、乙所示，取重力加速度g＝10 m/s2，则（　　）
A.1 s末物体的加速度大小为2 m/s2
B.第2 s内物体的位移大小是4 m
C.物体的质量m＝5 kg
D.0～4 s过程中物体做匀变速直线运动
11.一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°，当车以加速度a＝g（重力加速度为g）向左做匀加速直线运动时，求1、2两绳拉力的大小。
12.如图甲所示，重物A和滑块B用细线跨过定滑轮相连，重物A的质量为0.5 kg，滑块B的质量为1.5 kg。t＝0时刻，A、B速度为零，绳处于绷紧状态，重物A距地面的高度为1.4 m，此时对滑块B施加一个水平向右的拉力F，拉力F的大小随时间的变化规律如图乙所示。桌面和B之间的摩擦力很小可忽略不计。若重物A距滑轮的高度足够大，求：（取g＝10 m/s2）
（1）滑块B前2 s的加速度的大小；
（2）4 s内重物A上升的高度；
（3）若4 s末细线由于磨损断裂，重物A又经过多长时间落回地面。
习题课五　动力学图像、连接体和临界问题
1.BC　物体在0～t0时间内，F减小，则物体的合力逐渐减小，由牛顿第二定律知，加速度逐渐减小，当F＝0时加速度减至0。 因为加速度的方向与速度方向相同，则速度逐渐增大，当加速度a＝0时，速度v最大，B、C正确，A、D错误。
2.BC　根据牛顿第二定律得F－μmg＝ma，整理得F＝ma＋μmg，则F-a图像的斜率为m，纵截距为μmg。由题图可知m甲＞m乙，μ甲m甲g＝μ乙m乙g，则μ甲＜μ乙，故选B、C。
3.AC　当θ＝时，滑块做自由落体运动，则有a1＝g＝10 m/s2，A正确，B错误；当θ＝0°时，加速度大小为7.5 m/s2，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，解得μ＝＝0.75，C正确；当加速度为零时，有mgsin θ1＝μmgcos θ1，联立解得θ1＝37°，D错误。
4.C　对P、Q整体，由牛顿第二定律可知mgsin 53°－mgsin 37°＝2ma，对物块P，有FT－mgsin 37°＝ma，解得FT＝7 N。故C正确。
5.BD　用水平推力F向右推A时，对整体由牛顿第二定律得F－μ（M＋m）g＝（M＋m）a1，对于B由牛顿第二定律得F1－μmg＝ma1，解得a1＝－μg，F1＝，用水平推力F向左推B时，对A、B整体由牛顿第二定律得F－μ（M＋m）g＝（M＋m）a2，对于A由牛顿第二定律得F2－μMg＝Ma2，解得a2＝－μg，F2＝，所以F1∶F2＝m∶M，a1∶a2＝1∶1，B、D正确，A、C错误。
6.C　在3号猴子手滑后的一瞬间，4号猴子只受重力作用，其加速度等于重力加速度，速度等于0，A错误；在3号猴子手滑后的一瞬间，1号、2号、3号猴子的加速度a相同，以前三只猴子整体为研究对象，由牛顿第二定律得mg＝3ma，解得a＝g ，加速度的方向竖直向上，B错误；设2号猴子对3号猴子的作用力为F23，则F23－mg＝ma ，解得F23＝，C正确；设1号猴子对2号猴子的作用力为F12，则F12－2mg＝2ma，解得F12＝，D错误。
7.B　货车向右加速，以A为研究对象，在竖直方向有FN2cos θ＝mAg，水平方向FN1－FN2sin θ＝mAa，A和B保持相对静止，所以FN2不变，则FN1变大，故A错误，B正确；若货车减速，加速度水平向左，以A为研究对象，在竖直方向有FN2cos θ＝mAg，水平方向有FN2sin θ－FN1＝mAa，A和B保持相对静止，所以FN2不变，则FN1减小，故C、D错误。
8.D　若物块和长木板之间不发生相对滑动，物块和长木板一起运动，对物块和长木板组成的整体，根据牛顿第二定律可得F－μ·2mg＝2ma，解得a＝－μg；若物块和长木板之间发生相对滑动，对长木板，水平方向受两个摩擦力的作用，根据牛顿第二定律，有μmg－μ·2mg＝ma，解得a＝μg，D正确。
9.C　设1、2节车厢间相互作用力大小为F1，2、3节车厢间相互作用力大小为F2，3、4节车厢间相互作用力大小为F3，4、5节车厢间相互作用力大小为F4，根据牛顿第二定律，对整体，有2F－5Ff＝5ma，对第1节车厢，有F－Ff－F1＝ma，对第1、2节车厢，有F－2Ff－F2＝2ma，对第1、2、3节车厢，有2F－3Ff－F3＝3ma，对第1、2、3、4节车厢，有2F－4Ff－F4＝4ma，解得F1＝F，F2＝F，F3＝F，F4＝F，故选C。
10.AC　根据速度—时间图像的斜率表示加速度，知1 s末物体的加速度大小a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；第2 s内物体的位移x＝×1 m＝3 m，故B错误；根据牛顿第二定律及题图知，前2 s内有F1－μmg＝ma，后2 s内有F2＝μmg，其中F1＝15 N，F2＝5 N，解得m＝5 kg，μ＝0.1，故C正确；前2 s内物体做匀加速运动，后2 s内物体做匀速直线运动，则0～4 s过程中物体做非匀变速直线运动，故D错误。
11.mg　0
解析：设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左且大小为a0，由牛顿第二定律得F1cos 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得a0＝g。
当车以加速度a＝g向左做匀加速直线运动时，因a＝g＜a0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有F1'cos θ＝mg，
F1'sin θ＝ma，联立得F1'＝mg。
12.（1）0.5 m/s2 　（2）1 m　（3）0.6 s
解析：（1）在0～2 s内，由牛顿第二定律可得
对B，有F1－FT＝Ma1
对A，有FT'－mg＝ma1
又FT＝FT'
联立解得a1＝0.5 m/s2。
（2）在2～4 s内，由牛顿第二定律可得
对B，有FT1－F2＝Ma2
对A，有mg－FT1'＝ma2
又FT1＝FT1'，解得a2＝1 m/s2
0～2 s内，设A的位移为h1，2 s末速度v1，则
