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7.4.2　二项式系数的性质及应用
第1课时　二项式系数的性质(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
理解二项式系数的性质并灵活运用;掌握赋值法并会灵活应用.
1.二项式系数的特点
此表的规律如下:
(1)每一行中的二项式系数都是“　　　”的.
(2)每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的　　.
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐　　　　.
(4)第1行为1=20,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
2.二项式系数的性质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数,,…,有如下性质:
(1)=　　　　;
(2)+=　　　　;
(3)当r<时,<　　　　;当r>时,　　　　<;
(4)++…+=　　　　.
　　微点助解
(1)从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的,因此=,故二项式系数有对称性.
(2)二项式系数最大与n的奇偶有关系,
①n为偶数,展开式中有n+1项,最中间一项的二项式系数最大;
②n为奇数,展开式中的n+1项是偶数,最中间两项的二项式系数最大.
[基点训练]
1.(1-2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则n= (　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn(n∈N*),若a1=a5,则n的值为 (　　)
A.4 B.6
C.7 D.8
3.(1-x)20的展开式中,二项式系数最大的项是第 (　　)
A.9项 B.10项
C.11项 D.12项
4.若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1+a0= (　　)
A.-1 B.16
C.15 D.1
题型(一)　二项式系数的和
[例1]　的展开式中所有二项式系数的和是　　　　　;展开式中所有偶数项的二项式系数的和是　　　　　.(用数字作答)
听课记录:
[思维建模]
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
　　[针对训练]
1.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数的和为 (　　)
A.512 B.210
C.211 D.212
2.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-160,则实数m=　　　　.
题型(二)　利用赋值法求解系数和问题
[例2]　已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
(1)a0+a1+a2+…+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件不变,求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值.
[思维建模]
二项展开式中系数和的求法
(1)①二项式系数和为+++…+=2n,其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,都等于2n-1.
②求二项展开式各项系数之和,往往采用赋值法,对变量赋值计算可得.
(2)一般地,对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,各项系数和为f(1),奇次项系数和为[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为[f(1)+f(-1)],a0=f(0).
　　[针对训练]
3.设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值;
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值;
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
题型(三)　二项式系数的增减性与最值
[例3]　在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
听课记录:
　[变式拓展]
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
[思维建模] 二项式系数的最大项的求法
　　求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
　　[针对训练]
4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大,则展开式中的常数项为 (　　)
A.6 B.-6
C.- D.
5.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
第1课时　二项式系数的性质
课前环节
1.(1)对称　(2)和　(3)增大　2.(1)　(2)　(3)　　(4)2n
[基点训练]
1.选B　因为(1-2x)n展开式中,二项式系数最大的项只有第6项,根据二项式系数的性质,展开式中中间项的二项式系数最大,所以n+1=11,解得n=10.
2.选B　由题知,a1=,a5=,因为a1=a5,所以=,所以n=1+5=6.
3.选C　由二项式定理知其展开式有21项,根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项.
4.选B　因为(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=(-2)4=16.
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解析:的展开式中所有二项式系数的和是28=256,展开式中所有偶数项的二项式系数的和是27=128.
答案:256　128
[针对训练]
1.选A　∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,解得n=10,各二项式系数之和为210,∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等,∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512.
2.解析:由题意得,2n=64,解得n=6,而(x-my)6的通项为x6-k(-my)k,0≤k≤6,k∈N,所以x3y3的系数为(-m)3=-160,解得m=2.
答案:2
[题型(二)]
[例2]　解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)令x=-1,得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项=(-1)r25-rx5-r知a1,a3,a5为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5,得2(a1+a3+a5)=1-35,所以a1+a3+a5==-121.
[变式拓展]
解:因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数,得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
[针对训练]
3.解:(1)在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中,令x=0,得1=a0,∴a0=1.
(2)令x=1,得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024,∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)分别令x=-1,x=1,得
②-①,得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
[题型(三)]
[例3]　解:由二项式通项,得Tr+1=()8-r=(-1)r2r.
(1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,故T5=24=1 120x-6.
(2)设第r+1项系数的绝对值最大,
则即
整理得所以r=5或r=6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
[变式拓展]
解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=26x-11=1 792x-11,系数最小的项为T6=(-1)525=-1 792.
[针对训练]
4.选C　由题意可得=,所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=·=.令=0,解得r=3,故展开式中的常数项为×=-.
