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第2课时　三角形全等的判定二(ASA、AAS)
用“ASA”判定两个三角形全等
1.如图,点B,F,C,E在一条直线上,∠A=∠D=90°,AB=DE,若用“ASA”判定△ABC≌△DEF,则添加的一个条件是　　　　.
2.如图,小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形,那么两个三角形完全一样的依据是　　　　.
3.(2024攀枝花中考)如图,AB∥CD,AE∥CF,BF=DE.
求证:AB=CD.
用“AAS”判定两个三角形全等
4.下列各图中,a,b,c是三角形的边长,由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息,能确定与左侧△ABC全等的是 (　　)
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.只有丙
5.如图,AC和BD相交于点O,若OA=OD,用“AAS”证明△AOB≌△DOC还需增加条件:　　　　　.
6.如图,已知AB,EF相交于点O,点O为EF的中点,∠A=∠B.
(1)求证:△AOE≌△BOF.
(2)若AB=12,求OA的长.
1.(易错题)如图,AB∥CD,AD∥BC,AC和BD相交于点O,则图中全等三角形共有 (　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
2.如图,嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏,跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是60 cm,当淇淇从水平位置CD垂直上升15 cm时,嘉嘉离地面的高度是 (　　)
A.30 cm B.35 cm C.40 cm D.45 cm
3.如图,点F,A,D,C在一条直线上,EF∥BC,且EF=BC,DE∥AB.已知AD=3,CF=11,则AC的长为
(　　)
A.5 B.6 C.7 D.6.5
4.如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长为 (　　)
A.1 B. C.2 D.3
5.如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点在一条直线上,请添加一个条件　　　　,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
6.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=　　　　.
7.如图,AB与CD交于点P,连接AC,BD,M和N分别为BP和BD上的点,且MN∥CD,∠C+∠MND =180°.
(1)若CP=MN,求证:△ACP≌△BNM.
(2)在(1)的条件下,若AB=7,AP=3,求PM的长.
8.(应用意识)如图,为了测量楼AB的高度,在旗杆CD与楼AB之间选定一点P,测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=17°,楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=73°,点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8 m,旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33 m,求楼AB的高度.
【详解答案】
基础达标
1.∠B=∠E　2.ASA
3.证明:∵AB∥CD,AE∥CF,
∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,
∵BF=DE,
∴BE=DF,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AB=CD.
4.C　5.∠B=∠C
6.解:(1)证明:∵点O为EF的中点,
∴FO=EO,
在△AOE和△BOF中,
∴△AOE≌△BOF(AAS).
(2)∵△AOE≌△BOF,
∴OA=OB,∵AB=12,∴OA=AB=6.
能力提升
1.C　解析:∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.在△ADB和△CBD中,
∴△ADB≌△CBD(ASA).同理△ABC≌△CDA.∴CB=AD,AB=CD.∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO.
在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA).同理△AOB≌△COD.故选C.
2.D　解析:如图,由题意,得∠EAO=∠FBO=90°,OE=OF,AE=15 cm,
在△AOE和△BOF中,
∴△AOE≌△BOF(AAS),∴AE=BF=15 cm,∴嘉嘉离地面的高度是60-15=45(cm).故选D.
3.C　解析:∵EF∥BC,∴∠F=∠C.∵DE∥AB,∴∠EDF=∠BAC.∵EF=BC,
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AC=DF.∴AC-AD=DF-AD,即CD=AF.∵AD=3,CF=11,∴CD+AF=CF-AD=8.
∴CD=4.∴AC=AD+CD=3+4=7.故选C.
4.C　解析:∵AD,BE是△ABC的高线,
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°,∵∠BFD=∠AFE,∴∠DBF=∠CAD,在△ACD和△BFD中,
∴△ACD≌△BFD(ASA),∴DC=DF,∵△ACD的面积为12,∴×CD×6=12,∴CD=4,∴DF=4,∴AF=AD-DF=2,故
选C.
5.DE=EF(答案不唯一)　解析:∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,∴添加条件DE=EF,可以使得△ADE≌△CFE(AAS),∴AE=CE.(答案不唯一)
6.3　解析:在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
∴AE=AD=2,AB=AC=5.∴CE=BD=AB-AD=3.
7.解:(1)证明:∵MN∥CD,
∴∠BMN=∠BPD,
∵∠BPD=∠APC,∴∠BMN=∠APC,
∵∠C+∠MND=180°,∠BNM+∠MND=180°,∴∠C=∠BNM,
在△ACP和△BNM中,
∴△ACP≌△BNM(ASA).