h1＝a1＝1 m，v1＝a1t1＝1 m/s
2～4 s内，设A的位移为h2，则h2＝v1t2－a2＝0 m
4 s内A上升的高度h＝h1＋h2＝1 m。
（3）设重物A在4 s末速度为v2，则
v2＝v1－a2t2＝－1 m/s
此时A距地面高度H＝h＋1.4 m＝2.4 m
根据H＝－v2t3＋g
解得t3＝0.6 s。
4 / 4习题课五　动力学图像、连接体和临界问题
要点一　动力学中的图像问题
1.常见的几种动力学图像
图像 题型
v-t图像 已知物体的运动图像，求解物体的受力情况 运动图像关联受力图像，对物体的受力情况、运动情况进行综合考查
a-t图像
F-t图像 已知物体的受力图像，求解物体的运动情况
F-a图像
2.解题思路
（1）从x-t图像、v-t图像或a-t图像中分析物体的运动情况，尤其是加速度的大小、方向变化情况，根据牛顿第二定律分析受力情况。
（2）从F-t图像、F-a图像或F-x图像中分析物体的受力情况，根据牛顿第二定律求加速度大小和方向，结合运动学特征分析物体的运动情况。
3.解题关键：充分挖掘图像隐含条件或信息，并把运动学图像和力的图像结合起来分析。
【典例1】　如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动。过A点时给物体一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v-t 图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
（2）10 s内物体的位移；
（3）物体再次回到A点时的速度大小。
尝试解答
　　
1.用与斜面平行的力F拉着物体在倾角为θ的光滑斜面上运动，如果改变拉力F的大小，物体的加速度随外力F变化的图像如图所示，已知外力F沿斜面向上，重力加速度g取10 m/s2，请根据图像中所提供的信息计算出斜面的倾角和物体的质量分别是（　　）
A.30°和2 kg B.60°和3 kg
C.30°和3 kg D.60°和2 kg
2.质量为1 kg的物体只在力F的作用下运动，力F随时间t变化的图像如图所示，在t＝1 s时，物体的速度为零，则物体运动的v-t图像、a-t图像正确的是（　　）
要点二　动力学中的连接体问题
1.常见的连接体
2.连接体问题的处理方法
整体法 把整个系统作为一个研究对象，不必考虑系统的内力，只需分析系统受到的外力，然后依据牛顿第二定律列方程求解
隔离法 把系统中的一部分作为研究对象，此时系统的内力就有可能成为该研究对象所受的外力，在分析时应加以注意
3.整体法与隔离法的选择
（1）整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
（2）涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
（3）若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
（4）若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
【典例2】　如图所示，质量为m1和m2的两个物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿水平面，再沿斜面，最后竖直向上做匀加速运动，不计空气阻力，m1、m2与各接触面的动摩擦因数相同，在三个阶段的运动中，线上拉力的大小（　　）
A.由大变小
B.由小变大
C.始终不变且大小为F
D.由大变小再变大
尝试解答
3.如图所示，固定的光滑斜面其倾角为30°，斜面顶端固定一小定滑轮，两个小物块P和Q用细线绕过定滑轮相连，细线平行于斜面，P、Q的质量分别为3m和m，在手的作用下保持静止。现在松手释放该系统，则细线的拉力为（　　）
A.mg B.mg
C.mg D.mg
要点三　动力学中的临界问题
1.问题概述：动力学问题中的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
2.常见情景及临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
临界状态 临界条件
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力FT＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为零
【典例3】　如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球（重力加速度为g）。
（1）当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
（2）当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？
（3）当滑块以a'＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
尝试解答
规律方法
求解临界问题的三种常用方法
极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件
4.如图所示，A、B两物体的质量分别为m1＝1 kg、m2＝2 kg，A和B之间的动摩擦因数μ1＝0.2，水平面光滑，要使A和B之间不发生相对运动，则F最大不得超过（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2）（　　）
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
5.大质量钢卷是公路运输中的危险物品，如图符合规范的装载支架是安全运输的保障，运输过程中要求“缓加速慢减速”是血的教训换来的。若已知支架斜面均与水平面成α＝30°，则运输车刹车时加速度不能超过（　　）
A.0.5g B.g
C.g D.g
