资源简介

第2课时　含30 °角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,∠ACD=30°.下列结论正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AD=CD B.AC=AB C.BD=BC D.CD=AB
2.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 cm,则斜边的长是 (　　)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
3.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,那么斜边AB的长是　　　　cm.
4.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60° 500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是　　　　.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AD长为4 cm,求BC的长.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上一点,且∠BAP=90°.
(1)求证:PA=PC.
(2)若PC=10,求BP的长.
1.(2025昆明五华区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为
(　　)
A.1.5 B.2
C.3 D.4
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=1,则OM的长为 (　　)
A.3 B.3.5
C.4 D.4.5
3.如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为 (　　)
A.1 B.
C. D.
4.如图,在△ABC中,AB=a,AC=b,∠BAC=150°,则S△ABC=　　　　.
5.如图,D为△ABC的边BC上一点,且满足AD=DC,过点B作BE⊥AD于点E.若∠BAC=70°,∠C=40°,AB=6,则BE的长为　　　　.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,DE∥BC交AC于点E.若BD=2,则DE=　　　　.
7.如图,△ABC是等边三角形,D是BC延长线上一点,DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F.若CD=3AE,CF =6,则AC的长为　　　　.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC边上的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E.
(1)求∠BCD的度数.
(2)若DE=3,求AB的长.
9.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.
10.(应用意识)如图,上午8时,一条船从海岛A出发,以每小时航行18 n mile的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得灯塔C在A的北偏西15°方向上,灯塔C在B的北偏西30°方向上,在灯塔C的周围20 n mile范围内有暗礁,如果船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险 请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.8　4.250 m
5.解:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC=30°,
∵∠C=90°,
∴∠B=30°,DC=AD=2 cm,
∴BD=AD=4 cm,
∴BC=6 cm.
6.解:(1)证明:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°.
∵∠BAP=90°,
∴∠PAC=∠BAC-∠BAP=120°-90°=30°,
∴∠PAC=∠C=30°,
∴PA=PC.
(2)∵PA=PC,PC=10,
∴PA=10,
在Rt△APB中,∠B=30°,∴BP=2PA=20.
能力提升
1.B　解析:∵∠DBC=60°,∠C=90°,
∴∠BDC=90°-60°=30°,∴BD=2BC=2×1=2,∵∠C=90°,∠A=15°,∴∠ABC=90°-15°=75°,∴∠ABD=∠ABC-
∠DBC=75°-60°=15°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD=2.故选B.
2.B　解析:如图,过点P作PD⊥OB于点D.∵∠AOB=60°,PD⊥OB,∴∠OPD=90°-60°=30°.∴OD=OP=4.
∵PM=PN,MN=1,PD⊥OB,∴MD=ND=MN=0.5.∴OM=OD-MD=4-0.5=3.5.故选B.
3.C　解析:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2,∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°,∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF=AD,CE=CF,∵点D是AB的中点,∴AD=1,∴AF=,CF=,CE=,∴BE=BC-CE=2-.故选C.
4.ab　解析:如图,作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ACD中,∠CAD=180°-∠BAC=30°,∴CD=AC=b,则S△ABC=
AB·CD=a·b=ab.
5.3　解析:∵DA=DC,∴∠DAC=∠C=40°.∵∠BAC=70°,∴∠BAE=∠BAC-∠DAC=70°-40°=30°.∵BE⊥AD,
∴∠AEB=90°.∴BE=AB=×6=3.
6.3　解析:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,AB=2BC.∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.∴∠DCB=90°-∠B=30°.∴BC= 2BD=4.∴AB=2BC=8.∴AD=AB-BD=8-2=6.∵∠ACB=90°,DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=90°.∵∠A=30°,∴DE= AD=3.
7.10　解析:设AC与DE相交于点G,如图,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠ACB=60°,∵DE⊥AE,∴∠AGE=30°,∴∠CGD=30°,
∵∠ACB=∠CGD+∠D,∴∠D=30°,∴CG=CD,设AE=x,则CD=3x,CG=3x,在Rt△AEG中,AG=2AE=2x,
∴AB=BC=AC=5x,∴BE=4x,BF=5x-6,在Rt△BEF中,BE=2BF,即4x=2(5x-6),解得x=2,∴AC=5x=10.
8.解:(1)∵AC边上的垂直平分线是DE,
∴CD=AD,DE⊥AC,
∴∠A=∠DCA=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°.
(2)∵∠B=60°
∴∠BCD=∠B=60°
∴BD=CD,
∴BD=CD=AD=AB,
∵DE=3,DE⊥AC,∠A=30°,
∴AD=2DE=6,
∴AB=2AD=12.
