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山东省泰安市岱岳区2024—2025学年下学期八年级数学期末试题
一、单选题
1．下列二次根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．若有意义，则的取值范围是（ ）
A． ≤ B．≥ C．﹥0 D．<-1
5．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
7．如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．96
8．下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（ ）．
A．50 B．80 C．90 D．100
10．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）
A． B．50 C． D．25
二、填空题
11．使是整数的最小正整数 ．
12．如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是 ．
13．小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ．
有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？
14．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为 ．
15．某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，且，点A的坐标为，则点B的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）计算．
（2）解方程．
18．如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当时，求证：四边形是正方形．
19．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
20．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
(1)请证明发现的规律；
(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数．
21．课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．

(2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
22．关于x得一元二次方程．
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值．
23．如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．

(1)当时，求证：；
(2)若，时，求的值．
24．小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究．
(1)【提出问题】
已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长；
(2)【类比探究】
如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长；
(3)【变式延伸】
在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程）
参考答案
1．D
A. ，能与合并，故不符合题意；
B. ，能与合并，故不符合题意；
C. ，能与合并，故不符合题意；
D. ，不能与合并，故符合题意．
故选：D．
2．D
解：，
，
，
．
故选：D．
3．D
解：设投影的面积为cm，，cm，
故选：D．
4．B
解：由题意可得：3x-1≥0，
解得：x≥，
故选：B．
5．A
解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，
根据题意得．
故选：A．
6．D
解：在和中，，
如果，需满足的条件有：
①或平分，②；
故选D．
7．C
解：如图，设交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
即之间的距离为．
故选：C
8．B
解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的；
C、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
D、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
故选：B
9．C
解：，，
，
，
，
的距离为，动力臂，阻力臂，
，
，
的长为．
故选：C．
10．D
解：图1连接，
菱形中，，
，
是等边三角形，
对角线，
，
，
图3过点作，交的延长线于点，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
故选：D
11．3
解：∵是整数，
∴12n是一个完全平方数，
又∵12n=4×3n=22×3n，
∴n的最小正整数为3，
此时，==6.
故答案为3
12．
解：在中，，点D是斜边的中点，
，
，
，
故答案为：．
13．2
解：设这个输入的数为x，
根据题意可得，
即，
，
解得：．
故答案为：2．
14．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6
∵依题意．题中作图为作DC边垂直平分线作法，
∴DE=CE=3，AE⊥DC
∴在Rt△AED中，由勾股定理得
，
∵AB//DC
∴∠BAE=90°
∴由勾股定理得
，
故答案为：
15．
解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降价元后，利润为每件元，每降价元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为，
根据题意得：，
故答案为：．
16．
解：作轴于点，作轴于点，作交于点，如图所示，
则四边形是矩形，
点A的坐标为，
，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
设点B的坐标为，
则，，
，
解得：，
将代入，
解得：，
点B的坐标为．
故答案为：．
17．（1）；（2），．
解：（1）原式
．
（2）原方程可化为：，
，，，
，
，
，．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
四边形是矩形．
（2）证明四边形是菱形，，
四边形是正方形．
，，．
．
由（1）知四边形是矩形，
四边形是正方形．
19．(1)
(2)灯泡到地面的高度为
（1）解：由题意可得：，
则，
则，
即，
解得：；
（2）解：，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
20．(1)见解析
(2)这5个数中最大数为29．
（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，，
∴；
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大数为29．
21．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，

∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∵于点H，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∵于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
在中，
．
24．(1)
(2)
(3)或
（1）解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的延长线于点，则，
∵，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，则，
当点在点的左侧时，如图，设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
点在点的左侧时，如图，
同理可得，，
∴；
综上，的长为或．

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