1.（多选）一雨滴从空中由静止开始沿竖直方向落下，若雨滴下落过程中所受重力保持不变，且空气对雨滴的阻力随其下落速度的增大而增大，则如图所示的图像中可能正确反映雨滴整个下落过程运动情况的是（　　）
2.（2023·北京高考6题）如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为（　　）
A.1 N B.2 N
C.4 N D.5 N
3.如图甲所示，一名滑雪爱好者（可视为质点）穿着滑雪板（未带滑雪杖）从山坡上的A点由静止滑下，经B点滑上水平面，不计滑雪爱好者经过B点时的速率变化，滑雪爱好者在斜面和水平面上运动的速率随时间的变化图像如图乙所示。已知斜面与水平面的夹角为37°，滑雪板与斜面、水平面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，sin 37°＝0.6。则滑雪板与斜面间的动摩擦因数为（　　）
A. B.
C. D.
4.如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，物块A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，物块A、B一起运动且物块B恰好不下滑，求力F的大小。
习题课五　动力学图像、连接体和临界问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）3 N　0.05　（2）2 m，方向水平向左　（3）4 m/s
解析：（1）设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v-t图像得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2，
由牛顿第二定律有F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2
联立解得F＝3 N，μ＝0.05。
（2）物体减速阶段即0到4 s内发生的位移大小x1＝v0t1－a1＝16 m，方向水平向右；
物体从4 s到10 s反向做加速运动，发生的位移大小为x2＝a2＝18 m，方向水平向左；
所以10 s内物体的位移大小x＝｜x1－x2｜＝2 m，
方向水平向左。
（3）由运动学公式v2＝2a2x1
代入数据解得v＝4 m/s。
素养训练
1.C　对物体受力分析，根据牛顿第二定律得F－mgsin θ＝ma，解得a＝－gsin θ，由题图知－gsin θ＝－5 m/s2，sin θ＝0.5，即θ＝30°，又图线的斜率k＝＝ kg－1，则m＝3 kg，C正确。
2.B　第1 s内物体受力方向为负，t＝1 s时速度为0，则在前1 s内做减速运动，加速度为－1 m/s2，t＝0时，速度为1 m/s；第2 s内物体从速度为0做正向加速运动，加速度为2 m/s2；第2～4 s内做减速运动，加速度为－1 m/s2，结合所给选项，知只有B正确。
要点二
知识精研
【典例2】　C　在水平面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a1，对质量为m1的物体，由牛顿第二定律得FT1－μm1g＝m1a1，联立解得FT1＝F；在斜面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ（m1＋m2）gcos θ－（m1＋m2）gsin θ＝（m1＋m2）a2，对质量为m1的物体，由牛顿第二定律得FT2－μm1gcos θ－m1gsin θ＝m1a2，联立解得FT2＝F；在竖直方向时，对整体由牛顿第二定律得F－（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a3，对质量为m1的物体，由牛顿第二定律得FT3－m1g＝m1a3，联立解得FT3＝F。综上分析可知，细线上拉力的大小始终不变且大小为F，选项C正确。
素养训练
3.D　对小物块P受力分析，由牛顿第二定律可得3mgsin 30°－FT＝3 ma，对小物块Q受力分析，由牛顿第二定律可得FT'－mg＝ma，又FT＝FT'，解得a＝，FT＝mg，选项D正确。
要点三
知识精研
【典例3】　（1）g　（2）g　（3）mg
解析：（1）当FT＝0时，小球受重力mg和斜面的支持力FN作用，如图甲所示，则mgtan 45°＝ma
解得a＝g。故当滑块向右运动的加速度为g时，线对小球的拉力刚好等于零。
（2）假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、
线的拉力FT1和斜面的支持力FN1作用，如图乙所示。
由牛顿第二定律得
水平方向FT1cos 45°－FN1sin 45°＝ma1，
竖直方向FT1sin 45°＋FN1cos 45°－mg＝0。
解得FN1＝，FT1＝。
由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力FN1减小，线的拉力FT1增大；当a1＝g时，FN1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝mg。所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零。
（3）当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示。当滑块以a'＝2g的加速度向左运动时，此时细线与水平方向间的夹角α＜45°。由勾股定理得FT'＝＝mg。
素养训练
4.C　拉力F作用在物体B上时，若A、B间恰好不发生相对运动，则A、B间的静摩擦力达到最大值，对物体A有μ1m1g＝m1am，对整体有Fm＝（m1＋m2）am，联立以上各式解得Fm＝6 N，选项C正确，A、B、D错误。
5.B　对钢卷受力分析，可得临界状态时后支架斜面对钢卷无作用力，前支架斜面对钢卷有支持力FN，由牛顿第二定律得FNcos α＝mg，FNsin α＝ma，得a＝gtan α＝gtan 30°＝g，所以运输车刹车时加速度不能超过g。故选B。
【教学效果·勤检测】