9.解:如图,延长AD,BC交于点E.
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°.
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=180°-∠ADC=60°.
∴∠E=∠EDC.∴CE=CD.
又∵∠E=60°,∴△EDC是等边三角形.
∴CD=CE=DE
设CD=CE=DE=x.
∵AD=4,BC=1,∴BE=x+1,AE=x+4.
∵在Rt△ABE中,∠A=30°,∴AE=2BE.
∴x+4=2(x+1).解得x=2.∴CD=2.
10.解:会有触礁危险.理由如下:
如图,过点C作CE⊥AN于点E.
由题意可得AB=2×18=36(n mile).
∵∠NBC=∠A+∠ACB,∠A=15°,∠NBC=30°,
∴∠ACB=∠NBC-∠A=15°.
∴∠ACB=∠A.
∴BC=BA=36 n mile.
∵CE⊥AN,∴∠BEC=90°.
∵∠NBC=30°,
∴CE=BC=×36=18(n mile).
∵18<20,∴如果船不改变方向继续向前航行,会有触礁危险.15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
等边对等角
1.等腰三角形的顶角为80°,则其底角的度数是 (　　)
A.100° B.80° C.50° D.40°
2.(2024绥化中考)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A=　　　　°.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P为△ABC内一点,∠PBC=∠PCA,求∠BPC的值.
三线合一
4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是 (　　)
A.过顶点的直线 B.腰上的中线所在的直线
C.腰上的高所在的直线 D.顶角平分线所在的直线
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,若∠CAD=20°,则∠B的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=5,BD=3,则△ABC的周长为　　　　.
7.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.
求证:EF=ED.
1.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1= (　　)
A.23° B.46° C.67° D.78°
2.(2024云南中考)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 (　　)
A. B.2 C.3 D.
3.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为 (　　)
A.30° B.40° C.45° D.60°
4.(易错题)等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为　　　　　　　　.
5.小聪和小明玩跷跷板游戏,如图,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板A,B两端,当A端落地时,∠AOH=70°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM =　　　　°.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边BC,AC上的点,连接AD,BE,DE,AD=AE.
(1)当AD是边BC上的高,且∠BAD=30°时,求∠EDC的度数.
(2)当AD不是边BC上的高时,请判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系,并说明理由.
8.(运算能力)在△ABC中,∠BAC=90°.
(1)如图1,若点D在CB的延长线上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE的度数为　　　　.
(2)如图2,若点D,E均在BC上,且BE=BA,CD=CA,求∠DAE的度数.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.66
3.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=65°.
又∵∠PBC=∠PCA,∠PCA+∠PCB=65°,
∴∠PBC+∠PCB=65°.
∴∠BPC=180°-65°=115°.
4.D　5.C　6.16
7.证明:∵AB=AC,AD是边BC上的中线,
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EF=ED.
能力提升
1.B　解析:如图,根据题意,得AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=67°,∵直线l1∥l2,∴∠2=∠ABC=67°,∵∠1+∠ACB+
∠2=180°,∴∠1=180°-∠2-∠ACB=180°-67°-67°=46°.故选B.
2.C　解析:∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,∴AF是顶角∠BAC的平分线,∵点F到直线AB的距离为3,∴点F到直线AC的距离为3.故选C.
3.B　解析:∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°,∴∠B=∠ADB=80°,∴∠ADC=180°-∠ADB=100°,∵AD=CD,∴∠C ==40°.故选B.
4.70°,40°或55°,55°　解析:①当这个角是底角时,另外两个角是70°,40°;②当这个角是顶角时,另外两个角是55°,55°.
5.40　解析:由题意,得AM∥OH,∴∠AOH=∠OAM=70°,∵OM=OA,∴∠M=∠OAM=70°,∴∠AOM=180°-∠M-
∠OAM=40°.
6.证明:∵AB=AC,AD是边BC上的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.
∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.
∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.
7.解:(1)∵AD是边BC上的高,AB=AC,
∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线.
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
(2)∠BAD=2∠EDC.理由如下:
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED.
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠ABC+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+2∠EDC.
∵∠ABC=∠C,∴∠BAD=2∠EDC.
8.解:(1)135°
(2)∵BE=BA,CD=CA,
∴∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD.
设∠BEA=∠BAE=x,∠CDA=∠CAD=y,∠DAE=z.
∴在△AED中,x+y+z=180°.①
∵∠BAC=90°,
∴x+y-z=90°.②
①+②,得x+y=135°.
∴z=45°.
