资源简介

第十七章　因式分解 评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025北京大兴区期末)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (　　)
A.a2-4a+4=a(a-4)+4
B.5a2b-ab=ab(5a-1)
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.a2-2a=a2
2.多项式4xmyn-1+8x3myn中各项的公因式是 (　　)
A.xmyn B.xmyn-1 C.4xmyn D.4xmyn-1
3.下列多项式能用平方差公式分解因式的是 (　　)
A.4x2+y2 B.-4x2-y2
C.-4x2+y2 D.-4x+y2
4.将多项式4x2+1加上一项,使它能化成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是 (　　)
A.4x B.-4x C.4x4 D.2x
5.把(x-a)3-(a-x)2分解因式的结果为 (　　)
A.(x-a)2(x-a+1) B.(x-a)2(x-a-1)
C.(x-a)2(x+a) D.(a-x)2(x+a-1)
6.马小虎同学做了一道因式分解的习题,做完之后,不小心让墨水把等式:a4-■=(a2+4)(a+2)(a-▲)中的两个数字盖住了,那么式子中的■、▲处对应的两个数字分别是 (　　)
A.64,8 B.24,3 C.16,2 D.8,1
7.(-8)2+(-8)5能被下列数整除的是 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.9
8.若a2+ab=16+m,b2+ab=9-m,则a+b的值为 (　　)
A.±5 B.5 C.±4 D.4
9.设n为某一自然数,代入代数式n3-n计算其值时,四个学生算出了下列四个结果,其中正确的结果是 (　　)
A.5 814 B.5 841 C.8 415 D.8 451
10.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:学,爱,我,趣,味,数,现将3a(x2-1)-3b(x2-1)分解因式,结果呈现的密码信息可能是 (　　)
A.我爱学 B.爱数学 C.趣味数学 D.我爱数学
11.若的结果为整数,则整数n的值不可能是 (　　)
A.44 B.55 C.66 D.77
12.若324-1可以被20和30之间的某两个数整除,则这两个数是 (　　)
A.24,26 B.25,27 C.26,28 D.27,29
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若多项式x2-2(m-3)x+49能用完全平方公式进行因式分解,则m的值应为　　　　　.
14.计算(-5)2 025+(-5)2 026的结果是　　　　.
15.若xy=-2 025,则=　　　　　.
16.已知a2+a-1=0,则2a3+4a2+2 025的值是　　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2025淄博沂源县期中)因式分解:
(1)(m+n)2-n2.
(2)x3y2+2x2y+x.
(3)x(a-b)+y(b-a).
(4)81a4-72a2b2+16b4.
18.(8分)利用因式分解进行简便计算:
(1)-2×.
(2)6212-1482-769×373.
19.(6分)请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行因式分解:4a2,(x+y)2,x+y,9b2.
20.(8分)甲、乙两位同学在对mx2+ax+b分解因式时,甲仅看错了a,分解结果为2(x-1)(x-9);乙仅看错了b,分解结果为2(x-2)·(x-4),求m,a,b的正确值,并将mx2+ax+b分解因式.
21.(8分)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【验证】(2+1)2-(2-1)2=　　　　　.
【证明】设两个正整数为m,n,请验证【发现】中的结论正确.
【拓展】已知(x+y)2=100,xy=24,求(x-y)2的值.
22.(10分)阅读理解:用“十字相乘法”把2x2-x-3分解因式的方法.
(1)二次项系数2=1×2;
(2)常数项-3=-1×3=1×(-3),验算“交叉相乘之和”:
①1×3+2×(-1)=1,②1×(-1)+2×3=5,③1×(-3)+2×1=-1,④1×1+2×(-3)=-5;
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项的系数-1.
即2x2-x-3=(x+1)(2x-3).
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
仿照上面的方法,将下列各式分解因式:
(1)3x2+5x-12.
(2)2x2-5x-3.
(3)2x2+7x+3.
(4)3a2+5a-8.
23.(10分)阅读材料:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它进行分组再分解因式.
解:原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b).
这种分解因式的方法叫作分组分解法.
请利用此方法解答:
已知a,b,c是△ABC三边的长,且满足a2+c2-2b(a-b+c)=0,试判断△ABC的形状,并说明理由.
24.(12分)【任务一】下面是慧慧同学的数学日记,其中一部分不小心被墨迹所覆盖,请你把覆盖部分补充完整.
10月20日　星期四　晴
我发现:借助拼图可以解决整式乘法及因式分解的相关问题.
如图1,我有A,B,C三种类型的卡片各若干张,已知A,C是边长分别为a,b的正方形卡片,B是长为a,宽为b的长方形卡片.
