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第一章　特殊平行四边形
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　混淆特殊平行四边形的性质而出错
【例1】关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　 　）.
A.邻边相互垂直 B.对角线相互垂直 C.是中心对称图形 D.对边相等
（1）菱形、矩形、正方形具有平行四边形的所有性质，都是中心对称图形，轴对称图形；
（2）菱形邻边相等，对角线互相垂直；
（3）矩形四个角都是直角，对角线相等；
（4）正方形四个角都是直角，四条边相等，对角线互相垂直且相等.
1.菱形具有而矩形不具有的性质是（　 　）.
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　 　）.
A.菱形的对角线相等 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的四个角相等 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
　混淆特殊平行四边形的判定而出错
【例2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　 　）.
A.当AB＝BC时，它是菱形 B.当AB⊥BD时，它是矩形
C.当∠ABC＝90°时，它是菱形 D.当AC＝BD时，它是正方形
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
3.已知四边形ABCD的对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（　 　）.
A.一组对边相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.一个内角为 90°
4.（2024秋·龙岗区校级月考）下列说法不正确的是（　 　）.
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形
D.对角线相等的四边形是矩形
　对中点四边形的理解不清晰而出错
【例3】若顺次连接平行四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则平行四边形ABCD一定是（　 　）.
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
（1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形；
（2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形；
（3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形；
（4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形；
（5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个正方形.
5.（2024秋·电白区校级月考）在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F，G，H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形.这个条件是　 　.
第5题图
6.如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，使四边形EFGH为正方形，应添加的条件是（　 　）.
第6题图
A.AB∥CD且AB＝DC B.AB＝CD且AC⊥BD
C.AB∥CD且AC⊥BD D.AC＝BD且AC⊥BD
　对中点四边形的理解不透彻出现周长、面积出错
【例4】如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（　 　）.
A.3 B.6 C.9 D.12
（1）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和；
（2）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，点E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点，若AC＝6，BD＝4，则四边形EFGH的面积为　 　.
第7题图
8.如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10 cm，顺次连接各边中点E，F，G，H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为　 　cm.
第8题图
　菱形
1.菱形的性质
（1）四条边都相等，对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角；
（2）既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在的直线就是对称轴；
（3） 菱形的面积＝底×高＝.
2.菱形的判定
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边都相等的四边形是菱形.
1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD，BC于点O，E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　 　）.
第1题图
A.4 B.3 C.2 D.3
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝　 　°.
第2题图
3.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A'B⊥AD时，∠A'DE的度数为　 　.
第3题图
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP，CP交于点P，连接OP.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长.
　矩形
1.矩形的性质
（1）四个角都是直角，对角线相等且互相平分；
（2）既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴（对称轴为矩形对边中点所在的直线）.
2.矩形的判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是90°的四边形是矩形.
5.（2024秋·龙岗区校级期中）矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠ODE＝15°，则下列结论错误的是（　 　）.
第5题图
A.∠AOD＝120° B.△OEC是等腰三角形
C.∠AOE＝110° D.AC＝2EC
6.（2024秋·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH.若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为　 　.
第6题图
7.（2023·深圳九年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的周长为　 　.
第7题图
8.（2023·佛山九年级校联考）如图，BF是菱形BCFP的对角线，过点C作CD⊥PF于点D，CD交BF于点E，点A在FP的延长线上，连接AB，∠DPE＝∠ABP.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝6，BC＝10，求CE的长.
　正方形
1.正方形的性质
（1）四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角；
（2）对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴；
（3）正方形面积求法：S＝a2＝l2（a表示正方形的边长，l表示正方形的对角线长）.
注：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
9.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连接CE，则∠BEC的度数是（　 　）.
第9题图
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
10.如图，正方形ABCD的边长为8，点E 为AB边上的定点，△BCE绕正方形ABCD的中心O旋转得到△CDF，点F 在BC边上，连接OE，OF，则四边形OEBF的面积是（　 　）.
第10题图
A.16 B.16 C.8 D.8
11.（2024秋·福田区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝4，FB＝2，则MG＝　 　.
第11题图
12.（2024秋·龙岗区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，以AD，AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG.
（1）求证：FG＝2AO；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝60°，请求出△AGF的面积.
