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期末复习（一）　特殊平行四边形
一、考点过关
考点1　菱形的性质与判定
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则菱形的周长是（　 　）.
第1题图
A.20 B.16 C.28 D.24
2.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝　 　.
第2题图
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择　 　（填序号）.
第3题图
考点2　矩形的性质与判定
4.如图，在矩形ABCD 中，AC，BD交于点O，点M，N分别为OD， DC的中点，若∠ADB＝65°，则∠MND的度数为（　 　）.
第4题图
A.25° B.30° C.60° D.65°
5.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB＝2，AC＝3，则矩形AEFC的面积为（　 　）.
第5题图
A.3 B.2 C.4 D.6
考点3　正方形的性质与判定
6.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（　 　）.
第6题图
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
7.（2024秋·龙岗区月考）菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　 　）.
A.对边相等 B.对边平行 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
二、核心考题
8.（2024秋·南山区期末）如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，CE于点G，H.已知BC＝CF＝2，CE＝EF＝，则GH的长为（　 　）.
A. B. C. D.
9.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　 　）.
第9题图
A.1 B. C. D.2
10.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DC＝2OD，延长DC至点E，使得CE＝CD，连接BE，则下列结论：①∠ACD＝30°；②OC＝BE；③四边形ABEC 为菱形；④△BCE的面积为菱形ABCD面积的一半.其中正确的结论个数为（　 　）.
第10题图
A.4 B.3 C.2 D.1
三、提升考题
11.（2024秋·龙岗区校级期末）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD.
（1）下列条件：
①D是BC边的中点；
②AD是△ABC的角平分线；
③点E与点F关于直线AD对称.
请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程.
（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长.
12.在边长为8的等边三角形ABC中，点D为BC的中点，点E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，连接FG交AC于点N，连接AG.
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，求证：四边形AFEG是菱形；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，当AM＋MF＝AE时，求∠EAG的度数.
参考答案
1.A　2.　3.①　4.A　5.B　6.A　7.D　8.A
9.D　解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°.∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°－∠BEF－∠FEB'＝60°，∴∠AB'E＝30°，∴B'E＝2AE.设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3－x，∴2（3－x）＝x，解得x＝2.故BE的长度为2.
10.B　解析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，OB＝OD＝BD，OC＝OA＝AC.∵DC＝2OD，∴BC＝DC＝BD，∴△DBC是等边三角形，∴∠DCB＝60°.又∵OB＝OD＝BD，CE＝CD，∴∠ACD＝∠DCB＝30°，OC＝BE，OC∥BE，故①②正确；∵OC＝OA＝AC，OC＝BE，OC∥BE，∴AC∥BE，AC＝BE，∴四边形ABEC 为平行四边形，但AC≠AB，∴四边形ABEC 不是菱形，故③错误；∵四边形ABEC 为平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴S△BCE＝S△ABC＝S菱形ABCD，故④正确.综上，正确结论的个数为3.
11.解：（1）选择条件②，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∴∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形.
选择条件③，
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形.
∵点E与点F关于直线AD对称，
∴DE＝DF，∴平行四边形AFDE是菱形.
（2）∵四边形AFDE是菱形，AE＝4，
∴AE＝AF＝DE＝4，∴AC＝AF＋CF＝6.
∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，∴BE＝8.
12.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
即∠BCF＋∠ACF＝60°.
由旋转可得CF＝CG，∠ACF＋∠ACG＝∠FCG＝60°，
∴△CGF是等边三角形，∠BCF＝∠ACG，
∴GF＝CF＝CG.
在△BCF与△ACG中，
∴△BCF≌△ACG（SAS），
∴BF＝AG，∠CBF＝∠CAG.
∵∠CBN＋∠BCN＋∠BNC＝∠CAG＋∠AGN＋∠ANG＝180°，∠BNC＝∠ANG，
∴∠AGN＝∠BCN＝60°.
∵点D为BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF＝FG，∴FG＝AG，
∴△AGF是等边三角形，∴AF＝AG，
∴AF＝AG＝CG＝CF，∴四边形AFEG是菱形.
（2）解：如图，过点E作EH∥BC，交AB于点H，连接HF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°.
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠B＝60°，∠AEH＝∠C＝60°，
∴△AEH是等边三角形，∴AH＝AE.
由（1）可知，∠EAG＝∠EHF.
∵点D为BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC.
∵EH∥BC，∴AD垂直平分EH，
∴HF＝EF，∴∠EHF＝∠HEF.
设∠EHF＝∠HEF＝x，则∠AEM＝60°－x，∠MFH＝∠EHF＋∠HEF＝2x，
∴∠HMF＝∠MAE＋∠AEM＝60°＋60°－x＝120°－x.
∵AM＋MF＝AE，AE＝AH＝AM＋MH，∴MH＝MF，∴∠MHF＝∠MFH＝2x.
∵∠HME＋∠MHE＋∠HEM＝180°，
∴120°－x＋3x＋x＝180°，∴x＝20°，∴∠EAG＝20°.

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