资源简介

13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
三角形的三边关系
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 (　　)
A.7 cm,4 cm,2 cm
B.5 cm,5 cm,6 cm
C.3 cm,5 cm,8 cm
D.2 cm,3 cm,5 cm
2.(2024淮安中考)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm,5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 (　　)
A.9 cm B.7 cm
C.2 cm D.1 cm
3.实践教育:为提高学生火灾逃生能力,学校组织学生进行模拟逃生演练,需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集:设计小组成员到建材市场收集数据如下表:
铁条规格/m 2 3 4 5 6
单价/(元/根) 6 8 10 15 20
数据应用:设计小组需要制作两边长分别为2 m和4 m,第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架,共有　　　　种制作方案.
(2)若(1)中每种规格的框架各制作一个,求购买铁条共需多少钱
三角形的稳定性
4.下列图形具有稳定性的是 (　　)
5. (2025北京海淀区期中)空调安装在墙上时,一般都会采用如图的方法固定,这种方法应用的几何原理是(　　)
A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性 D.垂线段最短
6.无论在战争年代还是在和平时期,中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城,保卫着祖国的安宁、人民的幸福.如图,我国某部队战士在射击训练时,手、肘、肩构成托枪三角形,说明三角形具有　　　　.
1.如图小明做了一个长方形框架,发现很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案(　　)
2.为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 (　　)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
3.如图,要使一个六边形木架(用6根木条钉成)不变形,至少需要再钉上几根木条 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边形的周长一定比原五边形的周长　　　　(填“大”或“小”),理由为　　　　　　　　　　　　　　.
5.(新定义)定义:三角形的各边均为整数的三角形称为整边三角形.已知△ABC是整边三角形,三角形的三边长分别为a,b,c,且a≤b6.用一条长为14 cm的细绳分三段首尾相连围成一个等腰三角形,若不相等两边的长分别为4 cm和a cm.求a的值.
7.已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)化简:|a-b+c|+|a-b-c|.
(2)若a和b满足方程组且c为偶数,求这个三角形的周长.
8.(运算能力)在学习了三角形后,老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒,让同学们通过剪拼的形式,制作一个三角形木框.
(1)小明想把木棒剪成三段,第一段长a cm,第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm,并说明理由.
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4 cm和CD=8 cm的两段,现要将木棒CD从P处剪开,使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形,请直接写出符合条件的CP的整数长度.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B
3.解:(1)2
解析:设第三边长为x m,
则4-2∴第三边长为奇数,∴x=3或5,
∴共有2种制作方案.
(2)当三角形框架的边长为2,3,4时,
所需费用为6+8+10=24(元);
当三角形框架的边长为2,5,4时,
所需费用为6+10+15=31(元).
∴每种规格的框架各制作一个,则购买铁条共需24+31=55(元).
答:购买铁条共需55元.
4.A　5.C　6.稳定性
能力提升
1.B　解析:因为三角形具有稳定性,只有B构成了三角形的结构.故选B.
2.D　解析:设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x,根据题意得AB=2 m,BC=8 m,CD=3 m,∵BC-CD3.B　解析:根据三角形的稳定性可知,从一个顶点作三条对角线,形成三个三角形,即可使六边形木架不变形,如图所示,故选B.
4.小　三角形两边的和大于第三边
5.21　解析:∵三角形的三边长分别为a,b,c,a≤b6.解:当4 cm为腰长时,三边长为4 cm,4 cm,6 cm,∵4+4>6,∴a=6,
当4 cm为底边长时,三边长为5 cm,5 cm,4 cm,
∵4+5>5,∴a=5.综上,a=6或5.
7.解:(1)∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+c>b,b+c>a,
∴a-b+c>0,a-b-c<0,
∴|a-b+c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+b+c=2c.
(2)解方程组解得
根据三角形的三边关系得5-2∵c为偶数,∴c=4或6,
∴这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13.
8.解:(1)第一段的长不能为3 cm.
理由如下:
根据题意,第一段长a cm,第二段的长(3a-2) cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=(14-4a) cm,
当a=3时,3a-2=7,14-4a=2,
∵3+2<7,
∴三根木棒不能制作一个三角形木框,
∴第一段的长不能为3 cm.
(2)符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
三角形的中线与重心
1.如图,CM是△ABC的中线,AB=10 cm,则BM的长为 (　　)
A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm
