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人教A版高一暑假作业2：函数及其基本性质
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·海南省·期末考试)函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.(2025·广东省·期末考试)函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.(2025·北京市·历年真题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是．
A. B. C. D.
4.(2023·浙江省·历年真题)若函数的值域为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.(2025·海南省·月考试卷)设，则，，的大小顺序是 ．
A. B. C. D.
6.(2024·山东省·同步练习)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数单位：人与某产品销售单价单位：元满足关系式，其中，为常数，当该产品销售单价为元时，在线购买人数为，假设该产品成本单价为元，且每人限购件，则下列说法错误的是( )
A. 实数的值为 B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多
C. 当的值为时利润最大 D. 利润最大值为
7.(2024·湖北省黄冈市·其他类型)对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.(2025·江苏省盐城市·期末考试)已知函数在其定义域内为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·江西省南昌市·期末考试)已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是( )
A. 当，都是奇数时，幂函数是奇函数
B. 当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数
C. 当是奇数，是偶数时，幂函数是偶函数
D. 当时，幂函数在上是减函数
10.(2024·浙江省·假期作业)下列说法正确的是( )
A. 已知集合，若，则
B. 若函数是偶函数，则实数的值为
C. 已知函数的定义域为，则的定义域为
D. 已知单调函数，对任意的都有，则
11.(2025·浙江省·期末考试)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆的圆心在原点，若函数的图像将圆的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆的一个“太极函数”，则( )
A. 对于圆，其“太极函数”有个
B. 函数是圆的一个“太极函数”
C. 函数不是圆的“太极函数”
D. 函数是圆的一个“太极函数”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·河南省·单元测试)设函数，则 ．
13.(2025·广西壮族自治区玉林市·期末考试)若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
14.(2024·上海市市辖区·月考试卷)已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2024·江苏省南通市·期中考试)本小题分
已知，求的解析式；
已知是一次函数，且满足求的解析式．
16.(2025·云南省·期中考试)本小题分
已知一次函数．
求解不等式：；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
17.(2025·福建省莆田市·期末考试)本小题分
学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大并求出最大利润．
18.(2025·湖南省长沙市·月考试卷)本小题分
已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
求函数的解析式；
若，求的取值范围；
若实数，，满足，求的最小值．
19.(2025·湖南省·单元测试)本小题分
已知函数对任意实数，恒有，当时，，且．
求的值并判断的奇偶性
判断函数单调性，求在区间上的最大值
若对所有的恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
【解析】解：由题意可得
解得，
故函数的定义域为．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：设函数，其定义域为，
，
是奇函数，排除，，
再由时，，排除，可得选项A符合题意．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：因为函数是增函数，
所以要函数在上单调递增，则，解得，
因此的取值范围是．
4.【答案】
【解析】解：当时，，即值域为，满足题意；
当时，设，为使函数的值域为
只需取尽大于等于零的全体实数，即只需函数与轴有交点即可，
因此，解得，
综上，，
故选C．
5.【答案】
【解析】解：因为，，；
且，函数在上是单调增函数，
所以，所以；
综上知，．故选：．
6.【答案】
【解析】解：由，，
且当时，，
得，解得，
故；
依题意可得利润
．
当时，取得最大值为元，
故销售单价元时，销售利润最大，最大利润为元．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，若正实数与为函数的一对“类指数”，
则，变形可得，
则，
若的最小值为，则，解可得，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，函数的定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
即，化简得，则；
所以，又，则，解得，则，
因为，
所以
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：幂函数互质，
故，都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确；
当是偶数，是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确；
当是奇数，是偶数时，幂函数定义域为，一定不是偶函数，
如，它的定义域为，不是偶函数，故C错误．
当 时，幂函数在上是增函数，故D错误，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：选项，已知集合，，
则或者，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；
当时，时由以上分析知不成立，
当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；
选项，函数是偶函数，根据偶函数的定义得到，
代入函数表达式得到，
化简得到，故B正确；
选项，函数的定义域为，由，
得函数的定义域为，故C正确；
选项，设，，且，则，，
是单调函数，，
则，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：圆，其“太极函数”不止一个，故选项A错误，
对于选项B：由于函数，当时，；当时，，
故为奇函数，
所以根据对称性可知函数为圆的一个“太极函数”，故选项B正确，
对于选项C：函数的定义域为，，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项C错误，
对于选项D：函数的定义域为，
，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项D正确，
故选BD．
12.【答案】
【解析】解：函数，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为，
令，则，
又因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，相当于向右平移个单位长度，再将函数值放大倍得到的．相当于向上平移个单位长度．
若，两函数的图象如图所示，可知两函数在上有且只有个交点，符合题意；
若，两函数的大致图象如图所示．为使两函数在上有且只有个交点，只需，得或舍去．
综上，．
故答案为：．
15.【答案】解：方法一：换元法设，则，
，即．
所求函数为．
方法二：配凑法
所求函数为．
待定系数法由题意，设函数为
，
，
即，
由恒等式性质，得
，．
所求函数解析式为．
16.【答案】解：不等式，即，
解得或，
所以不等式的解集为；
要使在上恒成立，
只需即可，
令，，
由函数的对称轴为，图象开口向上，
则函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
则实数的取值范围为．
17.【答案】解：因为当生产该教学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得．
当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利祠为万元，
所以，
解得．
当时，
当时，．
所以
当时，单调递增，所以
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合知，当时，取得最大值为万元．
18.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增，
，且 为正偶数，
，，故．
，，，
即，求得．
故的取值范围为．
若实数，满足，，
即，
则
，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为．
19.【答案】解：令，则，所以，
为奇函数，证明如下：
令，则，
所以：对任意恒成立，所以函数为奇函数
在上是减函数，证明如下：
任取且，则，
，所以，
所以在上为减函数，当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为
由知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即
解得：或，
故的取值范围为．
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