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13.3.2　三角形的外角
三角形的外角的定义及性质
1.如图,下列各角是△ABC的外角的是(　　)
A.∠1 B.∠2
C.∠3 D.∠4
2.(易错题)下列说法中,正确的是 (　　)
A.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
B.三角形的一个外角小于它的一个内角
C.三角形的一个外角与它相邻的内角是邻补角
D.三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角
3.某建筑工具是如图所示的人字架,若∠3=50°,则∠1比∠2大 (　　)
A.40° B.50°
C.60° D.65°
4.如图是一副三角尺拼成的图案,则∠AEB的度数为 (　　)
A.105° B.90°
C.75° D.60°
5.如图,∠A=70°,∠ACD=120°,则△ABC的最小内角的度数为　　　　.
6.如图,∠BAC=68°,△ABC的外角∠ACD=116°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.
三角形的外角和
7.三角形三个外角之比为2∶4∶3,求它的最小内角的度数.
1.已知三角形的一个外角等于60°,且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中,其中一个比另一个大10°,则这个三角形的三个内角的度数分别是 (　　)
A.120°,35°,25° B.110°,45°,25°
C.100°,55°,25° D.120°,40°,20°
2.(2025西安月考)如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,则∠ECD的度数为 (　　)
A.30° B.40°
C.50° D.60°
3.如图,AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAC=60°,则∠ACD= (　　)
A.25° B.85°
C.60° D.95°
4.如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x的值可能是 (　　)
A.10° B.20°
C.30° D.40°
5.如图,∠BAD,∠CBE和∠ACF是△ABC的三个外角,则∠BAD+∠CBE+∠ACF的度数为　　　　.
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC延长线上一点,∠BAE=3∠EAC,∠BCE=3∠ECD,则∠AEC的度数为　　　　.
7.(2025邯郸月考)如图,在△ABC中,AD是角平分线,∠C=30°,BE是△ABD的高.
(1)若∠ABC=38°,求∠CAD的度数.
(2)若∠DBE=20°,求∠ABC的度数.
微专题2 巧用“燕尾图”
共边三角形又称“燕尾”形,如图所示,由三角形外角性质可得图形中存在一个不变的数量关系:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
1.如图,∠BAC=75°,∠ABD=25°,∠ACD=35°,则∠BDC=　　　　°.
2.某机器零件的横截面如图所示,按要求,线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格.一工人测得∠A=25°,∠D=29°,∠AED=145°,请你帮他判断该零件是否合格:　　　.(填“合格”或“不合格”)
【详解答案】
基础达标
1.C　2.C　3.B　4.C　5.50°
6.解:∵∠BAC=68°,AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=34°.
∵∠ACD=116°,∠ACD=∠CAE+∠AEC,
∴∠AEC=∠ACD-∠CAE=116°-34°=82°.
7.解:设三角形的三个外角的度数分别为2x,4x,3x,则2x+4x+3x=360°,
解得x=40°,
4x=160°,
∴它的最小内角的度数为180°-160°=20°.
能力提升
1.A　解析:设三角形中与这个外角不相邻的一个内角为x°,则另一个内角为x°+10°.由三角形外角与内角的关系,得x+x+10=60.解得x=25.25°+10°=35°,180°-25°-35°=120°.∴这个三角形的三个内角的度数分别是25°,35°,120°.故选A.
2.C　解析:由三角形外角的定义可知∠ACD=∠A+∠B=100°,∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠ACD=50°.故选C.
3.D　解析:∵∠CAD=∠DAE=60°,
∴∠BAC=60°,∴∠ACD=∠B+∠BAC=35°+60°=95°.故选D.
4.B　解析:∵∠ACB是△BCD的一个外角,∴90°<6x<180°.∴15°5.360°　解析:三角形的外角和为360°.
6.22.5°　解析:∵∠BAE=3∠EAC,∠BCE=3∠ECD,∴∠EAC=∠BAC,∠ECD=∠BCD,∵∠ECD=∠EAC+
∠AEC,∴∠BCD=∠BAC+∠AEC,
∴(∠BAC+∠ABC)=∠BAC+∠AEC,∴∠AEC=∠ABC=×90°=22.5°.
