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专题训练六　分类讨论思想在等腰三角形中的应用
当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多20°,求这个等腰三角形的底角的度数.
当底或腰不确定时,分类讨论
2.一个等腰三角形的周长是20 cm,若它的一条边长为6 cm,求它的另两条边长.
当高的位置不确定时,分类讨论
3.若等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的锐角为45°,则这个等腰三角形的顶角为多少度
由腰上的中线引起的分类讨论
4.(2025郑州期中)如图,在△ABC中,AB=BC,中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,求这个三角形三边的长.
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
5.在△ABC中,AB=AC,边AB上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角∠B的度数.
由点的位置引起的分类讨论
6.如图,已知线段AB的端点B在直线l上(AB与l所成的锐角为30°),请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形,这样的点能找几个 请你找出所有符合条件的点.
【详解答案】
1.解:设另一个角的度数为x,则原来那个角的度数为2x+20°,
分两种情况:
当x是顶角,2x+20°是底角时,
x+2(2x+20°)=180°,
解得x=28°,
∴2x+20°=76°,
∴底角的度数为76°;
当x是底角,2x+20°是顶角时,
x+x+(2x+20°)=180°,
解得x=40°,
∴底角的度数为40°.
综上所述,这个等腰三角形的底角的度数为76°或40°.
2.解:当腰长为6 cm时,底边长为20-6-6=8(cm),
当底边长为6 cm时,三角形的腰长为×(20-6)=7(cm),
∴其他两边长为6 cm,8 cm或7 cm,7 cm.
3.解:如图1,当等腰三角形为锐角三角形时,
∵BD⊥AC,∠ABD=45°,
∴∠A=90°-∠ABD=45°.
如图2,当等腰三角形为钝角三角形时,
∵BD⊥AC,∠DBA=45°,
∴∠BAD=90°-∠DBA=45°.
∴∠BAC=180°-45°=135°.
故这个等腰三角形的顶角为45°或135°.
4.解:设AB=BC=2x,AC=y.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=x.
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,
∴有两种情况:
①当x+2x=15,且x+y=12时,
解得x=5,y=7.∴2x=2×5=10.
∴三边的长分别为10,10,7.
②当x+y=15,且x+2x=12时,
解得x=4,y=11.∴2x=2×4=8.
∴三边的长分别为8,8,11.
故这个三角形的三边的长分别为10,10,7或8,8,11.
5.解:此题分两种情况:
①如图1.∵边AB上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,
∴∠AED=90°,∠ADE=40°.
∴∠A=90°-∠ADE=50°.
∵AB=AC,∴∠B=(180°-50°)÷2=65°.
②如图2.∵边AB上的垂直平分线与CA的延长线相交所得的锐角为40°,
∴∠AED=90°,∠ADE=40°.
∴∠DAE=90°-∠ADE=50°.
∴∠BAC=180°-∠DAE=130°.
∵AB=AC,∴∠B=(180°-130°)÷2=25°.
故底角∠B的度数为65°或25°.
6.解:这样的点能找4个.当线段AB为腰时,有3个等腰三角形,如图所示.
当线段AB为底边时,有1个等腰三角形,如图所示.专题训练八　等腰三角形中常见的“手拉手”模型
模型解读
背景:两个共顶点,等顶角的等腰三角形所组成的图形.
已知:如图,CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD.
结论:左拉左,右拉右,围成的两个三角形全等,即△ACE≌△BCD.
共顶点的一般等腰三角形
模型呈现:如图所示.
1.(2025徐州铜山区期中)如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE.
求证:BD=CE.
2.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE,BD与CE交于点O,BD与AC交于点F.
(1)求证:BD=CE.
(2)若∠BAC=48°,求∠COD的度数.
(3)若G为CE上一点,GE=OD,AG=OC,且AG∥BD.求证:BD⊥AC.
共顶点的等腰直角三角形
模型呈现:如图所示.
3.如图,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,连接BD和AE,CD,AE相交于点P,猜想线段BD与AE的关系,并说明理由.
4.如图,△ABC与△DCE都是等腰直角三角形,其中AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,点D在
AB上.
求证:AB⊥BE.
共顶点的等边三角形
模型呈现:如图所示.
5.如图,已知△ABC与△ADE都是等边三角形,且B,C,D三点在一条直线上.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)猜想线段AC,CE,CD之间的数量关系,并说明理由.
6.如图,已知△ABC和△ECD都是等边三角形,点B,C,D在一条直线上.
(1)求证:BE=AD.
(2)求证:CF=CH.
(3)求证:△FCH是等边三角形.
(4)求证:FH∥BD.
(5)求∠EMD的度数.
【详解答案】
1.证明:∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC和∠DAE都是顶角,
∴AB=AC,AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
2.解:(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
(2)∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠AFB=∠CFO,
∴∠COF=∠BAC=48°.
∴∠COD=180°-∠COF=180°-48°=132°.
(3)证明:如图,连接AO.
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠AEC.
在△ADO和△AEG中,
∴△ADO≌△AEG(SAS).
∴AO=AG,∠DAO=∠EAG.
∵AG=OC,∴OA=OC.
∵∠OAG=∠DAO+∠DAG,
∴∠OAG=∠EAG+∠DAG=∠DAE=∠BAC.
由(2)知,∠COF=∠BAC.
∴∠COF=∠OAG.
∵AG∥BD,∴∠AOF=∠OAG.
∴∠COF=∠AOF.
∵OA=OC,
∴OF⊥AC,即BD⊥AC.
3.解:AE=BD,AE⊥BD.
理由:如图,设AE交BD于点J.
∵CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,∠AEC=∠BDC,
∵∠DPJ=∠EPC,
∴∠DJP=∠PCE=90°,
∴AE⊥BD.
