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18.5　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
分式方程的概念
1.下列方程中,是分式方程的是 (　　)
A.=3 B.x-4y=7
C.2x=3(x-5) D.=1
2.下列关于x的方程中,不是分式方程的是 (　　)
A. B.+1
C.=5 D.-x
分式方程的解法
3.把分式方程化为整式方程,方程两边需同时乘 (　　)
A.2x B.2x-4
C.2x(x-2) D.2x(x-4)
4.(2025保定容城县月考)分式方程的解为　　　　.
5.解分式方程:
(1).
(2)-2.
(3)+1=.
1.在①x2-x+;②-3=a+4;③+5x=6;④=1中,关于x的分式方程的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.嘉淇解分式方程-1的过程如下:
解:去分母,得6=2x-(3x-3),①
去括号,得6=2x-3x-3,②
移项、合并同类项,得x=-9.③
∵当x=-9时,各分母均不为0,
∴原分式方程的解是x=-9.④
以上步骤中,最开始出错的一步是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
3.关于x的分式方程=2的解为x=2,则a的值是 (　　)
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2.5
4.(2024齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程=0的解是负数,那么实数m的取值范围是 (　　)
A.m<1且m≠0 B.m<1
C.m>1 D.m<1且m≠-1
5.若关于x的方程=1无解,则k的值为　　　　.
6.(新定义)若关于x的分式方程=b的解为x=,我们就说这个方程是和解方程.比如:=-4就是一个和解方程.如果关于x的分式方程=3-n是一个和解方程,那么n=　　　　.
7.解方程:
(1)=1.
(2).
8.(2025沧州吴桥县期末)小华在解分式方程=3时,由于印刷问题,有一个数“ ”看不清楚.
(1)她把这个数“ ”猜成-3,请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说:“我看到的标准答案是原分式方程无解”,请你求出原分式方程中“ ”代表的数是多少
微专题7　利用分式方程“增根”的意义解决字母取值问题
一般地,分式方程的增根就是使最简公分母为0的未知数的值.解决此类问题的步骤:(1)化分式方程为整式方程.(2)让最简公分母等于0求出增根的值.(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
1.若关于x的分式方程+2有增根,则m的值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知关于x的分式方程+2=.
(1)若方程的根为x=1,则m=　　　　.
(2)若方程有增根,则m=　　　　.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D　3.C　4.x=1
5.解:(1)方程两边乘x(x-1),得2x=x-1.
解得x=-1.
检验:当x=-1时,x(x-1)≠0.
∴原分式方程的解为x=-1.
(2)方程两边乘(x-4),
得3-x=-1-2(x-4).
解得x=4.
检验:当x=4时,x-4=0.
∴x=4不是原分式方程的解,原分式方程无解.
(3)方程两边乘(x+1)(x-1),
得2(x-1)+x2-1=x(x+1).
解得x=3.
检验:当x=3时,(x+1)(x-1)≠0.
∴原分式方程的解为x=3.
能力提升
1.A　解析:①x2-x+是分式,不是分式方程;②-3=a+4是关于a的分式方程;③+5x=6是一元一次方程;④=1是关于x的分式方程.故关于x的分式方程只有1个.故选A.
2.B　解析:去括号,得6=2x-3x+3,∴最开始出错的一步是②.故选B.
3.A　解析:方程两边乘(x-a),得ax+2=2(x-a),将x=2代入,得2a+2=2(2-a),∴a=0.5.故选A.
4.A　解析:=0,x+1-mx=0,x-mx=-1,(1-m)x=-1,x=,∵关于x的分式方程=0的解是负数,∴m-1<0且m-1≠-1,解得m<1且m≠0.故选A.
5.2或-1　解析:方程去分母,得3-(kx-1)=x-2,整理,得(k+1)x=6,①当x=2时,分母为0,方程无解,即2(k+1)=6,∴k=2;②当k+1=0,即k=-1时,方程无解.∴k的值为2或-1.
6.　解析:解方程=3-n,得x=.∵关于x的分式方程=3-n是一个和解方程,∴,解得n=.经检验,n=是方程的解.
7.解:(1)方程两边乘(x+2)(x-2),得x(x+2)-2=x2-4.
解得x=-1.
检验:当x=-1时,(x+2)(x-2)≠0,
∴原分式方程的解为x=-1.
(2)方程两边乘(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=1,
解得x=0.
检验:当x=0时,(x+1)(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=0.
8.解:(1)方程两边同时乘(x-2),得2x-3=3(x-2),
解得x=3,
检验:当x=3时,x-2≠0,所以x=3是原分式方程的解.
(2)设“ ”为m,则分式方程为=3,
方程两边同时乘(x-2),得2x+m=3(x-2),整理得,x=m+6,
由于原分式方程无解,所以x-2=0,所以x=2,
把x=2代入x=m+6,解得m=-4,
所以,原分式方程中“ ”代表的数是-4.
微专题7
1.D　解析:方程两边乘(x-3),得m+4=3x+2(x-3),解得x=m+2,∵方程有增根,∴x-3=0,∴x=3,∴m+2=3,∴m=5.故选D.