7.解:(1)在△ABC中,∠C=30°,∠ABC=38°,∴∠CAB=180°-(∠C+∠ABC)=180°-(30°+38°)=112°,
∵AD是∠CAB的平分线,
∴∠CAD=∠CAB=×112°=56°.
(2)∵BE是△ABD的高,
∴∠BED=90°,
又∵∠DBE=20°,
∴∠ADB=180°-(∠BED+∠DBE)=180°-(90°+20°)=70°,
∵∠ADB是△ACD的一个外角,
∴∠ADB=∠C+∠CAD,
∵∠C=30°,
∴70°=30°+∠CAD,
∴∠CAD=40°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠CAD=80°,
在△ABC中,∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=180°-(30°+80°)=70°.
微专题2
1.135　2.不合格第2课时　直角三角形的两个锐角互余
直角三角形的两个锐角互余
1.(2025保定易县期中)在一个直角三角形中,一个锐角是40°,另一个锐角是 (　　)
A.70° B.50° C.30° D.10°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶x,则x的值为　　　　.
有两个角互余的三角形是直角三角形
3.在△ABC中,若∠A=42°,∠B=48°,则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B.
求证:CD是△ABC的高.
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作EF∥AB.若∠ECA=55°,则∠B的度数为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.55° B.45° C.35° D.25°
2.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7;③∠A=90°-∠B,能确定△ABC是直角三角形的条件有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
3.如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°,若∠1=20°,∠2=70°,则∠B=　　　　.
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,∠AFD=152°,求∠EDF的度数.
5.(推理能力)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β=90°.那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠B=60°,则∠A=　　　　.
(2)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①若AD是∠BAC的平分线,则△ABD是“准互余三角形”吗 并说明理由.
②若点E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,∠B=24°,求∠EAC的度数.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.8　3.B
4.证明:∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵∠ACD=∠B,∴∠B+∠BCD=90°.
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.
∴CD是△ABC的高.
能力提升
1.C　解析:∵EF∥AB,∴∠A=∠ECA=55°.∵∠ACB=90°,∴∠B=90°-∠A=35°.故选C.
2.C　解析:①∵∠A+∠B=∠C,∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,∴∠C=90°,故①正确;②∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7,∴最大角∠C=180°×=90°,故②正确;③∵∠A=90°-∠B,∴∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-90°=90°,故③正确.综上所述,是直角三角形的是①②③,共3个.故选C.
3.40°　解析:∵m∥n,∴∠2=∠BAC+∠1.∵∠1=20°,∠2=70°,∴∠BAC=∠2-∠1=70°-20°=50°.又∵∠C=90°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-50°=40°.
4.解:∵∠AFD=152°,
∴∠DFC=180°-∠AFD=28°.
∵FD⊥BC,∴∠FDC=90°.
∴∠C=90°-28°=62°.
∵∠B=∠C,∴∠B=62°.
∵DE⊥AB,∴∠BED=90°.
∴∠EDB=90°-62°=28°.
∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-28°-90°=62°.
5.解:(1)15°
(2)①△ABD是“准互余三角形”,
理由:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD,
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.
②∵△ABE是“准互余三角形”,
∴∠EAB+2∠B=90°或2∠EAB+∠B=90°,
∵∠B=24°,
∴∠EAB=42°或33°,
当∠EAB=42°,∠B=24°时,∠EAC=90°-∠B-∠EAB=24°,
当∠EAB=33°,∠B=24°时,∠EAC=90°-∠B-∠EAB=33°,
∴∠EAC=33°或24°.13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和
三角形的内角和定理
1.如图,根据图中的数据,可得x+y的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.180 B.110
C.100 D.70
2.在△ABC中,若2∠A=∠B=∠C,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
3.如果三角形的三个内角分别是x°,y°,y°,当x=90时,y的值为　　　　.
三角形的内角和定理的应用
4.(2024长沙中考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 (　　)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
5.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=60°,BD平分∠ABC,则∠DBC的度数是 (　　)
A.30° B.35°
C.40° D.70°
6.李华在爸爸工作的建筑工地的吊车上发现如图所示的三角形,若图中三角形最大的内角为132°,另外两个内角相差8°,求这个三角形三个内角的度数.