4.证明:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=90°-∠DCB,∠BCE=90°-∠DCB.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠CAD=∠CBE.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA=45°.∴∠CBE=45°.
∴∠ABE=∠CBA+∠CBE=45°+45°=90°.
∴AB⊥BE.
5.解:(1)证明:∵△ABC与△ADE都是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=AC,AD=AE.
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)AC+CD=CE.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC.
∴AC+CD=BC+CD=BD=CE.
∴AC+CD=CE.
6.解:(1)证明:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,
∴△BCE≌△ACD(SAS).∴BE=AD.
(2)证明:∵△BCE≌△ACD,
∴∠BEC=∠ADC.
∵∠FCE=180°-∠ACB-∠ECD=60°,
∴FCE=∠ECD.
在△FCE和△HCD中,
∴△FCE≌△HCD(ASA).∴CF=CH.
(3)证明:在△CFH中,∵CF=CH,
∴△FCH是等腰三角形.
∵∠FCH=60°,∴△FCH是等边三角形.
(4)证明:∵△FCH是等边三角形,
∴∠FHC=60°.
∵∠HCD=60°,∴∠FHC=∠HCD.
∴FH∥CD.
∵B,C,D三点在一条直线上,∴FH∥BD.
(5)在△MHE和△CHD中,
∵∠MEH=∠CDH,∠MHE=∠CHD,
∴∠EMH=∠HCD=60°,即∠EMD=60°.专题训练七　利用与等腰三角形有关的辅助线解决问题
利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线
方法点睛
　　当遇到等腰三角形时,常利用“三线合一”的性质,若已知图中无此线,可将其构造出来以辅助解决问题.
(1)等腰三角形底边有中点,作中线(如图①).
(2)等腰三角形底边无中点,作垂直(如图①).
(3)遇与角平分线垂直的线段,延长构等腰(如图②).
1.如图,△ABC中,CA=CB,D是AB的中点,∠CED=∠CFD=90°,CE=CF.
求证:∠ADF=∠BDE.
2.如图,△ABC中,CA=CB,D在AC的延长线上,E在BC上,且CD=CE.
求证:DE⊥AB.
作平行线构造等腰三角形
方法点睛
　　如图,已知等腰三角形ABC.
(1)如图①②,作腰的平行线构造等腰三角形.
(2)如图③④,作底边的平行线构造等腰三角形
3.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交BC与点D,交AC的延长线于点F,且BE=CF.
求证:DE=DF.
4.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于点F.
求证:AB=EF.
截长补短构造等腰三角形
方法点睛
　　如图,对于线段和差问题,利用“截长补短”的思想,添加辅助线,可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于D.
求证:BC=AB+CD.
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD的延长线于点M.
求证:AM=(AB+AC).
运用倍角关系构造等腰三角形
方法点睛
　　已知在△ABC中,∠ACB=∠ABC.
(1)如图①,作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰三角形:△BDC.
(2)如图②,作∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于点E,则可构造等腰三角形:△BCE.
(3)如图③,延长CB至点D,使BD=AB,则可构造两个等腰三角形:△ABD,△ADC.
(4)如图④,作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点E,则可构造等腰三角形:△BCE.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,若AD⊥BC于点D,BD=4,CD=16,求AB的长.
【详解答案】
1.证明:如图,连接CD,
在Rt△ECD和Rt△FCD中,
∴Rt△ECD≌Rt△FCD(HL),
∴∠CDF=∠CDE,
∵CA=CB,D是AB的中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDA=∠CDB=90°,
∴∠ADF=∠BDE.
2.证明:如图,过点C作CM⊥AB于点M,
∵CA=CB,
∴∠ACB=2∠ACM,
∵CD=CE,
∴∠D=∠CED,
∴∠ACB=∠D+∠CED=2∠D,
∴∠ACB=2∠ACM=2∠D,
∴∠ACM=∠D,∴DE∥CM,
∵CM⊥AB,∴DE⊥AB.
3.证明:如图,过点E作EG∥AC交BC于点G,
则∠ACB=∠BGE,
∠F=∠DEG,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠BGE,
∴BE=GE,
又∵BE=CF,∴GE=CF,
在△CDF和△GDE中,
∴△CDF≌△GDE(AAS),∴DE=DF.
4.证明:如图,作AM∥EF交BD的延长线于点M,
∵EF∥BC,
∴BC∥AM,
∴∠M=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∴∠M=∠ABD,
∴AM=AB,
∵AM∥EF,∴∠M=∠DFE,
在△ADM和△EDF中,
∴△ADM≌△EDF(AAS),
∴EF=AM,∴AB=EF.
5.证明:如图,在BC上取点E,使BE=BA,连接DE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BAC=∠BED=108°,
∴∠DEC=72°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=36°,
∴∠CDE=72°,
∴∠CDE=∠CED=72°,
∴CD=CE,
∴BC=BE+EC=AB+CD.
6.证明:如图,延长AM至N,使DM=MN,连接CN,∵CM⊥AD,
DM=MN,∴CN=CD,
∴∠CDN=∠DNC,
∵∠CDN=∠ADB,
∴∠DNC=∠ADB,
∵AD=AB,
∴∠B=∠ADB,
∴∠B=∠ANC,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ADB=∠ACN,
∴∠ANC=∠ACN,
∴AN=AC,
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM,
∴AM=(AB+AC).
7.解:如图,延长DB到F,使BF=BA,连接AF,
∵BF=BA,
∴∠F=∠BAF,
∵∠ABC=∠F+∠BAF,
∴∠ABC=2∠F,
∵∠ABC=2∠C,
∴∠F=∠C,
∴AF=AC,
∵AD⊥BC于点D,
∴FD=CD=16,
∴BF=FD-BD=16-4=12,
∴AB=12.

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