(2)由(1)知△ACP≌△BNM,
∴BM=AP=3,
∵AB=7,
∴PM=AB-AP-BM=1.
8.解:由题意,得CD⊥BD,AB⊥BD.
∴∠CDP=∠PBA=90°.
∵∠DPC=17°,
∴∠PCD=90°-∠DPC=73°.
∵∠APB=73°,
∴∠PCD=∠APB.
在△CPD和△PAB中,
∴△CPD≌△PAB(ASA).
∴PD=AB.
∵DB=33 m,BP=8 m,
∴AB=PD=DB-BP=33-8=25(m).
∴楼AB的高度是25 m.第3课时　三角形全等的判定三(SSS)
用“SSS”判定两个三角形全等
1.在下列三角形中,与△ABC(如图)全等的是 (　　)
2.(2025沧州青县期中)如图,在△ABC和△ABD中,已知AC=AD,BC=BD,则能说明△ABC≌△ABD的依据是 (　　)
A.SAS B.ASA
C.SSS D.AAS
3.如图,在△ACE和△BDF中,AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF,需增加的一个条件是 (　　)
A.AB=BC
B.DC=BC
C.AB=CD
D.以上都不对
4.如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.
求证:△ABC≌△EDC.
作一个三角形
5.如图,已知线段a,用尺规作△ABC,使AB=a,BC=AC=2a.(不写作法,保留作图痕迹)
1.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有 (　　)
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
2.(传统文化)我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞圈D能沿着伞柄滑动,伞不论张开还是缩拢,伞柄AP始终平分伞骨AB,AC所成的角∠BAC,为了证明这个结论,我们的依据是 (　　)
A.SAS B.SSS
C.AAS D.ASA
3.平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于点P,如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为(注:四边形的内角和等于360°) (　　)
A.110° B.125°
C.130° D.155°
4.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD.若∠B=65°,则∠D=　　　　.
5.如图,AC=BD,BC=AD.
求证:∠C=∠D.
6.如图,在△ABC与△ADE中,E在BC边上,AD=AB,AE=AC,DE=BC,若∠1=25°,求∠2的度数.
7.(2024内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
微专题4 添加辅助线构造公共边证全等
遇到有两边相等时,可通过连线,构造公共边,进而证全等.
1.如图,已知AB=AC,BD=CD.
求证:∠B=∠C.
2.如图,已知AB=CD,AD=BC.
求证:(1)AD∥BC.
(2)∠B=∠D.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.C　3.C
4.证明:∵C是BD的中点,∴BC=DC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
5.解:如图所示,△ABC即为所求.
能力提升
1.B　解析:∵AC=BD,AB=CD,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠BAC=∠CDB.同理,得△ABD≌△DCA(SSS).又AB=DC,∠AOB=∠DOC,∴△ABO≌△DCO(AAS).故选B.
2.B　解析:根据伞的结构,AE=AF,伞骨DE=DF,AD是公共边,∵在△ADE和△ADF中,∴△ADE≌
△ADF(SSS),∴∠DAE=∠DAF,即AP平分∠BAC.故选B.
3.C　解析:在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SSS).∴∠A=∠B,∠ACD=∠BCE.∴∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE,即∠BCA=
∠ECD.
∵∠ACE=55°,∠BCD=155°,∴∠BCA+∠ECD=∠BCD-∠ACE=100°.∴∠BCA=∠ECD=50°.∵∠ACE=55°,
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=105°.∴∠A+∠D=180°-∠ACD=75°.∴∠B+∠D=75°.∵∠BCD=155°,∴∠BPD=360°-75°-155°=130°.故选C.
4.65°　解析:根据作图过程,可知AD=CB,CD=AB.又∵CA=AC,∴△CDA≌△ABC(SSS).∴∠D=∠B=65°.
5.证明:在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD(SSS),
∴∠C=∠D.
6.解:如图,
在△ABC与△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SSS),
∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴∠1=∠DAB=25°,
∵∠B=∠D,∠BOE=∠AOD,
∴∠2=∠DAB=25°.
7.解:(1)证明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,
即AB=DE,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵△ABC≌△DEF,∠A=55°,∠E=45°,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
微专题4
1.证明:如图,连接AD,
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠B=∠C.
2.证明:连接AC,如图,
(1)在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC.
(2)由(1)可知,△ABC≌△CDA,
∴∠B=∠D.第5课时　直角三角形全等的判定(HL)
用“HL”判定两个直角三角形全等
1.(2025南宁青秀区期中)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
2.(2025庆阳期末)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是
(　　)
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
3.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是 (　　)
A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC
4.(开放性问题)如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD.添加的条件是　　　　　　.(写一个即可)
5.如图,∠A=∠D=90°,点E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.
