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第2课时　角的平分线的判定
角的平分线的判定
1.(2025唐山路南区月考)小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是 (　　)
A.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B.角的平分线上的点到角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
2.(易错题)如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P是 (　　)
A.线段CD的中点
B.∠ACD与∠CDB的平分线的交点
C.∠ACD与∠AOB的平分线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
3.如图,∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,则点C在　　　　的平分线上,点A在　　 　　的平分线上.
4.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.
求证:AD平分∠BAC.
三角形三内角的平分线
6.三角形中,到三边距离相等的点是 (　　)
A.三条高线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点
1.已知△ABC,两个完全一样的三角尺如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点M,则点M一定在 (　　)
A.∠A的平分线上 B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
2.如图,点P是∠AOB内一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PD=PC,∠AOB=50°,则∠AOP的度数是 (　　)
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.如图,若BD⊥AE于点B,交AF于点G,DC⊥AF于点C,且DC=DB,∠BAC=50°,则∠ADG=
　　　　°.
4.如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P.若AD=PD,则∠C的度数为　　　　.
5.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H.
(1)若点P到直线BA的距离是5 cm,求点P到直线BC的距离.
(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.
6.(推理能力)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,CE平分∠BCD,E为AD的中点.
求证:(1)BE平分∠ABC.
(2)BC=AB+CD.
【详解答案】
基础达标
1.A　2.D　3.∠A　∠C
4.证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS).
∴DF=DE,
∵DF⊥AB,DE⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线.
即AD平分∠BAC.
5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴点D在∠BAC的平分线上,
∴AD平分∠BAC.
6.C
能力提升
1.A　解析:如图,连接AM.由题意,得MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC.∴AM平分∠BAC.∴点M一定在∠BAC的平分线上.故选A.
2.A　解析:∵PC⊥OA,PD⊥OB,PD=PC,∴OP平分∠AOB,∵∠AOB=50°,∴∠AOP=∠AOB=25°.故选A.
3.115　解析:∵BD⊥AE,DC⊥AF,DC=DB,∴AD平分∠BAC,∵∠BAC=50°,∴∠BAD=∠BAC=25°,∵BD⊥AE,
∴∠ABD=90°,∴∠ADG=∠ABD+∠BAD=90°+25°=115°.
4.55°　解析:∵AD⊥AB,DP⊥BC,DA=DP,∴BD是∠ABC的平分线.∴∠DBC=∠ABD=35°.∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°.∴∠C=90°-∠DBC=90°-35°=55°.
5.解:(1)如图,过点P作PF⊥BE于点F.
∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PF⊥BE,
∴PH=PF=5 cm.
∴点P到直线BC的距离为5 cm.
(2)证明:如图,连接AP.
∵CP平分∠ACE,PD⊥AC,PF⊥BE,
∴PF=PD.
又∵PH=PF,∴PD=PH.
∵PD⊥AC,PH⊥BA,
∴AP平分∠HAC.
∴点P在∠HAC的平分线上.
6.证明:(1)如图,作EF⊥BC于点F,
∵AD⊥CD,CE平分∠BCD,EF⊥BC,
∴EF=DE,
∵E为AD的中点.
∴AE=DE,
∴AE=EF,
∵AB∥CD,AD⊥CD,
∴∠A=180°-∠D=90°,∴AD⊥AB,
∴BE平分∠ABC.
(2)在Rt△CDE和Rt△CFE中,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD,
同理BF=BA,
∴BC=BF+CF=AB+CD.14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的画法及性质
作已知角的平分线
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　)
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
2.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,其中点D在边BC上.
(1)用圆规和直尺在图中作出角平分线AD.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠C=80°,∠B=40°,求∠ADB的度数.
角的平分线的性质
3.(2025潍坊坊子区月考)如图,若OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论中错误的是 (　　)
A.PC=PD B.OC=PC
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
4.(2024青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
5.如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D.
求证:OC=OD.
6.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.
求证:PM=PN.
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠CAB的内部相交于点G;③作射线AG,交边BC于点D.则∠ADC的度数为 (　　)
A.40° B.55°
C.65° D.75°
2.如图,OD平分∠AOB,DE⊥OA于点E,DE=3,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是
(　　)
A.2.8 B.3
C.4.2 D.5
3.如图,在△ABC中,点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是　　　　.
4.(2025邯郸大名县期末)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=70°,求∠BDC的度数.
(2)若DE=2,BC=9,求△BCD的面积.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D.(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不用写作法和证明)
(2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC的面积.
6.(推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为边BC上一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.
求证:(1)AM⊥DM.
(2)M为BC的中点.
【详解答案】
基础达标
1.C
2.解:(1)如图,AD即为所求.
(2)∵∠C=80°,∠B=40°,
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB=×60°=30°,
∴∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110°.
3.B　4.C
5.证明:∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴EC=ED.
在Rt△OCE和Rt△ODE中,
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
∴OC=OD.
6.证明:∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.∴∠ADP=∠CDP,
即DP平分∠ADC.
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
能力提升
1.C　解析:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线.∵∠CAB=50°,∴∠CAD=∠CAB=25°.∵∠C=90°,
∴∠ADC=90°-25°=65°.故选C.
2.A　解析:如图所示,过点D作DH⊥OB于点H,∵OD平分∠AOB,DE⊥OA,DH⊥OB,∴DE=DH=3,∵F是射线OB上的任一点,∴DF的长度不可能小于3,∴DF的长度不可能是2.8,故选A.
3.12　解析:作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F,连接AO,如图所示,∵点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD⊥BC于点D,且OD=2,∴OD=OE=2,OD=OF=2,
∵AB+BC+AC=12,S△AOB+S△BOC+S△AOC=,
∴S△AOB+S△BOC+S△AOC==AB+BC+AC=12,∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,
∴S△ABC=12.
4.解:(1)∵BD平分∠ABC,∠ABC=40°,
∴∠DBC=∠ABC=×40°=20°.
∵CD平分∠ACB,∠ACB=70°,
∴∠DCB=∠ACB=×70°=35°,
∴∠BDC=180°-20°-35°=125°.
(2)∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,DE=2,
∴DF=DE=2.
∵BC=9,
∴S△BCD=×BC×DF=×9×2=9.
5.解:(1)∠ABC的平分线BD如图所示.
(2)如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵BD平分∠ABC,∠C=90°,DH⊥AB,
∴CD=DH=3.
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=BC·CD+AB·DH=×3BC+×3AB=×3(BC+AB)=×3×16=24.
6.证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴∠BAD=2∠MAD,∠ADC=2∠ADM.
∴2∠MAD+2∠ADM=180°.
∴∠MAD+∠ADM=90°.
∴∠AMD=180°-(∠MAD+∠ADM)=90°,即AM⊥DM.
(2)如图,过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B=90°,AB∥CD,
∴BM⊥AB,CM⊥CD.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴MB=MN,MN=MC.
∴MB=MC,即M为BC的中点.

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