2.(1)-3　(2)-5　解析:(1)将x=1代入+2=,得+2=,解得m=-3.
(2)+2=,去分母,得-5+2(2-x)=m,∴m=-2x-1,∵分式方程+2=有增根,∴2-x=0,∴x=2,∴m=-5.第2课时　列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题
1.(2024广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是 (　　)
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
2.某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程 (　　)
A.=5 B.=5
C. D.
3.某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车3 h只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2 h清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x h,根据题意,可列出方程为　　　　　　.
4.(2024大庆中考)为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时):7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23:00—次日7:00,峰时电价比谷时电价高0.2元/(kW·h).市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价.
1.《千里江山图》是宋代王希孟的作品,它的局部画面装裱前是一个长为2.4 m,宽为1.4 m的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x m,根据题意可列方程为 (　　)
A. B.
C. D.
2.某工厂生产A,B两种型号的扫地机器人.B型扫地机器人比A型扫地机器人每小时清扫的面积多50%;清扫100 m2所用的时间,A型扫地机器人比B型扫地机器人多用40 min.两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积 若设A型扫地机器人每小时清扫x m2,根据题意可列方程为
(　　)
A. B.
C. D.
3.(数学文化)记载“绫罗尺价”问题:“今有绫、罗共三丈,各直钱八百九十六文,　■　.”其大意为:“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入896文,　■　.”设绫布有x尺,则可得方程为120-,根据此情境,题中“　■　”表示缺失的条件,下列可以作为补充条件的是 (　　)
A.每尺绫布比每尺罗布贵120文
B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D.绫布的总价比罗布的总价便宜120文
4.如图,琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩,两人同时分别到达小吃摊位A和D,并约在出口C会合,琳琳从A经过B摊位,最后到达出口C,华华从D摊位直接前往出口C,速度与琳琳从B到C的速度相同,两人在每两个地点间均匀速前进,各点间距如图所示.若琳琳从A到B的速度比从B到C的速度慢10 m/min,且从A到B的时间为从B到C时间的一半,则　　　　(填“琳琳”或“华华”)先到达出口C.
5.(开放性问题)某校八年级两个班各为灾区捐款1 800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元,(2)班的人数比(1)班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
6.(应用意识)某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程,并派旗下第五、六两个施工队前去修筑,要求在规定时间内完成.
(1)已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天,第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天,如果第五、六施工队先合作20天,剩下的由第五施工队单独施工,要误期2天完成,那么规定的时间是多少天
(2)在(1)的条件下,实际上,在第五、六施工队合作完成这项工程的时,公司又承包了更大的工程,需要调走一个施工队.你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程
【详解答案】
基础达标
1.C　2.D　3.
4.解:设该市谷时电价为x元/(kW·h),则该市峰时电价为(x+0.2)元/(kW·h),根据题意,得,
解得x=0.3,
经检验,x=0.3是所列方程的解,且符合题意.
答:该市谷时电价为0.3元/(kW·h).
能力提升
1.D　解析:根据题意可知,装裱后的长为(2.4+2x) m,宽为(1.4+2x) m,再根据整幅图画宽与长的比是8∶13,可得到相应的方程为.故选D.
2.D　解析:A型扫地机器人每小时清扫x m2,则B型扫地机器人每小时清扫(1+50%)x m2,A型扫地机器人清扫100 m2所用的时间为 h,B型扫地机器人清扫100 m2所用的时间为 h,根据题意,得,即.故选D.
3.C　解析:设绫布有x尺,则罗布有3×10-x=(30-x)(尺),由方程120-可得缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.故选C.
4.琳琳　解析:设琳琳从A到B的速度为x m/min,根据题意,得,解得x=50,经检验,x=50是原分式方程的解,∴x+10=50+10=60.琳琳所用的时间为=2+4=6(min),华华所用的时间为=12(min),
∵6 min<12 min,∴琳琳先到达出口C.
5.解:(答案不唯一)
问题1:求两个班人均捐款各多少元.
设(1)班人均捐款x元,则(2)班人均捐款(x+4)元.
根据题意,得×(1-10%)=.
解得x=36.
经检验,x=36是原分式方程的解,且符合题意.
∴x+4=40.
答:(1)班人均捐款36元,(2)班人均捐款40元.
问题2:求两个班的人数各是多少.
设(1)班有x人,则(2)班有(1-10%)x人.
根据题意,得+4=.
解得x=50.
经检验,x=50是原分式方程的解.
∴(1-10%)x=45.
答:(1)班有50人,(2)班有45人.
6.解:(1)设规定的时间是x天.
根据题意,得=1,解得x=28.
经检验,x=28是原方程的解,且符合题意.
答:规定的时间是28天.
(2)设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天.
根据题意,得y,
解得y=20.
由第五、六施工队单独完成剩下的工程,所需的时间分别为=10(天),=6(天).
∵20+10=30>28,20+6=26<28,
∴留下第六施工队继续施工能按时完成剩下的工程.

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