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2024-2025学年广东省广州市增城区顶峰校区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为( )
A. B.
C. D.
4.下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，为了测量，两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在点、距离点米处的点、距离点米处的点进行观测甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
7.已知，，均为单位向量若，则与夹角的大小是( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列结论正确的是( )
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称
11.在中，角，，所对的边分别为，，，，，则( )
A. 外接圆的面积为 B. 若，则
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体写出所有正确的序号
13.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
14.已知函数的值域为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，且，．
求；
的平分线交边于点，且，求的周长．
17.本小题分
已知，，其中，是夹角为的单位向量．
当，求与夹角的余弦值；
若与夹角为钝角，求的取值范围．
18.本小题分
某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，．
求圆台的高；
求圆台轴截面的面积；
若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程．
19.本小题分
设函数同时满足条件和对任意都有成立．
求的解析式；
求的定义域和值域；
若，求使得成立的整数的取值的集合．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：，
因为是实数，
所以有，
因此；
，
因为是纯虚数，
所以有，所以．
16.因为，，
可得，
又，
可得；
由于的平分线交边于点，且，
可得，
可得，
可得，
可得，
所以，
可得，解得，
所以的周长．
17.，，其中，是夹角为的单位向量，
当时，，
又因为，
所以，
又，
所以；
因为与的夹角为钝角，
所以且不共线，
所以，且，
即，且，
所以且，
故的取值范围为．
18.如图，作交于，
因为，，，
所以，
则，
所以圆台的高为．
圆台的轴截面面积为：．
把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
圆锥侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接如图，
可得，
则，
所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为．
19.根据题意可知，得，解得，故，
又得，即，
上式对任意都成立，故且，所以，
故；
由解得，
故定义域为；
当时，，则，则
所以值域为；
若，则，
所以时或，
所以若，则或，
所以或即，或即，
综上，整数的取值集合为．
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