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期末复习（二）　二次函数
一、考点过关
考点1　二次函数的图象与性质
1.关于抛物线y＝－2（x＋1）2＋3，下列说法错误的是（　 　）.
A.开口方向向下
B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.对称轴是直线x＝－1
D.经过点（0，1）
2.（2024·盐田区一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m（m为常数）的图象经过点（0，12），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　 　）.
A.最大值 B.最小值 C.最大值8 D.最小值8
考点2　二次函数与一元二次方程
3.观察表格，估算一元二次方程x2－x－1＝0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2－x－1 －0.44 －0.25 －0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2－x－1＝0的一个近似解x的范围是（　 　）.
A.1.4＜x＜1.5 B.1.5＜x＜1.6
C.1.6＜x＜1.7 D.1.7＜x＜1.8
考点3　二次函数与不等式
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c是常数）的图象如图所示，则不等式ax2＋（b－2）x＋c＞0的解集是　 　.
第4题图
5.如图，直线y＝kx＋b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则当ax2－b＜kx时，自变量x的取值范围是　 　.
第5题图
考点4　抛物线与平移
6.二次函数y＝－x2＋4x－3的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（－2，－2），下列平移方式中可行的是（　 　）.
A.先向左平移8个单位，再向下平移4个单位
B.先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C.先向左平移4个单位，再向下平移6个单位
D.先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
考点5　二次函数的实际应用
7.2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑.如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是s＝54t－t2，则该飞机着陆后滑行最长时间为　 　秒.
8.公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t－4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行　 　 m才能停下.
二、核心考题
9.（2023·深圳龙岗区南芳学校一模）小腾所在的小区中心为了净化环境要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米.测量得到如下数值：
x/m 0 0.4 1 1.5 2 2.5 3
y/m 2.5 3.3 3.9 3.85 3.3 2.25 0.7
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究，如图，他首先通过描点法画出了函数图象.
（1）小腾结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度为　 　m.通过计算，可得到y关于x的函数表达式为　 　，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为　 　 m.
（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC，使水流落地点与水管的距离OA缩短为3 m，请求出降低后的水管高度是多少米？
10.已知二次函数y＝ax2－2ax＋3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D.
（1）求该二次函数的表达式及点C，D的坐标.
（2）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD－PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a｜x｜2－2a｜x｜＋3的图象只有一个公共点，求t的取值范围.
三、提升考题
11.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx－8k交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴负半轴于点A，AB＝10.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为第一象限内抛物线上一点，作PH⊥BC于点H，设PH的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点P关于直线BC的对称点为M，连接OM，若OM∥BC，作PD⊥x轴于点D，连接CD，F在线段BC上（对称轴右侧），连接PF，∠CDP＝∠CBD＋∠FPD，求点F的坐标.
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接BC与OP交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长.
参考答案
1.B　2.B　3.C　4.x＜1或x＞3　5.－2＜x＜3　6.B
7.18　8.16
9.解：（1）∵记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，当x＝0时，y＝2.5，
∴水管出水口距地面的高度OC为2.5 m.设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将（0，2.5），（1，3.9），（2，3.3）代入，得解得∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2.4x＋2.5.∵y＝－x2＋2.4x＋2.5＝－（x－1.2）2＋3.94，
∴该抛物线的顶点坐标为（1.2，3.94），
∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2 m.故答案为2.5；y＝－x2＋2.4x＋2.5；1.2.
解：（2）∵只降低水管出水口距离地面的高度OC，
∴设降低水管出水口距离的抛物线表达式为y＝－x2＋2.4x＋m.∵水流落地点与水管的距离OA缩短为3 m，
∴抛物线y＝－x2＋2.4x＋m经过点（3，0），
∴－32＋2.4×3＋m＝0，
∴m＝1.8，
∴降低水管出水口后的抛物线表达式为y＝－x2＋2.4x＋1.8，令x＝0，则y＝1.8，
∴降低后的水管高度为1.8米.
10.解：（1）在二次函数y＝ax2－2ax＋3中，
∵x＝－＝1，
∴y＝ax2－2ax＋3的对称轴为直线x＝1，
∵y＝ax2－2ax＋3的最大值为4，
∴抛物线的顶点D（1，4），将D（1，4）代入y＝ax2－2ax＋3，得a＝－1，
∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3，
∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）.
