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16.3　乘法公式
16.3.1　平方差公式
平方差公式
1.下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是 (　　)
A.(m-n)(-m+n)
B.(m+n)(-m+n)
C.(m-n)(m-n)
D.(-m-n)(-m-n)
2.计算结果为a2-9b2的是 (　　)
A.a+9ba-9b
B.a+3ba-3b
C.a+3ba-3b
D.a+3ba-3b
3.若(9+x2)(x+3)(3-x)=(　　),则括号内应填入的代数式是 (　　)
A.9-x2 B.81-x4
C.9+x2 D.81+x4
4.(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=　　　　.
5.利用平方差公式计算:
(1)(x+6)(6-x).
(2)-x+-x-.
(3)-2x2+-2x2-.
(4)x2y2+3m-3m+x2y2.
运用平方差公式进行简便计算
6.计算:203×197=　　　　.
7.利用平方差公式计算:
(1)9.8×10.2.
(2)14×15.
1.(易错题)下列运算正确的是 (　　)
A.(a+2b)(a-2b)=a2-2b2 B.(2a+5b)(2a-5b)=4a2-10b2
C.(a2-1)(1+a2)=-1-a4 D.-a+ba+b=b2-a2
2.如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形,然后将剩余部分剪后拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是 (　　)
A.(a+1)(a-1)=a2-1
B.(a-1)2=a2-2a+1
C.(a+1)2=a2+2a+1
D.a(a+1)=a2+a
3.(2024北京朝阳区期中)若(a+1)(a-1)=35,则a的值为 (　　)
A.±6 B.±3 C.6 D.3
4.计算:(1+2a)(1-2a)(1+4a2)=　.
5.已知x2-y2=-1,则(x-y)2 025·(x+y)2 025=　　　　.
6.计算:
(1)2 0252-2 024×2 026.
(2)x+yx-yx2+y2.
(3)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y).
7.先化简,再求值:(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中a=1,b=-2.
8.(新情境)某区街心花园有一块边长为a m的正方形广场,为了与周边建设相统一,经统一规划后,南、北方向要各加长5 m,东、西方向要各缩短5 m,改造后的长方形广场的面积是多少
9.(推理能力)【观察】
(2+3)2-22=7×3;(4+3)2-42=11×3.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)(6+3)2-62的结果是3的　　　　倍.
(2)设偶数为2n(n为整数),试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几 请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.D　3.B　4.b2-a2
5.解:(1)原式=62-x2=36-x2.
(2)原式=(-x)2-2=x2-.
(3)原式=(-2x2)2-2=4x4-.
(4)原式=x2y22-(3m)2=x4y4-9m2.
6.39 991
7.解:(1)9.8×10.2
=(10-0.2)×(10+0.2)
=100-0.04
=99.96.
(2)14×15
=15-×15+
=152-2
=225-
=224.
能力提升
1.D　解析:A.根据平方差公式,(a+2b)(a-2b)=a2-4b2,A错误,故A不符合题意;B.根据平方差公式,(2a+5b)(2a-5b)=4a2-25b2,B错误,故B不符合题意;C.根据平方差公式,(a2-1)(1+a2)=a4-1,C错误,故C不符合题意;D.根据平方差公式,-a+ba+b=b2-a2,D正确,故D符合题意.故选D.
2.A　解析:左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即a2-1,拼成的右图是长为a+1,宽为a-1的长方形,因此面积为(a+1)(a-1),所以有a2-1=(a+1)(a-1),即(a+1)(a-1)=a2-1.故选A.
3.A　解析:∵(a+1)(a-1)=35,∴a2-1=35.∴a2=36.∴a=±6.故选A.
4.1-16a4　解析:原式=(1-4a2)(1+4a2)=1-16a4.
5.-1　解析:原式=[(x-y)(x+y)]2 025=(x2-y2)2 025=(-1)2 025=-1.
6.解:(1)原式=2 0252-(2 025-1)×(2 025+1)
=2 0252-(2 0252-1)
=2 0252-2 0252+1
=1.
(2)原式=x2-y2x2+y2
=x4-y4.
(3)原式=4x2-9y2-(16y2-9x2)
=4x2-9y2-16y2+9x2
=13x2-25y2.
7.解:原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab.当a=1,b=-2时,
原式=12+1×(-2)=-1.
8.解:广场改造后,其南、北方向长为(a+10)m,东、西方向长为(a-10)m,改造后的长方形广场的面积是(a+10)(a-10)=(a2-100)(m2).
9.解:(1)15
(2)根据题意可知,比偶数2n大3的数为(2n+3),
∴(2n+3)2-(2n)2
=(2n+3+2n)(2n+3-2n)
=3(4n+3),
又∵4n+3为整数,
∴3(4n+3)能被3整除.
