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2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形面积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.在四边形中，，，，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是( )
A.
B.
C. 平面平面
D. 平面平面
6.的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数和，下列正确的有( )
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
10.已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 是锐角三角形，则
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线与所成的角的大小为
D. 若平面，则点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
13.若，则 ______．
14.已知四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为，且，，是的中点．
求证：平面；
若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
17.本小题分
已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式和函数的单调递增区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知三棱台的体积为，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面，且．
证明：平面；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，中，，，点在线段上，为等边三角形．
若，，求线段的长度；
若，求线段的最大值；
若平分，求与内切圆半径之比的取值范围．
参考答案
1.
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6.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：由题意得及正弦定理可得
因为，所以，
得，得，而，
可得；
由，由可得，
而，
由余弦定理，可得，
可得，的周长，
所以的周长为．
16.证明：连接，设，连接．
因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以为的中点．
在中，因为是的中点，
所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为为正三角形，所以，，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，所以，
所以，
因为，为中点，
所以．
所以四棱锥的体积为：
．
17.解：
，其中，
因为图象的相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，
即，解得，所以，
令，，解得，
，所以的单调递增区间为，；
由知，，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，
再向左平移个单位得的图象．
令，，则，所以，
因为在上只有一个解，由的图象如图可得，或，所以的取值范围是．
18.证明：在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面．
由棱台性质知：延长，，交于一点，
由，得，点到平面的距离为到平面距离的倍，则，
于是，由平面，得为点到平面的距离，
又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，
设，则，
，解得，
，由平面，得，，
，设点到平面的距离为，
由，得，解得：．
即点到平面的距离为．
由平面，平面，得平面平面，取中点，连接，
在正中，，而平面平面，则平面，而平面，
则，又平面，则平面平面，作于，
平面平面，则平面，，而平面，则，
作于，连接，，，平面，则平面，
而平面，于是，即二面角的平面角，
设，由知：，，
由，得，，
由，得，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得，
，
所以存在满足题意的点，．
19.解：因为，
所以，
即，
所以，
所以；
由可知，
所以，
设，，且为等边三角形，
所以，
即，
故，
且，
所以当时，，
所以；
因为平分，
所以由角平分线定理得，即，
故，
设，，，的内切圆半径分别为，，
在中，则，解得，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
又因为，
，
所以，
令，则，
因为，所以，
则，故，
即，故，
所以与的内切圆半径之比的范围为．
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