5.解析:由题知,展开式通项为Tr+1=xr,0≤r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大,
则
解得即≤r≤.
又r∈Z,故r=8.
所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5.
答案:5
5 / 5(共55张PPT)
7.4.2
二项式系数的性质及应用
(强基课——梯度进阶式教学)
二项式系数的性质
(强基课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
理解二项式系数的性质并灵活运用;掌握赋值法并会灵活应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.二项式系数的特点
此表的规律如下:
(1)每一行中的二项式系数都是“_____”的.
(2)每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的____.
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐______.
(4)第1行为1=20,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
对称
和
增大
2.二项式系数的性质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数,,…,有如下性质:
(1)=;
(2)+=;
(3)当r<时,<_______;当r>时,<;
(4)++…+=_____.
2n
微点助解
(1)从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的,因此=,故二项式系数有对称性.
(2)二项式系数最大与n的奇偶有关系,
①n为偶数,展开式中有n+1项,最中间一项的二项式系数最大;
②n为奇数,展开式中的n+1项是偶数,最中间两项的二项式系数最大.
1.(1-2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则n= (　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
解析:因为(1-2x)n展开式中,二项式系数最大的项只有第6项,根据二项式系数的性质,展开式中中间项的二项式系数最大,所以n+1=11,解得n=10.
基点训练
√
2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn(n∈N*),若a1=a5,则n的值为 (　　)
A.4 B.6
C.7 D.8
解析:由题知,a1=,a5=,因为a1=a5,所以=,所以n=1+5=6.
√
3.(1-x)20的展开式中,二项式系数最大的项是第 (　　)
A.9项 B.10项
C.11项 D.12项
解析:由二项式定理知其展开式有21项,根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项.
√
4.若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1+a0= (　　)
A.-1 B.16
C.15 D.1
解析:因为(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=(-2)4=16.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　二项式系数的和
[例1]　的展开式中所有二项式系数的和是　　　;展开式中所有偶数项的二项式系数的和是　　　.(用数字作答)
解析:的展开式中所有二项式系数的和是28=256,展开式中所有偶数项的二项式系数的和是27=128.
256
128
[思维建模]
　　(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
针对训练
1.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数的和为 (　　)
A.512 B.210
C.211 D.212
√
解析:∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,解得n=10,各二项式系数之和为210,∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等,∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512.
2.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-160,则实数m=　　　　.
解析:由题意得,2n=64,解得n=6,而(x-my)6的通项为x6-k(-my)k,
0≤k≤6,k∈N,所以x3y3的系数为(-m)3=-160,解得m=2.
2
题型(二)　利用赋值法求解系数和问题
[例2]　已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
(1)a0+a1+a2+…+a5;
解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
解: 令x=-1,得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项=(-1)r25-rx5-r知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)a1+a3+a5.
解:由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5,得2(a1+a3+a5)=1-35,所以a1+a3+a5==-121.
[变式拓展]
本例条件不变,求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值.
解:因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数,得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
[思维建模]　二项展开式中系数和的求法
(1)①二项式系数和为+++…+=2n,其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,都等于2n-1.
②求二项展开式各项系数之和,往往采用赋值法,对变量赋值计算可得.
(2)一般地,对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,各项系数和为f(1),奇次项系数和为[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为[f(1)+f(-1)],a0=f(0).
针对训练
3.设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值;
解:在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中,令x=0,得1=a0,∴a0=1.
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值;
解:令x=1,得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024,∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
解:分别令x=-1,x=1,得
②-①,得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
题型(三)　二项式系数的增减性与最值
[例3]　在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
解:由二项式通项,得Tr+1=()8-r=(-1)r2r.
二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,故T5=24=1 120x-6.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
解:设第r+1项系数的绝对值最大,
则即
整理得所以r=5或r=6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
[变式拓展]
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=26x-11=1 792x-11,系数最小的项为T6=(-1)525=-1 792.
[思维建模] 二项式系数的最大项的求法
　　求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
针对训练
4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大,则展开式中的常数项为(　　)
A.6 B.-6
C.- D.
√
解析:由题意可得=,所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=·=.令=0,解得r=3,故展开式中的常数项为×=-.
5.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　.
解析:由题知,展开式通项为Tr+1=xr,0≤r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大,则解得即≤r≤.又r∈Z,故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5.
5
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.展开式中的各二项式系数之和为1 024,则n的值为(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
解析:展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024,解得n=10.
