资源简介

第十三章　三角形 评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025唐山丰南区期中)如图,三角形的个数是 (　　)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
2.下列四个图形中,线段AD是△ABC的高的是 (　　)
3.下列说法正确的是 (　　)
①等腰三角形是等边三角形;②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③等腰三角形至少有两边相等;④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则 (　　)
A.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
C.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形
5.下列各组数可能是一个三角形的边长的是 (　　)
A.4,4,9 B.2,6,8
C.10,4,5 D.9,9,1
6.(2025石家庄平山县月考)如图,在△ABC中,AD是中线,点P在BD上.若BC=12,BP=4,则DP的长为 (　　)
A.6 B.4 C.2 D.1
7.下列图形中一定能说明∠1>∠2的是 (　　)
8.(2025北京海淀区期中)如图,BD是△ABC的高,DE是△BCD的角平分线,则∠CDE的度数为
(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.如图,将一副三角尺叠在一起,则图中∠α的度数是 (　　)
A.50° B.60° C.75° D.85°
10.△ABC的三内角之比是1∶2∶3,则△ABC的形状是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
11.某零件的形状如图所示,按规定∠A,∠B,∠D应分别等于90°,20°和30°时该零件才合格.王师傅量得∠BCD=150°,关于结论Ⅰ、Ⅱ,下列判断正确的是 (　　)
结论Ⅰ:该零件不合格;
结论Ⅱ:已知∠A=90°,当∠B与∠D的度数分别减少2°时,∠BCD的度数会减少2°.
A.只有结论Ⅰ正确
B.只有结论Ⅱ正确
C.结论Ⅰ、Ⅱ都正确
D.结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
12.如图,已知P是△ABC内一点,∠BPC=120°,∠A=50°,BD是∠ABP的平分线,CE是∠ACP的平分线,BD与CE交于点F,则∠BFC等于 (　　)
A.100° B.90°
C.85° D.95°
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.周末小高同学全家去饭店吃饭,他发现饭店房间里放着一个儿童座椅(如图),他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形,从而保证儿童坐上去会很安全,这样的设计利用的数学原理是　　　　　　　　.
14.(2024西宁中考)若长度分别为3,6,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是　　　　.(写出一个即可)
15.如图,△ABC的高CE,BD相交于点H,若∠A=60°,则∠DHE=　　　　,∠HBE=　　　　.(注:四边形的内角和等于360°)
16.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,CF是∠ACB的平分线.若CE=9 cm,∠ACB=60°,则BC=　　　　cm,∠ACF=　　　　°.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)如图,BD是长方形ABCD的一条对角线,CE⊥BD于点E.
(1)写出图中所有的直角三角形.
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形.
18.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,DF∥AB,EF交BD于点O.试问:DO是否是△DEF的角平分线 如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
19.(8分)如图,已知AD是△ABC的边BC上的中线.
(1)作出△ABD的边BD上的高.
(2)若△ABC的面积为10,求△ADC的面积.
(3)若△ABD的面积为6,且边BD上的高为3,求BC的长.
20.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且a,b满足|2a-b+2|+(a+b-8)2=0.
(1)求c的取值范围.
(2)在(1)的条件下,若2x-c=1,求x的取值范围.
21.(9分)(2025廊坊香河县月考)如图,在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角.
(1)根据图中数据,求∠A的度数.
(2)当CE平分∠ACD时,试判断AB与CE平行吗 并说明理由.
22.(10分)如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,∠ABC=90°,∠ABD+∠ADB=∠ACB,∠ADC=∠BCD.
(1)求证:AD⊥AC.
(2)探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系,并说明理由.
23.(10分)小明在学习过程中,对一道数学题做如下探究:
(1)【习题回顾】已知:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF.
(2)【变式思考】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数.
(3)【探究延伸】如图3,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
24.(12分)如图1,已知线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,则我们把形如这样的图形称为“8
字形”.
(1)求证:∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)如图2,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.
①以线段AC为边的“8字形”有　　　　个,以O为交点的“8字形”有　　　　个;
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数;
③当∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB时,试探究∠P与∠B,∠C之间存在的数量关系,并说明理由.
【详解答案】
1.B　2.D　3.B　4.D　5.D
6.C　解析:∵AD是△ABC的中线,且BC=12,∴BD=BC=6.又∵BP=4,∴DP=BD-BP=6-4=2.故选C.
7.C　解析:A.∠1=∠2,故错误;B.∠1和∠2的关系不能确定,故错误;C.∵∠1是三角形中不与∠2相邻的一个外角,∴∠1>∠2.故正确;D.∠1和∠2的关系不能确定,故错误.故选C.
8.B　解析:∵BD是△ABC的高,∴∠BDC=90°,∵DE平分∠BDC,∴∠CDE=∠BDC=45°.故选B.
9.C　解析:如图,由题意,得∠ABC=∠BCD=90°.∴∠ABC+∠BCD=180°.∴AB∥CD.∴∠AED=∠A=30°.∴∠α=∠D+∠AED=75°.故选C.
10.B　解析:在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴∠C=3x=90°,∴此三角形是直角三角形.故选B.
11.A　解析:如图,延长DC交AB于点E,∵∠BCD=150°,∠B=20°,∴∠DEB=150°-20°=130°,∴∠A=∠DEB-