我利用A,B,C三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形,该长方形的面积可以用多项式表示为,还可以用整式乘积的形式表示为,利用上述面积的不同表达方式可以得到等式.
图1　 图2
【任务二】利用【任务一】中A,B,C三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形.
(1)根据【任务一】的方法,可以将2a2+5ab+2b2进行因式分解为　　　　.
(2)若每张B型卡片的面积为10 cm2,2张A型卡片和2张C型卡片的面积和为58 cm2,求所拼成的大长方形的周长.
图3
【详解答案】
1.B　2.D　3.C　4.D　5.B
6.C　解析:由a4-■=(a2+4)(a+2)(a-▲)可得到▲=2,则(a2+4)(a+2)(a-2)=(a2+4)(a2-4)=a4-16.故选C.
7.C　解析:原式=(-8)2+(-8)2×(-8)3=(-8)2×[1+(-8)3]=64×(-511)=64×(-73)×7,则原式能被7整除.故选C.
8.A　解析:∵a2+ab=16+m,b2+ab=9-m,∴(a2+ab)+(b2+ab)=(16+m)+(9-m),∴(a+b)2=25,∴a+b=±5.故选A.
9.A　解析:∵n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1),∴n3-n必为三个连续自然数的积,∵三个连续自然数中至少有一个为偶数,∴n3-n必为一个偶数,只有A选项是一个偶数,且5 814=17×18×19,符合题意.故选A.
10.D　解析:原式=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)·(x-1)(a-b),∵各因式对应的字分别为:我,数,学,爱,∴呈现的密码信息可能是:我爱数学.故选D.
11.D　解析:原式==
,A.当n=44时,44=22×11,是11×23×3×53的因式,可使结果为整数,故选项A不符合题意;B.当n=55时,55=11×5,是11×23×3×53的因式,可使结果为整数,故选项B不符合题意;C.当n=66时,66=2×3×11,是11×23×3×53的因式,可使结果为整数,故选项C不符合题意;D.当n=77时,77=7×11,不是11×23×3×53的因式,不可使结果为整数,故选项D符合题意.故选D.
12.C　解析:∵324-1=(312-1)(312+1)=(36-1)(36+1)(312+1)=(33-1)(33+1)×(36+1)(312+1)=26×28×(36+1)(312+1),则324-1可以被26与28整除.故选C.
13.-4或10
14.4×52 025　解析:(-5)2 025+(-5)2 026=
(-5)2 025×(1-5)=4×52 025.
15.2 025　解析:∵xy=-2 025,∴==·=-xy=2 025.
16.2 027　解析:∵a2+a-1=0,∴a2=1-a,a2+a=1,∴2a3+4a2+2 025=2a·a2+4(1-a)+2 025=2a(1-a)+4-4a+2 025=2a-2a2-4a+2 029=-2a2-2a+2 029=-2(a2+a)+2 029=-2+2 029=2 027.
17.解:(1)原式=[(m+n)+n][(m+n)-n]
=m(m+2n).
(2)原式=x(x2y2+2xy+1)
=x(xy+1)2.
(3)原式=x(a-b)-y(a-b)
=(a-b)(x-y).
(4)原式=(9a2-4b2)2
=(3a+2b)2(3a-2b)2.
18.解:(1)原式==52=25.
(2)原式=(621+148)×(621-148)-769×373=769×473-769×373=769×(473-373)=769×100=76 900.
19.解:4a2-(x+y)2=(2a+x+y)(2a-x-y).(答案不唯一)
20.解:∵2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,
∴m=2,a=-12,b=18,
∴mx2+ax+b=2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
21.解:【验证】8
【证明】∵(m+n)2-(m-n)2
=[(m+n)+(m-n)]·[(m+n)-(m-n)]
=2m×2n
=4mn,
又∵m,n是正整数,
∴(m+n)2-(m-n)2是4的倍数,
即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【拓展】根据【证明】得
(x+y)2-(x-y)2=4xy,
又∵(x+y)2=100,xy=24,
∴100-(x-y)2=4×24,
∴(x-y)2=100-4×24=4.
22.解:(1)原式=(x+3)(3x-4).
(2)原式=(2x+1)(x-3).
(3)原式=(2x+1)(x+3).
(4)原式=(3a+8)(a-1).
23.解:△ABC的形状是等边三角形.理由如下:
a2+c2-2b(a-b+c)=0,
a2+c2-2ba+2b2-2bc=0,
(a2-2ba+b2)+(c2+b2-2bc)=0,
(a-b)2+(b-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,
∴a=b=c,
∴△ABC的形状是等边三角形.
24.解:【任务一】三处覆盖部分依次为3ab+2a2+b2,(2a+b)(a+b),3ab+2a2+b2=(2a+b)(a+b).
【任务二】(1)(2a+b)(a+2b)
(2)根据题意,可得ab=10,2a2+2b2=58,∴a2+b2=29.∴a2+2ab+b2=(a+b)2=29+2×10=49.∵a>0,b>0,∴a+b=7,∴所拼成的大长方形的周长为(a+2b+2a+b)×2=6(a+b)=6×7=42(cm).

展开更多......

收起↑