1.AC　雨滴在下落过程中受重力和空气阻力，阻力随着速度增大而增大，根据牛顿第二定律有a＝，可知加速度减小，雨滴做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零时，雨滴做匀速直线运动，故A、C正确，B、D错误。
2.C　对两物块整体受力分析，有F＝2ma，再对左边的物块，有FTmax＝ma，又FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N，故选C。
3.A　由题图v-t图像可知滑雪爱好者在斜面和水平面上运动的加速度之比为＝，设滑雪爱好者与滑雪板的总质量为m，滑雪板与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma1，μmg＝ma2，又＝，联立解得μ＝，故A正确，B、C、D错误。
4.125 N
解析：物块B恰好不下滑，对物块B沿竖直方向由平衡条件得
μ1FN＝m2g，
水平方向由牛顿第二定律得
FN＝m2a；
对整体有F－μ2（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a，
解得F＝125 N。
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习题课五　
动力学图像、连接体和临界问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　动力学中的图像问题
1. 常见的几种动力学图像
图像 题型
v-t图像 已知物体的运动图像，求解物体的受力情况 运动图像关联受力图
像，对物体的受力情
况、运动情况进行综合
考查
a-t图像
F-t图像 已知物体的受力图像，求解物体的运动情况
F-a图像
2. 解题思路
（1）从x-t图像、v-t图像或a-t图像中分析物体的运动情况，尤其是
加速度的大小、方向变化情况，根据牛顿第二定律分析受力
情况。
（2）从F-t图像、F-a图像或F-x图像中分析物体的受力情况，根据
牛顿第二定律求加速度大小和方向，结合运动学特征分析物
体的运动情况。
3. 解题关键：充分挖掘图像隐含条件或信息，并把运动学图像和力的
图像结合起来分析。
【典例1】　如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做
直线运动。过A点时给物体一个水平向左的恒力F并开始计时，选
水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，
所得v-t 图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
答案：3 N　0.05　
解析：设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为
a1，向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v-t图像
得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2，
由牛顿第二定律有F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2
联立解得F＝3 N，μ＝0.05。
（2）10 s内物体的位移；
答案：2 m，方向水平向左
解析：物体减速阶段即0到4 s内发生的位移大小x1＝v0t1－
a1＝16 m，方向水平向右；
物体从4 s到10 s反向做加速运动，发生的位移大小为x2＝
a2＝18 m，方向水平向左；
所以10 s内物体的位移大小x＝｜x1－x2｜＝2 m，
方向水平向左。
（3）物体再次回到A点时的速度大小。
答案：4 m/s
解析：由运动学公式v2＝2a2x1
代入数据解得v＝4 m/s。
1. 用与斜面平行的力F拉着物体在倾角为θ的光滑斜面上运动，如果改
变拉力F的大小，物体的加速度随外力F变化的图像如图所示，已
知外力F沿斜面向上，重力加速度g取10 m/s2，请根据图像中所提供
的信息计算出斜面的倾角和物体的质量分别是（　　）
A. 30°和2 kg B. 60°和3 kg
C. 30°和3 kg D. 60°和2 kg
解析：　对物体受力分析，根据牛顿第二定律得F－mgsin θ＝
ma，解得a＝－gsin θ，由题图知－gsin θ＝－5 m/s2，sin θ＝
0.5，即θ＝30°，又图线的斜率k＝＝ kg－1，则m＝3
kg，C正确。
2. 质量为1 kg的物体只在力F的作用下运动，力F随时间t变化的图像如图所示，在t＝1 s时，物体的速度为零，则物体运动的v-t图像、a-t图像正确的是（　　）
解析：　第1 s内物体受力方向为负，t＝1 s时速度为0，则在前1 s
内做减速运动，加速度为－1 m/s2，t＝0时，速度为1 m/s；第2 s内
物体从速度为0做正向加速运动，加速度为2 m/s2；第2～4 s内做减
速运动，加速度为－1 m/s2，结合所给选项，知只有B正确。
要点二　动力学中的连接体问题
1. 常见的连接体
2. 连接体问题的处理方法
整体
法 把整个系统作为一个研究对象，不必考虑系统的内力，只需分
析系统受到的外力，然后依据牛顿第二定律列方程求解
隔离
法 把系统中的一部分作为研究对象，此时系统的内力就有可能成
为该研究对象所受的外力，在分析时应加以注意
3. 整体法与隔离法的选择
（1）整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优
先采用整体法。
（2）涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
（3）若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相
互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析
其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内