√
1
5
6
7
8
9
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13
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2
3
4
2.在(1+x)12展开式中,系数最大的项是 (　　)
A.第5,6项 B.第6,7项
C.第6项 D.第7项
解析:因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk,k=0,1,2,…,12,所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数,根据二项式系数的性质有,第7项的二项式系数最大.
√
1
5
6
7
8
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12
13
14
3
4
2
3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+a3+…+a9= (　　)
A.1 B.513
C.512 D.511
解析:令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512,所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511,故选D.
√
1
5
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3
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2
4.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+a2+…+(-1)nan= (　　)
A.32 B.64
C.128 D.256
解析:由题意可得=,所以n=4.令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+(-1)nan=256.
√
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5.已知的展开式中,第3项的系数与倒数第3项的系数之比为,则展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
√
1
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3
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2
解析:　的展开式的通项为Tk+1=()n-k=2k,则T3=22,其系数为4.倒数第3项为Tn-1=2n-2x5-2n,其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4,则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.
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6.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　　.
解析:令x=1,得a0=-2.令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0.
所以a1+a2+a3+…+a11=2.
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3
4
2
7.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则第4项为　　　　.
解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,即+1=6,所以n=10,所以T4=()7·=120.
120
1
5
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7
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9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.若二项式(3-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为　　　　.
解析:令x=1,可得a=2n;令x=-1,可得b=4n,所以+=2n+.设t=2n(n∈N*),则+=t+,t≥2.又函数y=s+在[2,+∞)上单调递增,所以ymin=2+=,即=.
1
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10
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3
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2
9.已知(2x-1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64.
(1)求该展开式中各项的系数之和;
解:由题可知,2n=64,解得n=6,
令x=1,得该展开式中各项的系数之和为(2-1)6=1.
1
5
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11
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13
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3
4
2
(2)求该展开式中所有偶数项的系数之和.
解:记(2x-1)6=a0x6+a1x5+…+a5x+a6.
由(1)知a0+a1+…+a5+a6=1,
令x=-1,可得a0-a1+…-a5+a6=(-3)6=729.
所以该展开式中所有偶数项的系数之和为=-364.
1
5
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12
13
14
3
4
2
10.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
解:令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n,所以22n-2n=992,解得n=5.所以展开式共6项,二项式系数最大的项为第3、4两项,所以T3=()3(3x2)2=90x6,T4=()2(3x2)3=270.
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(2)求展开式中系数最大的项.
解:设展开式中第r+1项系数最大,则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r,
所以 ≤r≤.又r∈N,所以r=4.
即展开式中第5项系数最大,T5=()(3x2)4=405.
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B级——应用创新
11.已知(mx-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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解析:由题意,令x=0,得a0=1,令x=1,得(m-1)8=a0+a1+a2+…+a8,
所以a1+a2+…+a8=(m-1)8-1,由(m-1)8-1=255,解得m=3或m=-1,
所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B.
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12.[多选]已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025,则 (　　)
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025
B.展开式中所有奇数项系数的和为
C.展开式中所有偶数项系数的和为
D.+++…+=-1
√
√
√
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解析:对于A,展开式中所有项的二项式系数之和为22 025,故A正确;
对于B,令x=-1,得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025,①
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025,②
①+②,得32 025-1=2(a0+a2+…+a2 024),∴a0+a2+…+a2 024=,故B正确;
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对于C,①-②,得32 025+1=-2(a1+a3+…+a2 025),∴a1+a3+…+a2 025=-,故C错误;
对于D,令x=0,得a0=1,令x=,得0=a0++++…+,
∴+++…+=-1,故D正确.
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13.已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+++…+=　　　　.
解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,
则B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数的性质,得+++…+=2n-=28-1=255.
255
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14.已知的展开式中,前3项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1.
(1)求n和a的值;
解:由题意,得++=16,即1+n+=16.
解得n=5或n=-6(舍去),
所以n=5.因为所有项的系数之和为1,令x=1,
所以(a-1)5=1,解得a=2.
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(2)展开式中是否存在常数项 若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由;
解:不存在.理由如下:
因为=,所以Tk+1=(2x)5-k
=(-1)k25-k.令5-=0,解得k= N,
所以展开式中不存在常数项.
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(3)求展开式中二项式系数最大的项.