∴比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是3.理由:根据题意设这个整数为n,比n大3的数为n+3,
(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+3-n)=3(2n+3)=6n+9=6(n+1)+3,
即6(n+1)+3被6除余3.
∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是3.第2课时　添括号法则
添括号法则
1.下列添括号正确的是 (　　)
A.a-2b+3c=a-(2b+3c)
B.a-b-c=a-(b-c)
C.-a+b-c=-(a-b+c)
D.c+2a-b=c+2(a-b)
2.在横线上填上适当的项.
(1)a-2b+c+d=a-(　　　　　).
(2)-a-3b+c=-(　　　　　).
(3)x2-2y2+2x-3y=(　　　　　)+2x-3y.
(4)x2-y2-x-y=x2-x-(　　　).
添括号后运用乘法公式进行计算
3.在运用乘法公式计算(2x-y+3)(2x+y-3)时,下列变形正确的是 (　　)
A.[(2x-y)+3][(2x+y)-3]
B.[(2x-y)+3][(2x-y)-3]
C.[2x-(y+3)][2x+(y-3)]
D.[2x-(y-3)][2x+(y-3)]
4.利用乘法公式计算:
(1)(x+2y+z)(x+2y-z).
(2)(a-2b+1)2.
1.(易错题)下列式子中,不成立的是 (　　)
A.(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2
B.(x+y-z)(-x-y-z)=x2-(y-z)2
C.(x-y-z)(x+y-z)=(x-z)2-y2
D.(x-y-z)(x+y+z)=x2-(y+z)2
2.把多项式-3x2-2x+y-xy+y2一次项结合起来,放在前面带有“+”号的括号里,二次项结合起来,放在前面带有“-”号的括号里,等于 (　　)
A.(-2x+y-xy)-(3x2-y2)
B.(2x+y)-(3x2-xy+y2)
C.(-2x+y)-(-3x2-xy+y2)
D.(-2x+y)-(3x2+xy-y2)
3.计算:
(1)(2a+b-3)(b-2a+3).
(2)a-b-42.
4.(运算能力)我们把形如x2(其中x是一个整式)的式子叫完全平方式,如(2x+y-3)2就是一个完全平方式,设多项式A=(a2+1)·(b2+1)-4ab.
(1)试将多项式A写成两个完全平方式和的形式.
(2)令A=0,写出a,b取值的所有可能的结果.
【详解答案】
基础达标
1.C
2.(1)2b-c-d　(2)a+3b-c　(3)x2-2y2
(4)y2+y
3.D
4.解:(1)原式=[(x+2y)+z][(x+2y)-z]
=(x+2y)2-z2
=x2+4xy+4y2-z2.
(2)原式=[(a-2b)+1]2
=(a-2b)2+2(a-2b)×1+12
=a2-4ab+4b2+2a-4b+1.
能力提升
1.B
2.D　解析:-3x2-2x+y-xy+y2=-3x2+y2-xy-2x+y=(-2x+y)-(3x2+xy-y2),故选D.
3.解:(1)原式=[b+(2a-3)][b-(2a-3)]=
b2-(2a-3)2=b2-(4a2-12a+9)=
b2-4a2+12a-9.
(2)原式=a-b-42
=a-b2-8a-b+16
=a2-ab+b2-4a+8b+16.
4.解:(1)A=(a2+1)(b2+1)-4ab
=a2b2+a2+b2+1-4ab
=(a2b2-2ab+1)+(a2-2ab+b2)
=(ab-1)2+(a-b)2.
(2)∵A=(ab-1)2+(a-b)2=0,
∴
解得或16.3.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
完全平方公式
1.下列各式中,能用完全平方公式计算的是 (　　)
A.(x-y)(x+y) B.(x-y)(x-y)
C.(x-y)(-x-y) D.-(x+y)(x-y)
2.利用公式计算(-x-2y)2的结果为 (　　)
A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2
C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2
3.计算:(x+2)2=　　　　.
4.已知a2+b2=13,ab=6,则(a+b)2=　　　　.
5.利用完全平方公式计算:
(1)(2x+5y)2.
(2)m-n2.
(3)-cd+2.
运用完全平方公式进行简便计算
6.利用完全平方公式计算992,下列变形最恰当的是 (　　)
A.(98+1)2 B.(101-2)2
C.(100-1)2 D.(50+48)2
7.计算:602=　　　　　.
8.计算:
(1)1052.　　 (2)19.92.