求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
6.如图所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗 为什么
1.(易错题)下列不能使两个直角三角形全等的条件是 (　　)
A.三边对应相等
B.两个锐角相等
C.一条直角边和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
2.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有 (　　)
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
3.如图,在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,两垂线交于点P,作射线OP,则OP平分∠AOB.这个结论的主要依据是 (　　)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.HL
4.如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△　　　　≌△　　　　(HL).
5.如图,AB=CD,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且DE=BF,∠D=60°,则∠A=　　　　°.
6.如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,且AD=A'D'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
7.(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,P,Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且PQ=AB,问点P运动到AC上什么位置时,△ABC才能和△APQ
全等
【详解答案】
基础达标
1.C　2.A　3.D　4.AC=AD(答案不唯一)
5.证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形.
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
6.解:相等.理由如下:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).
∴BD=CD,
∴两锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等.
能力提升
1.B　解析:A.三边对应相等,利用“SSS”能证明两个三角形全等,故本选项不符合题意;B.两个锐角对应相等,加上已知的直角相等,不能证明两个三角形全等,故本选项符合题意;C.一条直角边和斜边对应相等,利用“HL”能证明两个三角形全等,故本选项不符合题意;D.两条直角边对应相等,加上已知的直角相等,利用“SAS”能证明两个三角形全等,故本选项不符合题意.故选B.
2.C　解析:①∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠CFB=∠BEC=90°,∵BE=CF,BC=CB,∴△BCF≌△CBE(HL);②∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠AFC=∠AEB=90°,∵BE=CF,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACF(AAS);③设BE与CF相交于点O(图略),∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠OFB=∠OEC=90°,由①知△BCF≌△CBE,∴BF=CE,又∵∠BOF=∠COE,∴△BOF≌△COE(AAS).故选C.
3.D　解析:在Rt△OMP和Rt△ONP中,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).∴∠MOP=∠NOP.∴OP平分∠AOB.故选D.
4.ABE　DCF　解析:在△ABE和△DCF中,AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF,AB=DC,符合直角三角形全等的条件HL,所以△ABE≌△DCF.
5.30　解析:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠BFA=90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠B=∠D.∵∠D=60°,∴∠B=60°.∴∠A=90°-60°=30°.
6.证明:在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴CD=C'D'.
∵AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,
∴BC=2CD,B'C'=2C'D'.∴BC=B'C'.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).
7.解:由题意得∠C=∠QAP=90°,
根据直角三角形全等的判定方法HL可知,
①当点P运动到PA=BC时,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL).
∴BC=PA=5 cm.
∴CP=AC-AP=10-5=5(cm).
∴PA=CP,即点P运动到AC的中点处.
②当点P运动到与点C重合时,AP=AC,
在Rt△ABC和Rt△PQA中,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
∴AC=PA=10 cm.
综上所述,当点P运动到AC的中点处或与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.14.2　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定一(SAS)
用“SAS”判定两个三角形全等
1.下列与如图所示的三角形全等的是 (　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.只有①
2.如图,AC与BD交于点O,若OA=OD,要用“SAS”证明△AOB≌△DOC,还需要的条件是 (　　)
A.OB=OC B.AB=DC
C.∠A=∠D D.∠B=∠C
3.如图,已知AC和BD相交于点O,且BO=DO,AO=CO,下列判断正确的是 (　　)
A.只能证明△AOB≌△COD
B.只能证明△AOD≌△COB
C.只能证明△AOB≌△COB
D.能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
4.(2025保定顺平县期中)如图,已知O为线段PN,MQ的中点,PQ=25 m,则M,N两点间的距离为
(　　)
A.24 m B.25 m
C.26 m D.28 m
5.如图,AB,CD相交于点O,∠CDB=∠ABD,请你补充一个条件,通过“SAS”证得△ADB≌△CBD,你补充的条件是　　　　.
6.(2024云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
1.如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°,则∠BCA的度数为 (　　)
A.25° B.50° C.65° D.75°
2.如图,在△ABC中,D,E是BC边上的两点,AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAD的度数为(　　)
A.50° B.60° C.70° D.110°
3.(新情境)综合实践课上,嘉嘉制作了一个燕尾形风筝,如图,AD=CD,∠ADB=∠CDB,她准备用刻度尺测量AB和BC,并比较两者的长度是否相等,淇淇说:“不用测量,因为△ABD≌△CBD,所以AB=BC.”则淇淇得到△ABD≌△CBD的依据是　　　　.
