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第3课时　综合运用提公因式法和公式法分解因式
多次运用公式法分解因式
1.分解因式x4-1得 (　　)
A.(x2+1)(x2-1)
B.(x-1)(x+1)(x2+1)
C.(x+1)2(x-1)2
D.(x-1)(x+1)3
2.分解因式:(y2-1)2-6(y2-1)+9.
综合运用提公因式法和公式法分解因式
3.(2024云南中考)分解因式:a3-9a= (　　)
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
4.把a3-2a2+a分解因式的结果是 (　　)
A.a2(a-2)+a B.a(a2-2a)
C.a(a+1)(a-1) D.a(a-1)2
5.因式分解:2x2+8x+8=　　　　.
6.分解因式:
(1)x2(x-y)+2x(y-x)-(y-x).
(2)25a2(x-y)+4b2(y-x).
1.下列因式分解正确的是 (　　)
A.-x2+y2=(x+y)(x-y)
B.a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
C.x2-2x+4=(x-1)2+3
D.ax2-9=a(x+3)(x-3)
2.把多项式4a2(a-b)+(b-a)分解因式的结果为 (　　)
A.(a-b)(4a2+1)
B.(b-a)(4a2+1)
C.(a-b)(2a+1)(2a-1)
D.(a-b)(4a2-1)
3.若k为任意整数,且993-99能被k整除,则k不可能是 (　　)
A.50 B.100 C.98 D.97
4.已知2m-n=3,那么4m2-n2-6n+7的值为　　　　.
5.(运算能力)阅读材料:
下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
请问:
(1)该同学因式分解的结果是否正确 若不正确,请直接写出因式分解的最后结果.
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(a2-2a)·(a2-2a+2)+1进行因式分解.
【详解答案】
基础达标
1.B
2.解:(y2-1)2-6(y2-1)+9
=(y2-1-3)2
=(y2-4)2
=(y+2)2(y-2)2.
3.A　4.D　5.2(x+2)2
6.解:(1)x2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)
=x2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)
=(x-y)(x2-2x+1)
=(x-y)(x-1)2.
(2)25a2(x-y)+4b2(y-x)
=25a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(25a2-4b2)
=(x-y)(5a+2b)(5a-2b).
能力提升
1.B　解析:A.-x2+y2=(x+y)(y-x),故本选项不符合题意;B.a3+2a2b+ab2=a(a2+2ab+b2)=a(a+b)2,故本选项符合题意;C.x2-2x+4不能进行因式分解,故本选项不符合题意;D.ax2-9不能进行因式分解,故本选项不符合题意.故选B.
2.C　解析:4a2(a-b)+(b-a)=(a-b)·(4a2-1)=(a-b)(2a+1)(2a-1).故选C.
3.D　解析:∵993-99=99×(992-1)=99×(99+1)×(99-1)=99×100×98,∴k可能是99,98或100的因数.故选D.
4.16　解析:∵2m-n=3,∴4m2-n2-6n+7=(2m+n)(2m-n)-6n+7=3(2m+n)-6n+7=6m+3n-6n+7=6m-3n+7=3(2m-n)+7=3×3+7=16.
5.解:(1)该同学因式分解的结果不正确,原式=(x-2)4.
(2)设a2-2a=m,
原式=m(m+2)+1
=m2+2m+1
=(m+1)2
=(a2-2a+1)2
=(a-1)4.17.2　用公式法分解因式
第1课时　用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式
1.(新情境)课堂上,老师在黑板上布置了如框所示的题目,小聪马上发现了其中有一道题目错了,你知道是哪道题目吗 (　　)
用平方差公式分解因式:
(1)a2-b2.
(2)x2-1.
(3)-4x2-9y2.
(4)49m2-25n2.
A.第(1)道题 B.第(2)道题
C.第(3)道题 D.第(4)道题
2.分解因式:4a2-1= (　　)
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
3.将多项式“4m2- ”分解因式,结果为(2m+3)(2m-3),则“ ”是 (　　)
A.3 B.-3 C.9 D.-9
4.(2024海南中考)因式分解:x2-4=　　　　.
5.把下列各式进行因式分解:
(1)9x2-0.01y2.
(2)4a2-b2.
(3)(a-b)2-1.
(4)-9(a+b)2+16(a-b)2.
1.给出下列各式:x2-y2;-x2+y2;(-x)2+(-y)2;-x2-y2;x4-y4.其中能用平方差公式进行因式分解的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列分解因式中错误的是 (　　)
A.a2-25=(a+5)(a-5)
B.1-4b2=(1+2b)(1-2b)
C.81a2-64b2=(9a+8b)(9a-8b)
D.(-2b)2-a2=(-2b+a)(2b+a)
3.把(m+n)2-(m-n)2分解因式,其结果为 (　　)
A.4n2 B.24 C.4mn D.-4mn
4.(2025长沙期末)因式分解(x-1)2-9的结果是 (　　)
A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4)
5.已知x+2y=13,x-2y=3,则多项式x2-4y2的值是 (　　)
A.10 B.16 C.39 D.78
6.已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式,则单项式M可以是 (　　)
A.2ab B.-2ab C.3b2 D.-5b2
7.(2025长沙月考)因式分解:(m+n)2-4m2=　　　　.