1.(易错题)下列计算正确的是 (　　)
A.(a+3)2=a2+9
B.(x-9y)2=x2-18xy+9y2
C.(2a+3)2=4a2+6a+9
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
2.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x-1)2=x2-2x+1的是 (　　)
A　　　 　B
C　　　　 D
3.小虎在利用完全平方公式计算时,不小心用墨水将式子的两项染黑:(2x+■)2=4x2+24xy+■,则被染黑的最后一项应该是(　　)
A.3y B.9y C.9y2 D.36y2
4.当a>1时,(a-1)2与a2-1的大小关系为 (　　)
A.(a-1)2C.(a-1)2>a2-1 D.无法确定
5.计算:2 0252-4 050×2 024+2 0242=　　　　.
6.已知(x+m)2=x2-8x+n,则m+n=　　　　.
7.计算:
(1)(3x-2y)2-(4y-3x)(3x+4y).
(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2.
8.(2025唐山路南区期中)已知a+b=3,ab=1,求下列各式的值.
(1)a2+b2.
(2)(a-b)2.
9.某广场有一块长为(5a+3b) m,宽为(4a+2b) m的长方形地块,规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为(2a+b) m的直角三角形区域作为道路,在中间修建一个边长为(3a+2b) m的正方形花坛,其余阴影部分规划为绿化地带,尺寸如图所示.
(1)用含a,b的代数式表示绿化地带的面积(结果要化简).
(2)若a=5,b=20,请求出绿化地带的面积.
10.(推理能力)认真阅读材料,然后回答问题:
　　我们初中学习了多项式的运算法则,相应地我们可以计算出多项式的展开式,如:(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
…
下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角”.
仔细观察“杨辉三角”,用你发现的规律回答下列问题:
(1)(a+b)n的展开式中共有多少项
(2)请写出多项式(a+b)5的展开式.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.D　3.x2+4x+4　4.25
5.解:(1)(2x+5y)2
=(2x)2+2·(2x)·(5y)+(5y)2
=4x2+20xy+25y2.
(2)m-n2
=m2-2·m·n+n2
=m2-mn+n2.
(3)-cd+2
=-cd2
=2-2×·(cd)+(cd)2
=-cd+c2d2.
6.C　7.3 602
8.解:(1)1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52=10 000+1 000+25=11 025.
(2)19.92=(20-0.1)2=202-2×20×0.1+0.12=400-4+0.01=396.01.
能力提升
1.D　解析:A.原式=a2+6a+9,故A不符合题意;B.原式=x2-18xy+81y2,故B不符合题意;C.原式=4a2+12a+9,故C不符合题意;D.原式=x2-2xy+y2,故D符合题意.故选D.
2.A　解析:选项A中的阴影部分的面积可以用(x-1)2=x2-2x+1来解释.故选A.
3.D　解析:∵(2x+■)2=4x2+24xy+■=4x2+2×2x×6y+■,∴被染黑的最后一项应该是(6y)2=36y2.故选D.
4.A　解析:(a-1)2-(a2-1)=a2-2a+1-a2+1=-2a+2=-2(a-1),由条件可知-2(a-1)<0,∴(a-1)2-(a2-1)<0,∴(a-1)25.1　解析:2 0252-4 050×2 024+2 0242=2 0252-2×2 025×2 024+2 0242=(2 025-2 024)2=1.
6.12　解析:∵(x+m)2=x2+2mx+m2,(x+m)2=x2-8x+n,∴2m=-8,m2=n,∴m=-4,∴n=16,∴m+n=12.
7.解:(1)原式=9x2-12xy+4y2-(16y2-9x2)=9x2-12xy+4y2-16y2+9x2=
18x2-12xy-12y2.
(2)原式=(4x2+12xy+9y2)-(16x2-81y2)+(4x2-12xy+9y2)
=4x2+12xy+9y2-16x2+81y2+4x2-12xy+9y2
=-8x2+99y2.
8.解:(1)∵a+b=3,ab=1,(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×1=7.
(2)∵a+b=3,ab=1,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=32-4×1=5.
9.解:(1)(5a+3b)(4a+2b)-4×(2a+b)2-(3a+2b)2
=20a2+22ab+6b2-2(4a2+4ab+b2)-(9a2+12ab+4b2)
=20a2+22ab+6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab-4b2
=3a2+2ab.
∴绿化地带的面积为(3a2+2ab) m2.
(2)当a=5,b=20时,
3a2+2ab
=3×52+2×5×20
=75+200
=275(m2).
∴绿化地带的面积为275 m2.
10.解:(1)由已知可得(a+b)1的展开式中共有2项,
(a+b)2的展开式中共有3项,
(a+b)3的展开式中共有4项,……,
∴(a+b)n的展开式中共有(n+1)项.
(2)(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,…
∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.

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