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期末复习（一）　直角三角形的边角关系
一、考点过关
考点1　锐角三角函数的概念
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin A的值是（　 　）.
A. B. C. D.
2.（2024·南山区开学）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为（　 　）.
第2题图
A. B. C. D.
3.（2023·深圳校联考二模）将等腰直角三角形纸片△ABC和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若AB的中点D刚好落在矩形纸片的边FG上，已知矩形纸片的边长EF为4，则BC的长为　 　.
第3题图
考点2　特殊角的三角函数值
4.tan 30°的值是（　 　）.
A. B. C. D.
5.点M（－sin 60°，cos 60°）关于y轴对称的点的坐标是（　 　）.
A.（，） B.（－，－）
C.（－，） D.（－，－）
6.计算：tan 45°－sin245°＋tan 60°－2cos 30°.
考点3　解直角三角形
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，则tan B的值是（　 　）.
A.2 B.3 C. D.
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值.
考点4　三角函数在实际生活中的应用
9.如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝60 m，迎水斜坡AB＝100 m，斜坡的坡角为α，则tan α的值为（　 　）.
A. B. C. D.
10.（2023·深圳九年级校考阶段练习）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°.请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号.
（1）求点D到地面的距离；
（2）求立柱AB的高为多少米.
二、核心考题
11.如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，若∠B＝α，∠C＝β，则（　 　）.
第11题图
A.AB·cos β＝AC·cos β B.AB·sin α＝AC·cos β
C.AB·sin α＝AC·sin β D.AB·sin β＝AC·sin α
12.如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸的距离，小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　 　）.
第12题图
A.100米 B.200米 C.米 D.100米
13.（2023·深圳校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测.某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，则体温检测有效识别区域CD段的长为　 　米.
14.计算：（1）（－1）2 024－｜－5｜＋－（－π）0＋－tan 45°；
（2）－8－2sin 45°＋｜1－｜＋.
三、提升考题
15.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步，向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1 cm）.
（参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62）
16.已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为边长作正方形OABC，使正方形顶点B，C在x轴上方，OA与y轴的夹角为α.
（1）如图1，当点B在y轴上时，求点A的坐标；
（2）①如图2，当0°＜α＜45°时，AB与y轴相交于点D，若tan α＝，求点B的坐标；
②如图3，当45°＜α＜90°时，BC与y轴相交于点D，若tan α＝3，求点B的坐标.
参考答案
1.A　2.B　3.4　4.D　5.A
6.解：原式＝1－＋－2×＝1－＋－＝.
7.A
8.解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD＋DC＝2＋1.
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋，
∴DE＝CE－CD＝＋－1＝－，
∴tan∠DAE＝＝＝－.
9.B
10.解：（1）如图，过点D作DH⊥BF于点H，则DH的长是点D到地面的距离，
∴∠DHC＝90°.
∵在Rt△CDH中，∠DHC＝90°，
∴DH＝CD·sin∠DCH＝CDsin 30°＝8×＝4（米）.
答：点D到地面的距离是4米.
（2）如图，延长AD交BF于点G，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°，
∴CG＝＝＝＝（米），
∴BG＝CG＋BC＝米.
∴AB＝BG·tan∠AGB＝（＋2）·＝（16＋2）（米）.
11.C　
12.D　解析：如图，过B作BM⊥AD于点M，
由题意，得∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BCD＝90°－30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD－∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝200米.
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin ∠BCM＝，
∴BM＝BC·sin ∠BCM＝
200×＝100（米），
即B点到河岸AD的距离为100米.
13.　解析：由题意得，BG＝CE＝DF＝1.5米，
∴AG＝AB－BG＝5米.
在Rt△ADG中，tan 30°＝＝＝，
∴DG＝5米.
在Rt△ACG中，tan 60°＝＝＝，
∴CG＝米，
∴CD＝DG－CG＝米.
故答案为.
14.解：（1）原式＝1－5＋4－1＋4－1
＝2.
（2）原式＝－8－2×＋－1＋2
＝－8－＋－1＋2
＝－7.
15.解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝20 cm.
解：（2）由题可知ON＝EC＝AC＝10 cm，
∴NB＝ON＝10 cm.
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON·tan∠DON＝10·tan 32°≈10×0.62＝6.2（cm），
∴BD＝BN－DN≈10－6.2＝3.8（cm）.
16.解：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E.
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝AB，∠OAE＝∠OAB＝45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴AE＝OE，
∴S△AOE＝OE·AE＝OE2.
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOE＝×4＝2，
∴OE2＝2，
∴OE＝AE＝2，
∴点A的坐标为（2，2）.
图1
图2
（2）①如图2，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F.∴∠AED＝∠BFD＝90°.
∵tan ∠AOD＝，
∴＝，即AD＝OA.
∵四边形ABCO是正方形，
∴AB＝OA，
∴AD＝AB，
∴BD＝AD.
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF，DE＝DF.
同理可得AE＝OE，
∴设AE＝x，则OE＝2x，
∵S△AOE＝AE·OE＝x·2x＝2，解得x＝（负值舍去），
∴AE＝BF＝.
∵∠BFD＝∠DAO＝90°，∠BDF＝∠ADO，
∴∠AOD＝∠DBF，
∴DF＝BF·tan ∠DBF＝BF·tan ∠AOD＝.
∴OF＝OE＋ED＋DF＝3，
∴点B的坐标为（－，3）.
②如图3，过点A作AH⊥x轴于点H，
∴∠AHO＝∠DOH＝90°，
∴∠AOD＋∠AOH＝∠AOH＋∠OAH＝90°，
∴∠OAH＝∠AOD＝α，
∴在Rt△AOH中，tan ∠OAH＝＝3，
图3
设AH＝x，则OH＝3x，
∴S△AOH＝x·3x＝2，
解得x＝（负值舍去），
∴AH＝，OH＝2.
∴在Rt△AOH中，由勾股定理，得OA＝＝.
∵∠AOC＝∠DOH＝90°，
∴∠COD＝∠AOH.
又∵∠C＝∠AHO＝90°，
∴△AOH∽△DOC，
∴＝＝，即＝＝，
∴CD＝，OD＝，
∴BD＝.
过点B作BG⊥y轴于点G，
∵∠C＝∠BGD＝90°，∠BDG＝∠ODC，
∴△OCD∽△BGD，
∴＝＝，
即＝＝，
∴BG＝，DG＝.
∴OG＝.∴点B的坐标为.

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