解: 由二项式系数的性质知,展开式中中间两项的二项式系数最大,
二项式系数最大的两项为T3=(-1)225-2x5-3=80x2,
T4=(-1)325-3=-40.课时跟踪检测(二十三)　二项式系数的性质
A级——综合提能
1.展开式中的各二项式系数之和为1 024,则n的值为 (　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
2.在(1+x)12展开式中,系数最大的项是 (　　)
A.第5,6项 B.第6,7项
C.第6项 D.第7项
3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+a3+…+a9= (　　)
A.1 B.513
C.512 D.511
4.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+a2+…+(-1)nan= (　　)
A.32 B.64
C.128 D.256
5.已知的展开式中,第3项的系数与倒数第3项的系数之比为,则展开式中二项式系数最大的项为 (　　)
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
6.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　　.
7.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则第4项为　　　　.
8.若二项式(3-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为　　　　.
9.已知(2x-1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64.
(1)求该展开式中各项的系数之和;
(2)求该展开式中所有偶数项的系数之和.
10.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
B级——应用创新
11.已知(mx-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.[多选]已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025,则 (　　)
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025
B.展开式中所有奇数项系数的和为
C.展开式中所有偶数项系数的和为
D.+++…+=-1
13.已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+++…+=　　　　.
14.已知的展开式中,前3项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1.
(1)求n和a的值;
(2)展开式中是否存在常数项 若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
课时跟踪检测(二十三)
1.选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024,解得n=10.
2.选D　因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk,k=0,1,2,…,12,所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数,根据二项式系数的性质有,第7项的二项式系数最大.
3.选D　令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512,所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511,故选D.
4.选D　由题意可得=,所以n=4.令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+(-1)nan=256.
5.选B　的展开式的通项为Tk+1=()n-k=2k,则T3=22,其系数为4.倒数第3项为Tn-1=2n-2x5-2n,其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4,则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.
6.解析:令x=1,得a0=-2.令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+a3+…+a11=2.
答案:2
7.解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,即+1=6,所以n=10,所以T4=()7·=120.
答案:120
8.解析:令x=1,可得a=2n;令x=-1,可得b=4n,所以+=2n+.设t=2n(n∈N*),则+=t+,t≥2.又函数y=s+在[2,+∞)上单调递增,所以ymin=2+=,即=.
答案:
9.解:(1)由题可知,2n=64,解得n=6,
令x=1,得该展开式中各项的系数之和为(2-1)6=1.
(2)记(2x-1)6=a0x6+a1x5+…+a5x+a6.
由(1)知a0+a1+…+a5+a6=1,
令x=-1,可得a0-a1+…-a5+a6=(-3)6=729.
所以该展开式中所有偶数项的系数之和为=-364.
10.解:(1)令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n,
所以22n-2n=992,解得n=5.
所以展开式共6项,二项式系数最大的项为第3、4两项,
所以T3=()3(3x2)2=90x6,
T4=()2(3x2)3=270.
(2)设展开式中第r+1项系数最大,
则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r,
所以 ≤r≤.
又r∈N,所以r=4.
即展开式中第5项系数最大,
T5=()(3x2)4=405.
11.选B　由题意,令x=0,得a0=1,令x=1,得(m-1)8=a0+a1+a2+…+a8,所以a1+a2+…+a8=(m-1)8-1,由(m-1)8-1=255,解得m=3或m=-1,所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B.
12.选ABD　对于A,展开式中所有项的二项式系数之和为22 025,故A正确;
对于B,令x=-1,得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025,①
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025,②
①+②,得32 025-1=2(a0+a2+…+a2 024),
∴a0+a2+…+a2 024=,故B正确;
对于C,①-②,得32 025+1=-2(a1+a3+…+a2 025),
∴a1+a3+…+a2 025=-,故C错误;
对于D,令x=0,得a0=1,令x=,得0=a0++++…+,
∴+++…+=-1,故D正确.
13.解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+…,
B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,
则B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数的性质,得
+++…+=2n-=28-1=255.
答案:255
14.解:(1)由题意,得++=16,
即1+n+=16.
解得n=5或n=-6(舍去),
所以n=5.
因为所有项的系数之和为1,令x=1,
所以(a-1)5=1,解得a=2.
(2)不存在.理由如下:
因为=,
所以Tk+1=(2x)5-k
=(-1)k25-k.
令5-=0,解得k= N,
所以展开式中不存在常数项.
(3)由二项式系数的性质知,展开式中中间两项的二项式系数最大,
二项式系数最大的两项为
T3=(-1)225-2x5-3=80x2,
T4=(-1)325-3=-40.
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