力”。
（4）若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，
再以整体为研究对象求解外力。
【典例2】　如图所示，质量为m1和m2的两个物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿水平面，再沿斜面，最后竖直向上做匀加速运动，不计空气阻力，m1、m2与各接触面的动摩擦因数相同，在三个阶段的运动中，线上拉力的大小（　　）
A. 由大变小
B. 由小变大
C. 始终不变且大小为F
D. 由大变小再变大
解析：在水平面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ（m1
＋m2）g＝（m1＋m2）a1，对质量为m1的物体，由牛顿第
二定律得FT1－μm1g＝m1a1，联立解得FT1＝F；在
斜面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ（m1＋m2）gcos
θ－（m1＋m2）gsin θ＝（m1＋m2）a2，对质量为m1的物
体，由牛顿第二定律得FT2－μm1gcos θ－m1gsin θ＝m1a2，
联立解得FT2＝F；
在竖直方向时，对整体由牛顿第二定律得F－（m1＋m2）g＝（m1
＋m2）a3，对质量为m1的物体，由牛顿第二定律得FT3－m1g＝
m1a3，联立解得FT3＝F。综上分析可知，细线上拉力的大
小始终不变且大小为F，选项C正确。
3. 如图所示，固定的光滑斜面其倾角为30°，斜面顶端固定一小定滑
轮，两个小物块P和Q用细线绕过定滑轮相连，细线平行于斜面，
P、Q的质量分别为3m和m，在手的作用下保持静止。现在松手释
放该系统，则细线的拉力为（　　）
A. mg B. mg
C. mg D. mg
解析：　对小物块P受力分析，由牛顿第二定律可得3mgsin 30°
－FT＝3 ma，对小物块Q受力分析，由牛顿第二定律可得FT'－mg
＝ma，又FT＝FT'，解得a＝，FT＝mg，选项D正确。
要点三　动力学中的临界问题
1. 问题概述：动力学问题中的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等
词语暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力FT＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为零
2. 常见情景及临界条件
【典例3】　如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形
滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球（重力加速度
为g）。
（1）当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等
于零？
答案：g　
解析：当FT＝0时，小球受重力mg和斜
面的支持力FN作用，如图甲所示，
则mgtan 45°＝ma
解得a＝g。故当滑块向右运动的加速度为g时，线对小球的拉力刚好等于零。
（2）当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力
等于零？
答案：g　
解析：假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、
线的拉力FT1和斜面的支持力FN1作用，如图乙所示。
由牛顿第二定律得
水平方向FT1cos 45°－FN1sin 45°＝ma1，
竖直方向FT1sin 45°＋FN1cos 45°－mg＝0。
解得FN1＝，FT1＝。
由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力FN1
减小，线的拉力FT1增大；当a1＝g时，FN1＝0，此时小球虽与
斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝
mg。所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时，小球对
滑块的压力等于零。
（3）当滑块以a'＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
答案：mg
解析：当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离
斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所
示。当滑块以a'＝2g的加速度向左运动时，此
时细线与水平方向间的夹角α＜45°。由勾股
定理得FT'＝＝mg。
规律方法
求解临界问题的三种常用方法
极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状
态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件
4. 如图所示，A、B两物体的质量分别为m1＝1 kg、m2＝2 kg，A和B
之间的动摩擦因数μ1＝0.2，水平面光滑，要使A和B之间不发生相
对运动，则F最大不得超过（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g
＝10 m/s2）（　　）
A. 2 N B. 4 N
C. 6 N D. 8 N
解析：　拉力F作用在物体B上时，若A、B间恰好不发生相对运
动，则A、B间的静摩擦力达到最大值，对物体A有μ1m1g＝m1am，
对整体有Fm＝（m1＋m2）am，联立以上各式解得Fm＝6 N，选项C
正确，A、B、D错误。
5. 大质量钢卷是公路运输中的危险物品，如图符合规范的装载支架是
安全运输的保障，运输过程中要求“缓加速慢减速”是血的教训换
来的。若已知支架斜面均与水平面成α＝30°，则运输车刹车时加
速度不能超过（　　）