2.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 (　　)
A.角平分线 B.中线
C.高线 D.以上都不是
3.已知三角形的三条中线交于一点,有下列结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论是　　　　.(填序号)
三角形的角平分线
4.如图,AD是△ABC的角平分线,则 (　　)
A.∠1=∠BAC B.∠1=∠ABC
C.∠1=∠BAC D.∠1=∠ABC
5.已知AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E.若∠BAC=100°,则∠ADE=　　　　°.
6.如图,AD是△ABC的角平分线,P为AD上一点,PM∥AC交AB于点M,PN∥AB交AC于点N.
求证:PA平分∠MPN.
三角形的高
7.(2025邯郸丛台区期中)下面四个图形中,线段BD不是△ABC的高的是 (　　)
8.如图,已知△ABC和△EFD,在图中分别画出这两个三角形的三条高.
1.如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3=∠4,则下列说法中,正确的是 (　　)
A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线
C.AF是△ACE的高 D.AE是△DAF的中线
2.(易错题)如图所示,AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,图中可以作为三角形“高”的线段有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.5条
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
4.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G是AD的中点,延长BG交AC于点E,F为边AB上一点,CF⊥AD交AD于点H.有下列说法:①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH为△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高.其中正确的有　　　　.(填序号)
5.如图,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm,求AD的长.
6.如图,在△ABC中,点E为AC上一点,连接BE,∠ABE=∠ABC.
(1)BE是△ABC的　　　　.(填“高”“中线”或“角平分线”)
(2)若DE∥BC交AB于点D,∠DEB=34°,求∠ABC的度数.
7.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)作图:在△BED中作出BD边上的高EF,BE边上的高DG.
(2)若△ABC的面积为40,BD=5,求△BED中BD边上的高EF的长.
8.(几何直观)如图,在△ABC中,AD是中线,AB=10 cm,AC=6 cm.
(1)△ABD与△ACD的周长差为　　　　 cm.
(2)点E在边AB上,连接ED,若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2 cm,求线段AE的长.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.B　3.①③　4.A　5.50
6.证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵PM∥AC,PN∥AB,
∴∠APM=∠PAN,∠APN=∠PAM.
∴∠APM=∠APN.∴PA平分∠MPN.
7.A
8.解:△ABC和△EFD的三条高如图所示.
能力提升
1.B　解析:∵∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,即∠BAE=∠CAE.∴AE是△ABC的角平分线.故选B.
2.D　解析:可以作为△ACD的高的有AD,CD,共2条;可以作为△BCD的高的有BD,CD,共2条;可以作为△ABC的高的有BC,AC,CD,共3条.综上所述,可以作为三角形“高”的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条.故选D.
3.C　解析:锐角三角形,三条高的交点在三角形内,故A错误;钝角三角形,三条高所在直线的交点在三角形外,故B错误;直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高的交点,可以得出这个三角形是直角三角形,故C正确,D错误.故选C.
4.③④　解析:①根据三角形的角平分线的概念,知AD是△ABC的角平分线,故原说法不正确;②根据三角形的中线的概念,知BG是△ABD的边AD上的中线,故原说法不正确;③根据三角形的高的概念,知CH为△ACD的边AD上的高,故原说法正确;④根据三角形的角平分线和高的概念,知AH是△ACF的角平分线和高,故原说法正确.故正确的有③④.
5.解:S△ABC=AB·CE=BC·AD.
∵AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm,
∴×4×6=×8·AD.
∴AD=3 cm.
6.解:(1)角平分线
(2)∵DE∥BC,∠DEB=34°,
∴∠EBC=34°,
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABC=2∠EBC=68°.
7.解:(1)如图所示,EF,DG即为所求作.
(2)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,
∴S△ABD=S△ABC,S△BDE=S△ABD,
∴S△BDE=S△ABC,
∵△ABC的面积为40,BD=5,
∴S△BDE=BD·EF=×5·EF=×40=10,
∴EF=4,
即△BED中BD边上的高EF的长为4.
8.解:(1)4
(2)①当△BDE的周长-四边形ACDE的周长=2 cm时,即(BE+BD+DE)-(AE+AC+DC+DE)=2.
∵AD是中线,∴BD=DC,
∴BE=AE+AC+2.
又∵AB=10 cm,AC=6 cm,BE=AB-AE,∴AB-AE=AE+AC+2,
∴10-AE=AE+6+2,
∴AE=1 cm.
②当四边形ACDE的周长-△BDE的周长=2 cm时,即(AE+AC+DC+DE)-(BE+BD+DE)=2,
∵AD是中线,∴BD=DC,
∴AE+AC=BE+2.
又∵AB=10 cm,AC=6 cm,BE=AB-AE,∴AE+AC=AB-AE+2,
∴AE+6=10-AE+2,∴AE=3 cm.
综上,线段AE的长为1 cm或3 cm.

展开更多......

收起↑