8.把下列各式分解因式:
(1)-16x2+y2.
(2)4(x+y)2-9(x-y)2.
(3)(3x-2)2-(2x+7)2.
9.先分解因式,再求值:(4a+b)2-9b2,其中a+b=2,b-2a=3.
10.如图,在一块边长为a的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为bb<的小正方形,做一个无盖长方体,长方体所用的纸板面积(图中阴影部分)是多少 当a=22.4,b=7.6时,这个面积的值又是多少 请利用分解因式的方法计算.
11.(运算能力)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么我们称这个正整数为“和谐数”,如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此,4,12,20这三个数都是“和谐数”.
(1)28和2 025这两个数是“和谐数”吗 为什么
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k为非负整数),由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗 为什么
【详解答案】
基础达标
1.C　2.A　3.C　4.(x+2)(x-2)
5.解:(1)9x2-0.01y2
=(3x)2-(0.1y)2
=(3x+0.1y)(3x-0.1y).
(2)4a2-b2
=(2a)2-b2
=2a+b2a-b.
(3)(a-b)2-1
=[(a-b)+1][(a-b)-1]
=(a-b+1)(a-b-1).
(4)-9(a+b)2+16(a-b)2
=16(a-b)2-9(a+b)2
=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2
=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]
=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)
=(7a-b)(a-7b).
能力提升
1.C　解析:x2-y2能用平方差公式进行因式分解;-x2+y2=y2-x2,x4-y4=(x2)2-(y2)2,它们变形后都是平方差的形式,能用平方差公式进行因式分解;-x2-y2=-(x2+y2),(-x)2+(-y)2=x2+y2,它们变形后都是平方和的形式,不能用平方差公式进行因式分解.综上所述,能用平方差公式进行因式分解的有3个.故选C.
2.D　解析:D选项应为(-2b)2-a2=(2b+a)·(2b-a),故本选项错误.故选D.
3.C　解析:(m+n)2-(m-n)2=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]=2m·2n=4mn.故选C.
4.D　解析:原式=[(x-1)+3][(x-1)-3]=(x+2)(x-4).故选D.
5.C　解析:x2-4y2=(x+2y)(x-2y),由条件可知原式=13×3=39.故选C.
6.D　解析:多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式,则单项式M可以是-5b2.故选D.
7.(3m+n)(n-m)　解析:(m+n)2-4m2=(m+n+2m)(m+n-2m)=(3m+n)(n-m).
8.解:(1)原式=y2-16x2=(y+4x)(y-4x).
(2)原式=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]=(5x-y)(-x+5y).
(3)原式=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]=(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9).
9.解:(4a+b)2-9b2
=(4a+b+3b)(4a+b-3b)
=(4a+4b)(4a-2b)
=8(a+b)(2a-b),
当a+b=2,b-2a=3时,
原式=8(a+b)(2a-b)=8×2×(-3)=-48.
10.解:长方体所用的纸板面积是a2-4b2.
当a=22.4,b=7.6时,
原式=(a+2b)(a-2b)
=(22.4+15.2)×(22.4-15.2)
=37.6×7.2
=270.72.
11.解:(1)∵28=82-62,
∴28是“和谐数”,
∵2 025不能表示成两个连续偶数的平方差,
∴2 025不是“和谐数”.
(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1),
∵k为非负整数,
∴2k+1一定为正整数,
∴4(2k+1)一定能被4整除,
即由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.第2课时　用完全平方公式分解因式
完全平方式
1.下列式子为完全平方式的是 (　　)
A.a2+b2 B.a2+2a
C.a2-2ab-b2 D.a2+4a+4
2.(易错题)如果x2+kx+9是一个完全平方式,那么k的值是 (　　)
A.3 B.±3 C.6 D.±6
3.若x2-6x+m是一个完全平方式,则m的值是　　　　.
用完全平方公式分解因式
4.对多项式x2-2xy+y2进行因式分解,正确的是 (　　)
A.x2-2xy+y2=x(x-2y)+y2
B.x2-2xy+y2=(x+y)2
C.x2-2xy+y2=(x-2y)2
D.x2-2xy+y2=(x-y)2
5.小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2=(x+2y)2”时,墨迹将“x2+4y2”中的一项染黑了,则墨迹覆盖的这一项是 (　　)
A.+4xy B.+2xy C.-4xy D.-2xy
6.分解因式:49n2+28n+4=　　　　.