A. 0.5g B. g C. g D. g
解析：　对钢卷受力分析，可得临界状态时后支架斜面对钢卷无
作用力，前支架斜面对钢卷有支持力FN，由牛顿第二定律得FNcos
α＝mg，FNsin α＝ma，得a＝gtan α＝gtan 30°＝g，所以运输车
刹车时加速度不能超过g。故选B。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （多选）一雨滴从空中由静止开始沿竖直方向落下，若雨滴下落过程中所受重力保持不变，且空气对雨滴的阻力随其下落速度的增大而增大，则如图所示的图像中可能正确反映雨滴整个下落过程运动情况的是（　　）
解析：　雨滴在下落过程中受重力和空气阻力，阻力随着速度
增大而增大，根据牛顿第二定律有a＝，可知加速度减小，雨
滴做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零时，雨滴做匀速直
线运动，故A、C正确，B、D错误。
2. （2023·北京高考6题）如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块
用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2
N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。
则F的最大值为（　　）
A. 1 N B. 2 N
C. 4 N D. 5 N
解析：　对两物块整体受力分析，有F＝2ma，再对左边的物块，
有FTmax＝ma，又FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N，故选C。
3. 如图甲所示，一名滑雪爱好者（可视为质点）穿着滑雪板（未带滑
雪杖）从山坡上的A点由静止滑下，经B点滑上水平面，不计滑雪
爱好者经过B点时的速率变化，滑雪爱好者在斜面和水平面上运动
的速率随时间的变化图像如图乙所示。已知斜面与水平面的夹角为
37°，滑雪板与斜面、水平面间的动摩擦因数相等，不计空气阻
力，sin 37°＝0.6。则滑雪板与斜面间的动摩擦因数为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题图v-t图像可知滑雪爱好者在斜面和水平面上运动的
加速度之比为＝，设滑雪爱好者与滑雪板的总质量为m，滑雪板
与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得mgsin 37°－
μmgcos 37°＝ma1，μmg＝ma2，又＝，联立解得μ＝，故A正
确，B、C、D错误。
4. 如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、
B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，物块A与水平地面之间的动摩擦因数
为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，
在水平力F的推动下，物块A、B一起运动且物块B恰好不下滑，求
力F的大小。
答案：125 N
解析：物块B恰好不下滑，对物块B沿竖直方向由平衡条件得
μ1FN＝m2g，
水平方向由牛顿第二定律得
FN＝m2a；
对整体有F－μ2（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a，
解得F＝125 N。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　动力学中的图像问题
1. （多选）一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动。t＝0时，开始
对物体施加一外力F，力F的方向与速度方向相同，大小随时间变
化的关系如图所示，则物体在0～t0时间内（　　）
A. 物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐减小
B. 物体的加速度a逐渐减小，速度v逐渐增大
C. t0时刻物体的加速度a＝0，速度v最大
D. t0时刻物体的加速度a＝0，速度v＝0
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解析：　物体在0～t0时间内，F减小，则物体的合力逐渐减小，
由牛顿第二定律知，加速度逐渐减小，当F＝0时加速度减至0。 因
为加速度的方向与速度方向相同，则速度逐渐增大，当加速度a＝0
时，速度v最大，B、C正确，A、D错误。
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2. （多选）（2023·全国甲卷19题）用水平拉力使质量分别为m甲、m乙
的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌
面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉
力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知（　　）
A. m甲＜m乙 B. m甲＞m乙
C. μ甲＜μ乙 D. μ甲＞μ乙
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解析：　根据牛顿第二定律得F－μmg＝ma，整理得F＝ma＋
μmg，则F-a图像的斜率为m，纵截距为μmg。由题图可知m甲＞m
乙，μ甲m甲g＝μ乙m乙g，则μ甲＜μ乙，故选B、C。
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3. （多选）如图乙所示，坐标系中的曲线反映的是图甲中滑块在斜面
上自由下滑时，加速度a与斜面倾角θ之间的关系图像，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（　　）