（2）①∵｜PC－PD｜≤CD，
∴当P，C，D三点在一条直线上时，｜PC－PD｜取得最大值，如图1，连接DC并延长交x轴于点P，将点D（1，4），C（0，3）的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴yCD＝x＋3，当y＝0时，x＝－3，
∴P（－3，0），CD＝＝，
∴PD－PC的最大值为，P（－3，0）；
②y＝a｜x｜2－2a｜x｜＋3可化为y＝将P（t，0），Q（0，2t）的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴yPQ＝－2x＋2t.情况一：如图2，当线段PQ过点（－3，0），即点P与点（－3，0）重合时，线段PQ与函数y＝的图象只有一个公共点，此时t＝－3，综合图2，图3，所以当t≤－3时，线段PQ与函数y＝的图象只有一个公共点；
情况二：如图4，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y＝的图象只有一个公共点，此时t＝，如图5，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与函数y＝的图象有两个公共点，综合图4，图5，所以当≤t＜3时，线段PQ与函数y＝的图象只有一个公共点；
情况三：如图6，将y＝－2x＋2t代入y＝－x2＋2x＋3（x≥0），整理，得x2－4x＋2t－3＝0，Δ＝16－4（2t－3）＝28－8t，令28－8t＝0，解得t＝，
∴当t＝时，线段PQ与函数y＝的图象只有一个公共点.
综上所述，t的取值范围为t≤－3或≤t＜3或t＝.
11.解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4过点C，
∴当x＝0时，y＝4.∴C（0，4）.∵直线y＝kx－8k经过点C，
∴4＝－8k，
∴k＝－，
∴直线BC的表达式为y＝－x＋4.当y＝－x＋4＝0时，x＝8，
∴B（8，0）.∵AB＝10，且点A在x轴负半轴，
∴OA＝AB－OB＝2，
∴A（－2，0）∴解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.
（2）如图1，过点P作PF⊥AB于F，交BC于点E，
∵点P的横坐标为t，
∴P，E，
∴PE＝－t2＋t＋4－＝－t2＋2t.
∵C（0，4），B（8，0），
∴CO＝4，BO＝8，
∴BC＝＝4.
∵∠PEH＝∠BEF，∠PHE＝∠PFB＝90°，
∴∠HPE＝∠OBC.
又∵∠COB＝∠PHE＝90°，
∴△BOC∽△PHE，
∴＝，
∴＝，
∴d＝－t2＋t.
　　
（3）如图2，过点O作OG⊥BC于G，设PM，BC交于点T，PD，BC交于点N，∵S△OBC＝OB·OC＝BC·OG，
∴4×8＝4OG，
∴OG＝，由轴对称的性质可得PM⊥BC，PT＝MT，∵OM∥BC，
∴TM＝OE＝，
∴由（2）的结论可知＝－t2＋t，解得t＝4，
∴P（4，6），
∴D（4，0），N（4，2），
∴DN＝2，OD＝4＝OC，CN＝＝2，
∴PN＝6－2＝4，CD＝4，∠CDO＝45°.
∵PD⊥OB，
∴∠CDP＝45°.
∵∠CDP＝∠CBD＋∠FPD＝45°，∠CDO＝∠CBD＋∠DCB，
∴∠DPF＝∠DCB.
又∵∠CND＝∠PNF，
∴△CND∽△PNF，
∴＝，即＝，
∴PF＝.
设F，
∴（s－4）2＋＝，解得a＝或a＝－（舍去，不合题意）
∴点F的坐标为.
12.解： （1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），
∴解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）如图1，过点P作PG∥y轴，交BC于点G，∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，
∴点C（0，3）.∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.设点P（p，－p2＋2p＋3），则点G的坐标为（p，－p＋3），
∴PG＝（－p2＋2p＋3）－（－p＋3）＝－p2＋3p.∵PG∥y轴，
∴△DPG∽△DOC，
∴＝＝＝－＋，
∴当p＝时，的值有最大值，
∴点P.
（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，以H为圆心，FH长为半径作圆H，与x轴相切于点K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，连接HK，交PM于点Q，延长CF交HK于点E，则HK⊥x轴，如图2，设点H（x，y），∵点A（－1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，
∴点F（2，3），CF∥x轴，
∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，
∴∠FHE＋∠QHM＝90°＝∠FHE＋∠HFE，
∴∠QHM＝∠HFE，又∵FH＝HM，
∴△FHE≌△HMQ（AAS），
∴HE＝QM＝y－3，HQ＝EF＝x－2，
∴y－2＝x－2，
∴x＝y.∵FH2＝HE2＋EF2，
∴y2＝（y－2）2＋（y－3）2，
∴y＝2＋5，y＝－2＋5（舍去），
∴QM＝y－3＝2＋5－3＝2＋2，
∴点M的坐标为（4＋7，2）.
∵MN⊥x轴，
∴ON＝7＋4.
当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3＋4.
综上所述，线段ON的长为7＋4或3＋4.

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