7.如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数.
1.关于三角形的三个内角,下面说法错误的是 (　　)
A.必有一内角不小于60°
B.最多有两个锐角
C.最少有两个锐角
D.必有一内角不大于60°
2.(2025唐山路北区月考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (　　)
A.65° B.75°
C.85° D.95°
3.如图,将△ABC沿AE折叠,使点C落在边BC上的点D处,且AD恰好是△ABE的角平分线,若∠BAC=60°,则∠C=(　　)
A.70° B.60°
C.50° D.40°
4.如图,要想知道黑板上两直线a,b所夹锐角的大小,但因交点不在黑板内,无法直接测量,小慧设计了间接测量方案(相关标记和数据如图所示),则直线a,b所夹锐角的度数为 (　　)
A.30° B.40°
C.50° D.60°
5.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.若∠A=61°,∠B=44°,则∠F=　　　　°.
6.(新定义)在三角形的三个内角中,如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中内角α称为“主特征角”,内角β称为“次特征角”.
(1)已知在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,判断△ABC是否为“特征三角形”,并说明理由.
(2)在△DEF中,∠D=96°,若△DEF是“特征三角形”,且∠E是“次特征角”,求∠E的度数.
微专题1 利用“8”字模型巧求角度
【条件】如图,AE,BD相交于点C.
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
1.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　　　　.
2.如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于M,N.试解答下列问题:
(1)仔细观察,在图2中“8字形”有　　　个.
(2)图2中,当∠D=50°,∠B=40°时,求∠P的度数.
(3)图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D,∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.45　4.C　5.B
6.解:设另外两个内角中,较小的内角为x°,则较大的内角为(x+8)°.
根据题意,得x+(x+8)+132=180.
解得x=20.∴x+8=28.
∴这个三角形三个内角的度数分别是20°,28°,132°.
7.解:在△ABC中,∵∠A=65°,∠ACB=72°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-65°-72°=43°.
∵∠ABD=30°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=13°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACB=36°.
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-13°-36°=131°.
能力提升
1.B　解析:三角形最少有两个锐角,最多有三个锐角,故B错误.故选B.
2.B　解析:∵AD∥BE,∴∠ADC=∠EBC=80°.∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°,∴∠ACB=180°-25°-80°=75°.故选B.
3.A　解析:由折叠知,∠ADE=∠C,∠DAE=∠CAE,∠AEC=90°,∵AD为△ABE的角平分线,∴∠BAD=∠DAE,
∴∠BAD=∠DAE=∠CAE,∵∠BAC=60°,∴∠BAD+∠DAE+∠CAE=∠BAC=60°,∴∠BAD=∠DAE=∠CAE=20°,∵∠AEC=90°,∴∠C=180°-∠AEC-∠CAE=180°-90°-20°=70°.故选A.
4.B　解析:如图,设直线a,b相交于点A,
∵∠1=120°,∠2=100°,∴∠3=180°-∠1=60°,∠4=180°-∠2=80°,∴∠A=180°-∠3-∠4=40°,∴直线a,b所夹锐角的度数为40°,故选B.
5.75　解析:在△ABC中,∵∠A=61°,∠B=44°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-61°-44°=75°.又∵将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,∴DF∥AC.∴∠F=∠ACB=75°.
6.解:(1)△ABC是“特征三角形”.理由如下:
∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,
∴∠C=180°-30°-50°=100°.
∴∠C=2∠B.
∴△ABC是“特征三角形”.
(2)在△DEF中,∠D=96°,
∴∠E+∠F=180°-96°=84°.
∵△DEF是“特征三角形”,且∠E是“次特征角”,
①当∠D=2∠E时,2∠E=96°.
∴∠E=48°.
②当∠F=2∠E时,∠E+2∠E=84°.
∴∠E=28°.
综上所述,∠E的度数为48°或28°.
微专题1
1.360°
2.解:(1)6
(2)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
即2∠P=∠D+∠B,
又∵∠D=50°,∠B=40°,
∴2∠P=50°+40°,
∴∠P=45°.
(3)2∠P=∠D+∠B.

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