4.如图所示,在2×2的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1+∠2=　　　　°.
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠A=112°,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且BE=CD,BD=CF,则
∠EDF的度数为　　　　.
6.(2025西安新城区期中)如图,已知AB=CD,AB∥CD,E,F是AC上两点,且AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)若∠BCE=30°,∠CBE=70°,求∠CFD的度数.
微专题3 倍长中线法构造全等三角形
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
1.(2025石家庄新华区月考)如图,在△ABC中,AD是中线,AB=5,AC=3,则AD的取值范围是 (　　)
A.3C.12.如图,已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
求证:∠C=∠BAE.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.A　3.D　4.B　5.AB=CD
6.证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD,
在△ABC与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
能力提升
1.D　解析:在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴∠B=∠D=80°.∴∠BCA=180°-25°-80°=75°.故选D.
2.B　解析:∵∠1=∠2=110°,∴∠ADC=∠AEB=180°-110°=70°,在△ACD和△ABE中,
∴△ACD≌△ABE(SAS),∴∠CAD=∠BAE=60°,故选B.
3.SAS　解析:在△ADB和△CDB中,
∴△ADB≌△CDB(SAS),∴AB=BC.
4.90　解析:如图,在△ABC和△DEA中,
∴△ABC≌△DEA(SAS),∴∠BAC=∠1,在Rt△ABC中,∠BAC+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.
5.34°　解析:在△ABC中,∠B=∠C,∠A=112°,∴∠B=∠C=34°,在△BED和△CDF中,
∴△BED≌△CDF(SAS),
∴∠BDE=∠CFD,∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°,∠CFD+∠C+∠CDF=180°,∴∠EDF=∠C=34°.
6.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAE=∠FCD,
∵AF=CE,∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)∵∠BCE=30°,∠CBE=70°,
∴∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°+70°=100°,
∵△ABE≌△CDF,
∴∠CFD=∠AEB=100°.
微专题3
1.C　解析:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=3,∴5-32.证明:如图所示,延长AE到F,使EF=AE,连接DF,
∵AE是△ABD的中线,
∴BE=ED,
在△ABE与△FDE中,
∴△ABE≌△FDE(SAS),
∴AB=DF,∠BAE=∠EFD,
∵∠BDA是△ADC的外角,
∴∠DAC+∠C=∠BDA=∠BAD,
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,
∠BAE=∠EFD,
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠C,
∴∠ADF=∠ADC,
∵AB=DC,∴DF=DC,
在△ADF与△ADC中,
∴△ADF≌△ADC(SAS),
∴∠C=∠AFD=∠BAE.第4课时　作一个角等于已知角
作一个角等于已知角
1.(2025石家庄月考)如图,通过尺规作图得到∠A'O'B'=∠AOB的依据是 (　　)
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
2.如图,已知∠AOB,C为射线OB上的一点,请用尺规作图法在OB上方作∠DCB,使得∠DCB=∠AOB.(保留作图痕迹,不写作法)
1.如图,已知四边形ABCD,∠EAD是其一个外角.请用尺规作图法,在边BC上求作一点M,使得DM∥AB.(保留作图痕迹,不写作法)
2.尺规作图:如图,已知线段a和∠α,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠C=∠α.(不写作法,保留作图痕迹)
3.先画一个三边互不相等的△ABC,然后再作一个三角形,使所作的三角形和△ABC有一个公共的顶点C,且与△ABC全等,请用两种方法作出图形.
4.(几何直观)尺规作图:如图,已知线段a和一副三角尺,其中∠α=60°,∠β=45°.求作△ABC,使得∠ABC=60°,∠BAC=75°,BC=a.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
【详解答案】
基础达标
1.A
2.解:如图所示,∠DCB即为所求.
能力提升
1.解:如图,点M即为所求.
2.解:如图,△ABC即为所求.
3.解:答案不唯一.
方法一
作法:(1)作△ABC.
(2)在AC的延长线上截取CA'=AC,在BC的延长线上截取CB'=BC.
(3)连接A'B',如图1,则△A'B'C≌△ABC(SAS).
方法二
作法:(1)作△ABC.
(2)在AC的延长线上截取CB'=CB,在BC的延长线上截取CA'=CA.
(3)连接A'B',如图2,则△A'B'C≌△ABC(SAS).
4.解:因为∠ABC=60°,∠BAC=75°,
所以∠ACB=45°,
如图所示,△ABC即为所求.

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