∴∠DAE的度数是45°.15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质
1.如图,在等边三角形ABC中,外角∠1的度数为 (　　)
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.(易错题)等边三角形的高、中线、角平分线共有 (　　)
A.3条 B.7条 C.8条 D.9条
3.如图,△ABC是等边三角形,AB=6,AD平分∠BAC交BC于点D,则BD的长是　　　　.
4.如图,在△ABC中,以AB为边作等边三角形ABD(点C,D在边AB的同侧),连接CD.若∠ABC=90°,∠BAC=30°,求∠BDC的度数.
等边三角形的判定
5.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是 (　　)
A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
6.已知:如图,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠ABD=30°,求证:△ABC为等边三角形.
证明:∵AB=BC,
∴△ABC是　　　　.
∵BD⊥AC于点D,
∴∠ABC=2∠ABD=　　　　.
又AB=BC,
∴△ABC为等边三角形(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　).
1.(易错题)下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边三角形ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为
(　　)
A.24° B.36° C.48° D.56°
3.(2025赣州期末)如图,等边三角形纸片ABC的边长为8,点E,F是BC边的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 (　　)
A.3 B. C.6 D.8
4.(开放性问题)在△ABC中,∠B=∠C,请添加一个条件使△ABC是等边三角形,则添加的条件可以是　　　　　　　　.(写出一个即可)
5.如图,点P为等边三角形ABC的边BC上一点,且∠APD=80°,AD=AP,则∠DPC=　　　　.
6.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=15 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.
7.如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.
求证:△ADE为等边三角形.
8.如图,在等边三角形ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数.
(2)求证:DC=CF.
9.(推理能力)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE∥AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由.
(2)若AD=12,CE=8,求CF的长.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.A　3.3
4.解:∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,AB=AD,
∵∠BAC=30°,
∴∠DAC=60°-30°=30°,
∴∠BAC=∠DAC.
在△CBA与△CDA中,
∴△CBA≌△CDA(SAS),
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-60°=30°.
5.D
6.等腰三角形　60°　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
能力提升
1.D　解析:根据等边三角形的判定可知,有两个角等于60°的三角形是等边三角形,故①可以判定为等边三角形;根据等边三角形的判定可知,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,故②可以判定为等边三角形;∵三角形的三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等,∴这个三角形的三个内角都相等.∴这个三角形是等边三角形.∴三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形是等边三角形.故③可以判定为等边三角形;∵一腰上的中线也是这条腰上的高,∴这条中线是腰的垂直平分线.∴腰与底相等.又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形,∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形.故④可以判定为等边三角形.综上所述,①②③④都能判定为等边三角形,等边三角形的个数为4.故选D.
2.B　解析:如图,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-∠ABC=120°,∵∠1=∠BGD=24°,∴∠BDG=180°-120°-24°=36°,∵太阳光线平行,即有DG∥EF,∴∠2=∠BDG=36°.故选B.
3.D　解析:∵△ABC为等边三角形,且边长为8,∴∠B=∠C=60°,BC=8,∵点E,F是BC边的三等分点,∴EF=,
∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,∴△DEF为等边三角形,∴DE=DF=EF=,∴△DEF的周长是DE+DF+EF=3EF=3×=8.故选D.
4.∠A=∠B(答案不唯一)　解析:∵∠B=∠C,∠A=∠B,∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.(答案不唯一)
5.20°　解析:在△APD中,AP=AD,
∴∠APD=∠ADP=80°,∴∠PAD=180°-80°-80°=20°,∴∠BAP=60°-20°=40°,∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°,∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°.
6.15　解析:如图,连接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB为等边三角形.∴AB=OA=15 cm.∴A,B两点之间的距离是15 cm.
7.证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC,
∴∠ACD=120°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2=60°,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
又∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD,∠BAC=60°,
∴∠DAE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
8.解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵∠EDC=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°.
∴∠DEC=180°-60°-60°=60°.
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC.
∴△DEC是等边三角形.∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,
∴∠CEF=30°.∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.∴DC=CF.
9.解:(1)△DEF是等边三角形.
理由如下:∵AB=AD,∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE∥AB,∴∠FED=∠A=60°,
∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠FED=∠EDF=∠DFE.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC(图略),
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE=∠DAC=30°,
∴AE=CE=8,DE=AD-AE=12-8=4.
∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.第2课时　等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
1.对“等角对等边”这句话的理解,正确的是 (　　)
A.只要两个角相等,那么它们所对的边也相等
B.在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等
C.在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等
D.以上说法都是正确的
2.如图,其中△ABC是等腰三角形的是 (　　)
3.一个三角形的三个外角的度数之比5∶4∶5,那么这个三角形是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
4.(2025肇庆期末)如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于点E.