A. a1的大小为10 m/s2
B. a1的大小为8 m/s2
C. 滑块与斜面间的动摩擦因数为0.75
D. θ1＝53°
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解析：　当θ＝时，滑块做自由落体运动，则有a1＝g＝10
m/s2，A正确，B错误；当θ＝0°时，加速度大小为7.5 m/s2，根据
牛顿第二定律有μmg＝ma，解得μ＝＝0.75，C正确；当加速度为
零时，有mgsin θ1＝μmgcos θ1，联立解得θ1＝37°，D错误。
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题组二　动力学中的连接体问题
4. 如图所示，两底角分别为37°和53°的光滑三角劈固定在水平地面
上，三角劈顶端装有一光滑定滑轮。质量均为1 kg的物块P、Q用跨
过定滑轮的轻绳连接，不计一切摩擦，三角劈斜面足够长，已知重
力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8。同时由静止
释放P、Q后，轻绳的拉力大小为（　　）
A. 5 N B. 6 N
C. 7 N D. 8 N
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解析：　对P、Q整体，由牛顿第二定律可知mgsin 53°－mgsin
37°＝2ma，对物块P，有FT－mgsin 37°＝ma，解得FT＝7 N。故
C正确。
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5. （多选）如图所示，材料相同，质量分别为M和m的两物体A和B靠
在一起放在水平面上。用水平推力F向右推A使两物体一起向右加
速运动时（图甲），A和B之间的作用力为F1，加速度为a1。用同
样大小的水平推力F向左推B使两物体一起向左加速运动时（图
乙），A和B之间的作用力为F2，加速度为a2。则（　　）
A. F1∶F2＝1∶1 B. F1∶F2＝m∶M
C. a1∶a2＝M∶m D. a1∶a2＝1∶1
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解析：　用水平推力F向右推A时，对整体由牛顿第二定律得F
－μ（M＋m）g＝（M＋m）a1，对于B由牛顿第二定律得F1－μmg
＝ma1，解得a1＝－μg，F1＝，用水平推力F向左推B
时，对A、B整体由牛顿第二定律得F－μ（M＋m）g＝（M＋m）
a2，对于A由牛顿第二定律得F2－μMg＝Ma2，解得a2＝－
μg，F2＝，所以F1∶F2＝m∶M，a1∶a2＝1∶1，B、D正确，
A、C错误。
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6. 如图所示，四只猴子水中捞月，它们将一棵又直又高的杨树压弯，
竖直倒挂在树梢上，从上到下依次为1、2、3、4号猴子。正当4号
猴子打算伸手捞“月亮”时，3号猴子突然两手一滑没抓稳，4号猴
子扑通一声掉进了水里。假设3号猴子手滑前四只猴子都处于静止
状态，四只猴子的质量都相等且为m，重力加速度为g，那么在3号
猴子手滑后的一瞬间（　　）
A. 4号猴子的加速度和速度都等于0
B. 3号猴子的加速度大小为g，方向竖直向上
C. 2号猴子对3号猴子的作用力大小为
D. 1号猴子对2号猴子的作用力大小为
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解析：　在3号猴子手滑后的一瞬间，4号猴子只受重力作用，其
加速度等于重力加速度，速度等于0，A错误；在3号猴子手滑后的
一瞬间，1号、2号、3号猴子的加速度a相同，以前三只猴子整体为
研究对象，由牛顿第二定律得mg＝3ma，解得a＝g ，加速度的方
向竖直向上，B错误；设2号猴子对3号猴子的作用力为F23，则F23
－mg＝ma ，解得F23＝，C正确；设1号猴子对2号猴子的作用
力为F12，则F12－2mg＝2ma，解得F12＝，D错误。
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题组三　动力学中的临界问题
7. 如图所示，货车上一圆柱形货物A被放在V形物体B中，以防止A前
后滚动。固定在货车上的B物体由一斜面插上竖直挡板构成。若竖
直挡板与A之间的弹力为FN1，斜面与A之间的弹力为FN2，货车向
右运动过程中，A和B保持相对静止，下列说法正确的是（　　）
A. 货车加速，则FN1增大，FN2减小
B. 货车加速，则FN1增大，FN2不变
C. 货车减速，则FN1减小，FN2增大
D. 货车减速，则FN1不变，FN2增大
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解析：　货车向右加速，以A为研究对象，在竖直方向有FN2cos θ
＝mAg，水平方向FN1－FN2sin θ＝mAa，A和B保持相对静止，所以
FN2不变，则FN1变大，故A错误，B正确；若货车减速，加速度水
平向左，以A为研究对象，在竖直方向有FN2cos θ＝mAg，水平方向
有FN2sin θ－FN1＝mAa，A和B保持相对静止，所以FN2不变，则FN1
减小，故C、D错误。
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8. 如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，
长木板和物块的质量均为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，
长木板与水平面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力与滑动摩
擦力大小相等，重力加速度为g。现对物块施加一水平向右的拉力
F，则长木板加速度a的大小可能是（　　）
A. μg B. μg
C. μg D. －μg