7.把下列各式分解因式:
(1)16x2y2-40xy+25.
(2)-x2+2xy-y2.
(3)-m2-m-1.
(4)4(x+y)2+25-20(x+y).
(5)(a+b)2-4(a+b-1).
1.(易错题)下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的有 (　　)
①x2-8x+16;②9x2-3x+1;③4x2+4x-1;④25x2-20xy+16y2;⑤x2+1-x.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若x2+2(m-4)x+16是一个完全平方式,则m的值是 (　　)
A.4 B.8 C.8或0 D.-4
3.如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是 (　　)
A.2x B.-2x C.x4 D.-x4
4.若4x2+kx+25=(2x+a)2,则k+a的值是(　　)
A.25或-25 B.-15
C.15 D.20或-20
5.已知(m+2n)2+2m+4n+1=0,则(m+2n)2 025的值为 (　　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
6.已知4a=7-b,则代数式16a2+8ab+b2的值为　　　　.
7.若(x2+y2)4-18(x2+y2)2+81=0,则x2+y2=　　　　.
8.把下列各式分解因式:
(1)+(x+1)(x+2).
(2)4(a+b)2-12b(a+b)+9b2.
(3)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.
9.利用因式分解计算38.92-2×38.9×48.9+48.92的值.
10.(2025上海长宁区期中)若|a+4|与b2+4b+4互为相反数,把多项式(x+a)(x+b)+1分解因式.
11.(运算能力)阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,
∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,
∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值.
(2)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求a+b+c的值.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D　3.36　4.D　5.A　6.(7n+2)2
7.解:(1)原式=(4xy)2-2·4xy·5+52=(4xy-5)2.
(2)原式=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.
(3)原式=-m2+m+1=-m+12.
(4)原式=[2(x+y)]2-2·2(x+y)·5+52=
[2(x+y)-5]2=(2x+2y-5)2.
(5)原式=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2.
能力提升
1.B　解析:①是完全平方式;②不是完全平方式;③不是完全平方式;④不是完全平方式;⑤是完全平方式.∴符合题意的是①⑤,共2个.故选B.
2.C　解析:∵x2+2(m-4)x+16是一个完全平方式,∴x2+2(m-4)x+16=(x±4)2,∴x2+2(m-4)x+16=x2±8x+16,∴2(m-4)=±8,∴m-4=±4,解得m=8或m=0.故选C.
3.D　解析:A.x2+2x+1=(x+1)2,不符合题意;B.x2-2x+1=(x-1)2,不符合题意;C.x4+x2+1=,不符合题意;D.x2+1加上-x4,无法构成完全平方式,符合题意.故选D.
4.A　解析:4x2+kx+25=(2x+a)2,当a=5时,k=20,当a=-5时,k=-20,故k+a的值是25或-25.故选A.
5.A　解析:原方程整理得,(m+2n)2+2(m+2n)+1=0,∴(m+2n+1)2=0,∴m+2n=-1,∴(m+2n)2 025=(-1)2 025=-1.故选A.
6.49　解析:由条件可知4a+b=7,∴16a2+8ab+b2=(4a+b)2=72=49.
7.3　解析:∵(x2+y2)4-18(x2+y2)2+81=0,∴[(x2+y2)2-9]2=0.∴(x2+y2)2-9=0,即(x2+y2)2=9.∵x2+y2≥0,∴x2+y2=3.
8.解:(1)+(x+1)(x+2)
=x2+3x+2+
=x2+3x+
=.
(2)4(a+b)2-12b(a+b)+9b2
=[2(a+b)-3b]2
=(2a-b)2.
(3)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2
=(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2
=[(x+y)-(x-y)]2
=4y2.
9.解:38.92-2×38.9×48.9+48.92
=(38.9-48.9)2
=100.
10.解:由条件可知|a+4|+b2+4b+4=|a+4|+(b+2)2=0,
∴a+4=0,b+2=0,
解得a=-4,b=-2.
∴(x+a)(x+b)+1
=(x-4)(x-2)+1
=x2-6x+8+1
=x2-6x+9
=(x-3)2.
11.解:(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0,
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0,
∴(x+y)2+(y+1)2=0,
∴x+y=0,y+1=0,
∴y=-1,x=1,
∴2x+y=2×1+(-1)=1.
(2)∵a-b=4,
∴a=b+4,
∴将a=b+4代入ab+c2-6c+13=0,得
b2+4b+c2-6c+13=0,
∴(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=0,
∴(b+2)2+(c-3)2=0,
∴b+2=0,c-3=0,
∴b=-2,c=3,
∴a=b+4=-2+4=2,
∴a+b+c=2-2+3=3.

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