求证:△CEB是等腰三角形.
用尺规作等腰三角形
5.已知线段a(如图),画一个底边长为a,底边上的高也为a的等腰三角形.(尺规作图,保留作图痕迹)
1.(易错题)“在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,要使△ABC为等腰三角形,求∠B的度数.”对于其答案,甲答:50°;乙答:80°;丙答:20°,则正确的是 (　　)
A.只有甲答得对
B.甲、乙的答案合在一起才完整
C.甲、丙的答案合在一起才完整
D.三人的答案合在一起才完整
2.如图,在△ABC中,∠B=∠C=54°,D是BC边上的中点,连接AD,则∠DAC等于 (　　)
A.36° B.45° C.54° D.72°
3.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD,交AB于点F,交CA延长线于点G,下列说法正确的是(　　)
A.△ABD是等腰三角形
B.△AGF是等腰三角形
C.△BEF是等腰三角形
D.△ADC是等腰三角形
4.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 (　　)
5.如图,一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发,向正北航行8 n mile到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船距离灯塔C　　　　n mile.
6.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ACD的度数为　　　　.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB,交AB于点D,E为AC的中点,连接DE.
(1)求证:△ACD是等腰三角形.
(2)求∠EDC的度数.
微专题5　角平分线+平行线→等腰三角形
当题目条件中含有角平分线、平行线时,通常利用平行线及角平分线的性质把相等的角转化到同一个三角形中,利用等角对等边求解.如图所示.
1.如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点B',B'C与AD交于点E.
求证:△ACE为等腰三角形.
2.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC分别相交于点M,N,且MN∥BC.
(1)若∠A=60°,求∠BOC的度数.
(2)已知AB=7,AC=6,求△AMN的周长.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.C　3.A
4.证明:∵CE∥DA,∴∠A=∠CEB.
又∵∠A=∠B,∴∠CEB=∠B,
∴CE=CB,∴△CEB是等腰三角形.
5.解:首先画射线AE,在射线上截取AB=a,然后作AB的垂直平分线,垂足为O,再截取CO=a,再连接AC,CB,△ABC即为所求.如图所示:
能力提升
1.D　解析:∵在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,∴∠A=180°-100°=80°.当AB=AC时,∠B=∠C=×(180°-
∠A)=50°;当BC=BA时,∠C=∠A=80°.∴∠B=180°-(∠A+∠C)=20°;当CB=CA时,∠B=∠A=80°.综上所述,∠B的度数为50°或20°或80°.∴三人的答案合在一起才完整.故选D.
2.A　解析:∵∠B=∠C=54°,∴AB=AC,
∵D是BC边上的中点,∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-∠C=36°.故选A.
3.B　解析:∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵EF∥AD,∴∠G=∠CAD,∠AFG=∠BAD,∴∠G=
∠AFG,∴AG=AF,∴△AGF是等腰三角形,△ABD,△BEF,△ADC无法证明其为等腰三角形.故选B.
4.B　解析:A.作∠B的平分线即可;C.过A点作BC的垂线即可;D.以B为圆心,AB为半径作弧交BC于一点即可;只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.故选B.
5.8　解析:如图,∵AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD=42°.
∵∠NBC=∠CAB+∠ACB,
∴∠ACB=84°-42°=42°.
∴∠ACB=∠CAB.∴BC=BA=8 n mile,即船距离灯塔C 8 n mile.
6.70°或40°或20°　解析:由题可知,∠CAB=180°-∠C-∠B=40°.如图,有三种情形:
①当AC=AD时,∠ACD=70°;②当CD'=AD'时,∠ACD'=40°;③当AC=AD″时,∠ACD″=20°.
7.解:(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ACB=∠B=(180°-∠A)=72°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=36°.
∵∠A=36°,∴∠ACD=∠A.
∴CD=AD.∴△ACD是等腰三角形.
(2)∵E为AC的中点,∴AE=CE.
∵DC=DA,∴DE⊥AC,即∠DEC=90°.
∴∠EDC=90°-∠ACD=90°-36°=54°.
微专题5
1.证明:∵将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点B',
∴∠B'CA=∠BCA.
∵AD∥BC,∴∠EAC=∠BCA.
∴∠EAC=∠ECA.∴AE=CE.
∴△ACE为等腰三角形.
2.解:(1)∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB.
∴∠CBO+∠BCO=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=60°.
∴∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-60°=120°.
(2)∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO.
又∵MN∥BC,∴∠MOB=∠CBO.
∴∠MOB=∠ABO.
∴MO=MB,同理NO=NC.
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=13.

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