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解析：　若物块和长木板之间不发生相对滑动，物块和长木板一
起运动，对物块和长木板组成的整体，根据牛顿第二定律可得F－
μ·2mg＝2ma，解得a＝－μg；若物块和长木板之间发生相对滑
动，对长木板，水平方向受两个摩擦力的作用，根据牛顿第二定
律，有μmg－μ·2mg＝ma，解得a＝μg，D正确。
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9. 某动车组只有5节车厢，其中第1、3节车厢为动车，其余为拖车，
假设动车组各车厢质量相等，行驶时各车厢受到的阻力大小相同，
动车提供的动力大小均为F，则动车匀加速行驶时，相互之间作用
力最大的两节车厢是（　　）
A. 1、2节车厢 B. 2、3节车厢
C. 3、4节车厢 D. 4、5节车厢
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解析：　设1、2节车厢间相互作用力大小为F1，2、3节车厢间相
互作用力大小为F2，3、4节车厢间相互作用力大小为F3，4、5节车
厢间相互作用力大小为F4，根据牛顿第二定律，对整体，有2F－
5Ff＝5ma，对第1节车厢，有F－Ff－F1＝ma，对第1、2节车厢，
有F－2Ff－F2＝2ma，对第1、2、3节车厢，有2F－3Ff－F3＝
3ma，对第1、2、3、4节车厢，有2F－4Ff－F4＝4ma，解得F1＝
F，F2＝F，F3＝F，F4＝F，故选C。
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10. （多选）粗糙的水平面上，一物体在水平方向拉力作用下做直线
运动，水平拉力F及物体运动速度v随时间变化的图像如图甲、乙
所示，取重力加速度g＝10 m/s2，则（　　）
A. 1 s末物体的加速度大小为2 m/s2
B. 第2 s内物体的位移大小是4 m
C. 物体的质量m＝5 kg
D. 0～4 s过程中物体做匀变速直线运动
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解析：　根据速度—时间图像的斜率表示加速度，知1 s末物体
的加速度大小a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；第2 s内物体的位
移x＝×1 m＝3 m，故B错误；根据牛顿第二定律及题图知，前
2 s内有F1－μmg＝ma，后2 s内有F2＝μmg，其中F1＝15 N，F2＝5
N，解得m＝5 kg，μ＝0.1，故C正确；前2 s内物体做匀加速运
动，后2 s内物体做匀速直线运动，则0～4 s过程中物体做非匀变
速直线运动，故D错误。
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11. 一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的
A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角
均为45°，当车以加速度a＝g（重力加速度为g）向左做匀加速
直线运动时，求1、2两绳拉力的大小。
答案：mg　0
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解析：设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左且大小为
a0，由牛顿第二定律得F1cos 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得a0
＝g。
当车以加速度a＝g向左做匀加速直线运动时，因a＝g＜a0，故
细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有
F1'cos θ＝mg，
F1'sin θ＝ma，联立得F1'＝mg。
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12. 如图甲所示，重物A和滑块B用细线跨过定滑轮相连，重物A的质
量为0.5 kg，滑块B的质量为1.5 kg。t＝0时刻，A、B速度为零，
绳处于绷紧状
态，重物A距地面的高度为1.4 m，此时对滑块B施加一个水平向
右的拉力F，拉力F的大小随时间的变化规律如图乙所示。桌面和
B之间的摩擦力很小可忽略不计。若重物A距滑轮的高度足够大，
求：（取g＝10 m/s2）
（1）滑块B前2 s的加速度的大小；
答案：0.5 m/s2 　
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解析：在0～2 s内，由牛顿第二定律可得
对B，有F1－FT＝Ma1
对A，有FT'－mg＝ma1
又FT＝FT'
联立解得a1＝0.5 m/s2。
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（2）4 s内重物A上升的高度；
答案：1 m　
解析：在2～4 s内，由牛顿第二定律可得
对B，有FT1－F2＝Ma2
对A，有mg－FT1'＝ma2
又FT1＝FT1'，解得a2＝1 m/s2
0～2 s内，设A的位移为h1，2 s末速度v1，则h1＝a1＝1
m，v1＝a1t1＝1 m/s
2～4 s内，设A的位移为h2，则h2＝v1t2－a2＝0 m
4 s内A上升的高度h＝h1＋h2＝1 m。
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（3）若4 s末细线由于磨损断裂，重物A又经过多长时间落回地面。
答案：0.6 s
解析：设重物A在4 s末速度为v2，则v2＝v1－a2t2＝－1 m/s
此时A距地面高度H＝h＋1.4 m＝2.4 m
根据H＝－v2t3＋g
解得t3＝0.6 s。
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