参考答案
【思维导图】
①邻边　②平行四边形　③相等　④互相垂直平分　⑤轴对称　⑥中心对称　⑦都相等　⑧四边形　⑨互相垂直　⑩平行四边形　 直角　 平行四边形　 直角　 相等且互相平分　 斜边的一半　 轴对称　 中心对称
直角　 四边形　 相等　 平行四边形　 邻边相等
直角　 平行四边形　 相等　 直角　 互相垂直　 相等　 轴对称　 中心对称　 邻边相等　 互相垂直　 相等　 直角　 中点　 平行四边形　 矩形　 菱形　 正方形　 之和　 一半
【易错点剖析】
【例1】B　1.D　2.D
【例2】A　3.C　4.D
【例3】B　5.AC＝BD（答案不唯一）　6.D
【例4】A　7.6　8.20
【重难点突破】
1.C　2.110　3.15°
4.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵AC 平分∠BAD，∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OD＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴CD＝＝10.
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝10.
5.C　解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝45°.
∵∠ODE＝15°，
∴∠ODC＝∠CDE＋∠ODE＝45°＋15°＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝∠OCD＝60°，
∴∠AOD＝180°－∠COD＝120°，
故选项A正确，不符合题意；
∵△OCD为等边三角形，∴CD＝OC，
又∵∠CDE＝45°，∠BCD＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD＝CE，∴OC＝CE，
∴△OEC是等腰三角形，故选项B正确，不符合题意；
∵∠OCE＝∠BCD－∠OCD＝90°－60°＝30°，OC＝CE，
∴∠COE＝（180°－∠OCE）＝×（180°－30°）＝75°，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，∠BOC＝∠AOD＝120°，
∴∠BOE＝∠BOC－∠COE＝120°－75°＝45°，
∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋45°＝105°≠110°，
故选项C错误，符合题意；
∵OA＝OC＝CE，∴AC＝OA＋OC＝2CE，
故选项D正确，不符合题意.
故选C.
6.6.5　解析：如图所示，连接AC，AP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，
∴AC＝＝＝10.
∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝3.5.
∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，
当A，P，C三点共线时，CP最小＝AC－AP＝10－3.5＝6.5，∴GH的最小值是6.5，故答案为6.5.
7.16
8.（1）证明：∵四边形BCFP是菱形，
∴PB＝BC＝PF，BC∥PF.
∴∠CBF＝∠PFB＝∠PBF.
∵CD⊥PF，BC∥PF，∴∠ADC＝∠BCD＝90°.
在△BEP和△BEC中，
∴△BEP≌△BEC（SAS）.
∴∠EPB＝∠ECB＝90°.∴∠DPE＋∠APB＝90°.
∵∠DPE＝∠ABP，∴∠ABP＋∠APB＝90°，
∴∠A＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
（2）解：∵△BEP≌△BEC，∴EP＝EC，BP＝BC＝10.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2＋AP2＝BP2.
∵AB＝6，∴AP＝8，∴PD＝AD－AP＝2.
设CE＝x，则EP＝CE＝x，ED＝6－x.
在Rt△EPD中，由勾股定理，得PD2＋DE2＝PE2，
即22＋（6－x）2＝x2，解得x＝，∴CE＝.
9.D　
10.B　解析：如图， 连接OB，OC.根据旋转的性质，知△BCE≌△CDF，
∴BE＝CF.∵点O是正方形ABCD的中心，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，OB＝OC.在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF，∴S四边形OEBF＝S△OBC＝AB2＝16.
11.3　解析：∵四边形ABCD是正方形，AF＝4，FB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，
∴AC＝＝6.
∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，
∴＝，∴＝，
∴EF＝4，∴AE＝＝4，
∴CE＝AC－AE＝2.
∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，
∴＝，∴＝＝2，∴CM＝3＝BM.
在△ CDM和△ BGM中，
∴△CDM≌△BGM（ASA），∴CD＝BG＝6，
∴MG＝＝＝3.
12.（1）证明：∵四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形，
∴AD＝AF，AB＝AG，∠BAG＝∠DAF＝90°，
∴∠GAF＋∠BAD＝180°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴∠GAF＝∠ADC.
在△AFG和△DAC中，
∴△AFG≌△DAC（SAS），∴GF＝AC.
∵平行四边形ABCD中，AC＝2AO，∴GF＝2AO.
（2）解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD＝4，∠BAD＝60°，∠AMD＝90°，
∴DM＝4sin 60°＝4×＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB·DM＝6×2＝12，
∴S△DAC＝S平行四边形ABCD＝6.
∵△AFG≌△DAC，∴S△DAC＝S△AGF＝6.
即△AGF的面积为6.

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