∠D=130°-30°=100°≠90°,∴该零件不合格,结论Ⅰ正确;∵∠BCD=∠DEB+∠B=∠A+∠D+∠B=90°+∠D+∠B,当∠B与∠D的度数分别减少2°时,∠BCD=90°+∠D-2°+∠B-2°=(90°+∠D+∠B)-4°,即∠BCD的度数会减少4°,结论Ⅱ不正确.故选A.
12.C　解析:∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.∵∠BPC=120°,∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=60°.∵∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP=∠ACB-∠PCB,∴∠ABP+∠ACP=130°-60°=70°.∵BD是∠ABP的平分线,CE是∠ACP的平分线,∴∠FBP=∠ABP,∠FCP=∠ACP.∴∠FBP+∠FCP=(∠ABP+∠ACP)=×70°=35°.
∴∠FBC+∠FCB=∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP=60°+35°=95°.∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-95°=85°.故选C.
13.三角形的稳定性
14.4(答案不唯一)
15.120°　30°　解析:∵△ABC的高为CE,BD,∴CE⊥AB,BD⊥AC.∴∠AEH=∠ADH=90°.∵在四边形AEHD中,∠A+∠AEH+∠ADH+∠DHE=360°,∴60°+90°+90°+∠DHE=360°.解得∠DHE=120°.∵在△ABD中,∠A=60°,
∠ADB=90°,∴∠HBE=∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.
16.12　30　解析:∵AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,∴CD=BD=BC,DE=BD.∴DE=BC.∴CE=DE+CD =BC.∵CE=9 cm,∴BC=12 cm.∵CF平分∠ACB,∠ACB=60°,∴∠ACF=∠ACB=30°.
17.解:∵四边形ABCD是长方形且CE⊥BD于点E,
∴∠BAD,∠BCD,∠BEC,∠CED是直角.
(1)直角三角形有△ABD,△BCD,△BCE,△CDE.
(2)锐角三角形为△ABE,
钝角三角形为△ADE.
18.解:DO是△DEF的角平分线,证明如下:
∵DE∥BC,DF∥AB,
∴∠FDB=∠DBE,∠EDB=∠FBD,
∵BD平分∠ABC,∴∠DBA=∠DBF,
∴∠FDB=∠EDB,
∴DO是△DEF的角平分线.
19.解:(1)如图,AE即为所求作.
(2)∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BD=CD.
∵△ABC的面积为10,
∴△ADC的面积为×10=5.
(3)∵△ABD的面积为6,BD=CD,
∴△ABC的面积为2S△ABD=12.
∵边BD上的高为3,即边BC上的高为3,
∴BC=12×2÷3=8.
20.解:(1)∵|2a-b+2|+(a+b-8)2=0,
∴解得
∵6-2=4,6+2=8,
∴4∴c的取值范围为4(2)∵2x-c=1,
∴c=2x-1,
∴4<2x-1<8,
∴∴x的取值范围为21.解:(1)∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴2x+2x+x=180,解得x=36,
∴∠A=2x°=72°.
(2)AB∥CE,理由如下:
由题图可知∠A=∠B,
∵∠ACD是△ABC的外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=2∠B,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACD=2∠DCE,
∴∠DCE=∠B,
∴AB∥CE.
22.解:(1)证明:∵在△ABC中,∠ABC=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,
∠ABD+∠ADB=∠ACB,
∴∠ACB+∠BAD=180°,即∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°.
∴∠CAD=180°-(∠ACB+∠BAC)=180°-90°=90°.
∴AD⊥AC.
(2)∠BAC=2∠ACD.理由如下:
∵∠ABC=90°,
∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(∠BCD-∠ACD).
∵∠DAC=90°,∴∠ADC=90°-∠ACD.
∵∠ADC=∠BCD,
∴∠BCD=90°-∠ACD.
∴∠BAC=90°-(90°-∠ACD-∠ACD)=2∠ACD.
23.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CD是高,
∴∠B+∠CAB=90°,
∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠B=∠ACD,
∵AE是角平分线,
∴∠CAF=∠DAF,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD,
∠CEF=∠DAF+∠B,
∴∠CFE=∠CEF.
(2)∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠BAG=∠B+∠ACB=40°+90°=130°,
∵AF为∠BAG的平分线,
∴∠GAF=∠DAF=×130°=65°,
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADF=∠CDB=90°,
∴∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°,
又∵∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,
∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°.
(3)∵C,A,G三点在同一条直线上,AE,AN为角平分线,
∴∠EAN=90°,
又∵∠GAN=∠CAM,
∴∠M+∠CEF=90°,
∵∠CEF=∠EAB+∠B,
∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.
24.解:(1)证明:∵∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①3　4
②以M为交点的“8字形”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点的“8字形”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP.
∴2∠P=∠B+∠C.
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=(∠B+∠C)=×(100°+120°)=110°.
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下:
∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB,
以M为交点的“8字形”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点的“8字形”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=(∠CDB-∠CAB),
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=(∠CDB-∠CAB).
∴2(∠C-∠P)=∠P-∠B.
∴3∠P=∠B+2∠C.

展开更多......

收起↑