资源简介

第2课时　作线段的垂直平分线
作线段的垂直平分线
1.下列作线段的垂直平分线的尺规作图,正确的是 (　　)
画成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴
2.画出下图中轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
经过直线外一点作这条直线的垂线
3.如图,已知△ABC,利用直尺和圆规过点A作BC边上的高AF.(保留作图痕迹,不写作法)
1.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.下列结论正确的是 (　　)
A.CD+DB=AB B.CD+AD=AB
C.CD+AC=AB D.AD+AC=AB
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为12,AB=8,则△ABC的周长为　　　　.
3.(新情境)如图,车站O位于两条公路OA,OB的交汇处,在公路OB上还有一个车站C,现要在两条公路之间修一个中转站P,使它到两条公路的距离相等,且到两个车站的距离也相等.请你在图中作出点P的位置.(用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
4.(几何直观)如图,利用网格线和直尺画图.
(1)在图中找一点O,使得OA=OB=OC.
(2)在AC上找一点P,使得点P到AB,BC的距离相等.
(3)在射线BP上找一点Q,使得QA=QC.
【详解答案】
基础达标
1.C
2.解:如图所示:
3.解:如图所示.
能力提升
1.B　解析:由作图得MN垂直平分BC.∴DC=DB.∴AB=AD+DB=AD+CD.故选B.
2.20　解析:由作法可得MN为AB的垂直平分线,则DA=DB.∵△ADC的周长为12,∴AC+CD+AD=12.
∴AC+CD+BD=12,即AC+BC=12.∵AB=8,∴△ABC的周长为AC+BC+AB=12+8=20.
3.解:如图所示,点P即为所求.
4.解:(1)如图,分别作出线段AB和线段BC的垂直平分线,交点即为点O.
(2)如图,作出∠B的平分线与线段AC的交点即可得到点P.
(3)如图,作出线段AC的垂直平分线与射线BP的交点即为点Q.15.1　图形的轴对称
15.1.1　轴对称及其性质
轴对称图形
1.(2025廊坊三河期中)下列图形中,不是轴对称图形的是 (　　)
2.(2024重庆A卷中考)下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是 (　　)
成轴对称
3.如图,右边图形与左边图形成轴对称的是 (　　)
4.下列图形中成轴对称的有 (　　)
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
成轴对称和轴对称图形的性质
5.如果两个图形关于某条直线对称,下列说法中错误的是 (　　)
A.这两个图形的形状相同,大小相等
B.对应线段的长度相等
C.对称点的连线互相平行或在同一条直线上
D.对称点之间的距离相等
6.(2024河北中考)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是 (　　)
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
7.如图,两个四边形关于直线l对称,∠C=90°,试写出a,b的长度,并求出∠G的度数.
1.下列轴对称图形中,对称轴最多的是 (　　)
2.图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的小正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形,并且只有一条对称轴,这个位置是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
3.(跨学科)通过光的反射定律知道,入射光线与反射光线关于法线成轴对称(如图1).在图2中,光线自点P射入,经镜面EF反射后经过的点是 (　　)
A.点A B.点B
C.点C D.点D
4.如图,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF,根据图中标示的角度,∠EAF的度数为 (　　)
A.120° B.118° C.116° D.114°
5.在折纸游戏中,小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE,AF为折痕,点B,D折叠后的对应点分别为点B',D'.若∠B'AD'=12°,则∠EAF的度数为　　　　.
6.如图,Rt△ABC关于直线MN的对称点分别为点A',B',C',其中∠A=90°,AC=8 cm,A'C=12 cm.
(1)求△A'B'C'的周长.
(2)求△A'CC'的面积.
7.(推理能力)如图,点P在∠AOB内,且点P与点M关于OA对称,PM交OA于点Q,点P与点N关于OB对称,PN交OB于点R,MN交OA于点E,交OB于点F,连接PE,PF.
(1)若MN=10,求△PEF的周长.
(2)若∠MPN=130°,求∠AOB和∠EPF的度数.
(3)若PM=PN,求证:点P在∠AOB的平分线上.
(注:四边形的内角和是360°)
【详解答案】
基础达标
1.B　2.C　3.D　4.C　5.D　6.A
7.解:∵两个四边形关于直线l对称,
∴四边形ABCD≌四边形FEHG,
∴∠H=∠C=90°,∠A=∠F=80°,∠E=∠B=135°,
∴∠G=360°-∠H-∠E-∠F=55°,
a=AB=EF=5 cm,b=HE=BC=4 cm.
能力提升
1.D　解析:选项A,图形有3条对称轴;选项B,图形有4条对称轴;选项C,图形有5条对称轴;选项D,图形有6条对称轴.∴对称轴最多的是选项D.故选D.
2.C　解析:A.是轴对称图形,但有两条对称轴,故本选项不符合题意;B.不是轴对称图形,故本选项不符合题意;C.是轴对称图形,并且只有一条对称轴,故本选项符合题意;D.不是轴对称图形,故本选项不符合题意.故选C.
3.B　解析:如图,延长点B所在的直线与EF交于点O,过点O作EF的垂线l,则OP与OB关于l成轴对称.故选B.
4.D　解析:如图,连接AD.由题意可得,∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,∠BAC=180°-67°-56°=57°.
∴∠EAF=∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC=2∠DAB+2∠DAC=2(∠DAB+∠DAC)=2∠BAC=2×57°=114°.故选D.
5.39°　解析:由题意,得∠BAE=∠B'AE,∠DAF=∠D'AF.∵∠BAE+∠B'AE+∠DAF+∠D'AF=90°+∠B'AD'=102°,∴∠B'AE+∠D'AF=51°.∴∠EAF=∠B'AE+∠D'AF-∠B'AD'=51°-12°=39°.
6.解:(1)∵Rt△ABC关于直线MN的对称点分别为点A',B',C',AC=8 cm,A'C=12 cm,
∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C',且点A',C,B'在一条直线上.
∴△A'B'C'的周长为B'C'+A'B'+A'C'=A'C+AC=12+8=20(cm).
(2)如图,连接CC'.∵∠A=90°,
∴∠A'=90°.
∴△A'CC'的面积为A'C×A'C'=×12×8=48(cm2).
7.解:(1)∵点P与点M关于OA对称,
∴MQ=PQ,∠EQM=∠EQP=90°.
又∵EQ=EQ,
∴△EMQ≌△EPQ(SAS).
∴ME=PE.同理FN=FP.
∴△PEF的周长为PE+FP+EF=ME+FN+EF=MN=10.
(2)∵点P与点M关于OA对称,
∴∠OQP=90°.
同理∠ORP=90°.
由四边形的内角和是360°可知,∠QOR=360°-∠OQP-∠ORP-∠QPR=360°-90°-90°-130°=50°,即∠AOB=50°.
∵∠MPN=130°,
∴∠M+∠N=180°-∠MPN=180°-130°=50°.
∵△EMQ≌△EPQ,
∴∠M=∠QPE.同理可得∠N=∠FPR.
∴∠EPF=∠MPN-(∠MPE+∠FPN)=∠MPN-(∠M+∠N)=130°-50°=80°.
(3)证明:∵点P与点M关于OA对称,点P与点N关于OB对称,
∴PQ=PM,PR=PN,PQ⊥OA,PR⊥OB,
∵PM=PN,∴PQ=PR.
又∵PQ⊥OA,PR⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上.15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线的性质
1.关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;②线段的垂直平分线是一条直线;③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等.其中,正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.如图,P是线段AB的垂直平分线上一点,M为线段AB上异于A,B的点,则PA,PB,PM的大小关系是PA　　　PB　　　PM.
3.(2024镇江中考)如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD =　　　　.
线段垂直平分线的判定
4.如图,P是△ABC内一点,若PB=PC,则(　　)
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
5.如图,在△ABC中,AB=AC,O是三角形ABC内一点,且OB=OC.
求证:AO⊥BC.
互逆命题
6.命题“如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　.
1.(易错题)下列说法错误的是 (　　)
A.若P是线段AB的垂直平分线上的点,则PA=PB
B.若PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
2.下列命题的逆命题是真命题的是 (　　)
A.全等三角形的面积相等
B.如果a=b,那么|a|=|b|
C.两直线平行,内错角相等
D.两个全等三角形的三对对应角相等
3.如图,CD是线段AB的垂直平分线,若AC=1.6 cm,BD=3.2 cm,则四边形ACBD的周长是 (　　)
A.4.8 cm B.9.6 cm C.6.4 cm D.8 cm
4.如图,有A,B,C三个村庄,现打算修建一个5G基站P,使得该5G基站到三个村庄A,B,C的距离相等,则点P应设计在 (　　)
A.三个角的平分线的交点 B.三角形三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三角形三条中线的交点
5.(2024凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC= (　　)
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
6.如图,在△ABC中,AB=AC,G为三角形外一点,且GB=GC.
(1)求证:AG垂直平分BC.
(2)若点D在AG上,求证:DB=DC.
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分AB于点D.
求证:BE+DE=AC.
8.(推理能力)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O.
(1)若BC=12,求△ADE的周长.
(2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.=　>　3.3　4.D
5.证明:∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上.
∴AO是BC的垂直平分线.∴AO⊥BC.
6.如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
能力提升
1.D　2.C
3.B　解析:∵CD是AB的垂直平分线,∴CA=CB=1.6 cm,DA=DB=3.2 cm.∴四边形ACBD的周长是CA+CB+DB+ DA=9.6 cm.故选B.
4.C　解析:∵该5G基站到三个村庄A,B,C的距离相等,∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点处,综上所述,只有选项C正确,符合题意.故选C.
5.C　解析:∵DE垂直平分AB交BC于点D,∴AD=DB,∵△ACD的周长为50 cm,∴AC+AD+CD=AC+CD+DB= AC+BC=50 cm.故选C.
6.证明:(1)∵GB=GC,AB=AC,
∴点G,A在线段BC的垂直平分线上.
又∵两点确定一条直线,
∴AG垂直平分BC.
(2)∵AG垂直平分BC,点D在AG上,
∴DB=DC.
7.证明:∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.
∵ED⊥AB,BE平分∠ABC,
∴EC=ED.
∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.
∵AC=AE+CE,∴BE+DE=AC.
8.解:(1)∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴AD=BD,AE=CE,
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12,
∴△ADE的周长为12.
(2)点O在BC的垂直平分线上,理由如下:
如图,连接AO,BO,CO,
∵OM,ON分别是AB,AC的垂直平分线,
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.

展开更多......

收起↑