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(共90张PPT)
§4.4
幂函数
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
<<<
1.掌握幂函数的概念.(重点)
2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)
3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)
学习目标
同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
导 语
一、幂函数的概念
二、幂函数的图象和性质
课时对点练
三、幂函数性质的应用
随堂演练
内容索引
幂函数的概念
一
提示　不是，自变量x的位置在底数位置，不符合指数函数定义.
函数y=是指数函数吗？为什么？
问题1
幂函数的定义
一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数.
(1)xα的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数α为常数.
注 意 点
<<<
　(1)(多选)下列函数为幂函数的是
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
例 1
B项为指数函数；
C中的函数的系数不为1；
A，D为幂函数.
解析
√
√
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，则m=　　　，n=　　　　.
-3或1
由题意得
解得或
所以m=-3或1，n=.
解析
幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③幂的系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数.
反
思
感
悟
　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于
A.2 B.1
C. D.0
跟踪训练 1
因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，
所以a=1，-b+1=0，
即a=1，b=1，则a+b=2.
解析
√
(2)点A(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(f(9))=　　　　.
设f(x)=xa，则f(4)=4a=2 a=，故f(x)=，
所以f(9)==3，则f(f(9))=f(3)=.
解析
二
幂函数的图象和性质
提示　
在同一平面直角坐标系中，你能画出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象吗？
问题2
1.五个幂函数的图象
2.五个幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞) _________
值域 R __________ R _________ _________
奇偶性 _______ _______ _______ ____________ ________
单调性 在R上是 ________ 在[0，+∞)上是 ______，在(-∞，0]上是________ 在R上是 _______ 在________上是_________ 在(0，+∞)上是
______，在(-∞，0)上是________
公共点 (1，1) {x|x≠0}
[0，+∞)
[0，+∞)
{y|y≠0}
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
增函数
增函数
减函数
增函数
[0，+∞)
增函数
减函数
减函数
(1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出.
(2)当α>0时，幂函数的图象都通过点(0，0)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
注 意 点
<<<
(3)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴.
(4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从
下向上看递增，即“指大图高”“指
小图低”.
注 意 点
<<<
(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为
A.-2，-，2 B.2，，-，-2
C.-，-2，2， D.2，，-2，-
例 2
√
根据幂函数y=xn的性质，
故c1的n=2，c2的n=，
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
所以曲线c3的n=-，曲线c4的n=-2.
解析
(2)函数y=的大致图象是
∵函数y=是奇函数，且α=>1，
∴函数y=的大致图象为B.
解析
√
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断.
反
思
感
悟
　(1)幂函数y=x2 027的图象一定经过
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限和原点
D.第二、四象限和原点
跟踪训练 2
√
幂函数y=x2 027是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点.
解析
(2)若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则
A.-1B.n<-1，0C.-11
D.n<-1，m>1
√
由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增，
所以m>0，
由于y=xm的图象增长的越来越慢，
所以0y=xn在(0，+∞)上单调递减，
所以n<0，
又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方，
所以n<-1.
解析
幂函数性质的应用
三
(1)(课本例1)比较下列各题中两个值的大小：
①2.31.1和2.51.1；
例 3
考察幂函数y=x1.1，因为其在区间[0，+∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.
解
②(a2+2.
考察幂函数y=，因为其在区间(0，+∞)上是减函数，而且a2+2≥2，所以(a2+2≤.
解
(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①与；
例 3
∵幂函数y=x0.5在(0，+∞)上单调递增，
且>，∴>.
解
②与；
∵幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，
且-<-，∴>.
解
③与.
∵函数y=在(0，+∞)上单调递增，
且>1，∴>=1.
又∵函数y=在(0，+∞)上单调递增，
且<1，
∴<=1，∴>.
解
(2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0.
当m=2时，f(x)=，图象过点(4，2)；
当m=0时，f(x)=，图象不过点(4，2)，舍去.
综上，f(x)=.
解
②判断函数的单调性，并进行证明；
函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下：
设x1，x2∈[0，+∞)，且x1因为0≤x1即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)解
③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围.
函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，由f(a+1)>f(2a-3)，则得≤a<4.
综上，实数a的取值范围为.
解
(1)比较幂值大小的方法
①直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
③中间量法：常用0和1作为中间量.
(2)解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
①充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
②注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
反
思
感
悟
(1)比较大小：1.，1.，1.42.
跟踪训练 3
∵y=在[0，+∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.<1..
又∵y=1.4x为增函数，且<2，
∴1.<1.42，∴1.<1.<1.42.
解
(2)已知幂函数y=x3m-9 (m∈N+)的图象关于y轴对称且在(0，+∞)上单调递减，求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
因为函数y=x3m-9在(0，+∞)上单调递减，
所以3m-9<0，
解得m<3.又因为m∈N+，所以m=1或m=2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m-9为偶数，故m=1.
则原不等式可化为(a+1<(3-2a.
因为y=在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，
解
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范围是.
解
1.知识清单：
(1)幂函数的概念.
(2)幂函数的图象.
(3)幂函数的性质及其应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列函数中是幂函数的是
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数，选项A是α=-1的情形，D是α=-的情形，所以A和D是幂函数；
选项B中x2的系数是4，不是幂函数；
易知选项C不是幂函数.
解析
√
√
1
2
3
4
2.设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为
A.1，3 B.-1，1
C.-1，3 D.-1，1，3
可知当α=-1，1，3时，y=xα为奇函数，
又因为y=xα的定义域为R，则α=1或α=3.
解析
√
1
2
3
4
3.如图，函数y=，y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
√
1
2
3
4
因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分，
所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，
所以α<0，
又易知当x=2时，f(x)>，故B可能符合题意.
解析
1
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3
4
4.已知幂函数f(x)的图象过点，若f(3-2m)<1，则实数m的取值范围为
A.(-∞，1) B.
C.(-∞，1)∪ D.(-∞，1)∪
√
1
2
3
4
设f(x)=xα，
因为幂函数f(x)的图象过点，
所以2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1=，
于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1，
即<0，
所以(2m-2)(3-2m)<0，即m>或m<1.
解析
课时对点练
五
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A B B D BC 2(答案不唯一，只要在区间[1，3)上即可)
题号 8 11 12 13 14 15
答案 B C ACD ABD
对一对
9.
答案
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(1)由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9-3m>0，
解得m<3，m∈N+，可得m=1或m=2，
若m=1，则f(x)=x6，图象不关于原点对称，舍去；
若m=2，则f(x)=x3，图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立.则f(x)=x3.
9.
答案
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(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
由f(a+1)+f(3a-4)<0，
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a)，
则a+1<4-3a，解得a<.
10.
答案
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(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).
因为幂函数g(x)过点，
所以2α=，解得α=-1，所以g(x)=.
(2)由(1)得f(x)=x2+.
①当a=0时，f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知f(x)为偶函数.
10.
答案
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②当a≠0时，由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x)，且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数.
综上，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.
16.
答案
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(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数m的值为1.
16.
答案
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(2)①g(x)=x-f(x)=x-，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下：
任取0则g(x1)-g(x2)=-=(x1-x2)-=(x1-x2)，
由00，
则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
16.
答案
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②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
又由g(2t-1)解得基础巩固
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，则f 等于
A.B. C.- D.2
答案
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幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，
则2α=4，解得α=2，∴f(x)=x2，
∴f ==.
解析
√
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是
A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y=
答案
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所给选项都是幂函数，其中y=x-2和y=x2是偶函数，y=x-1和y=不是偶函数，故排除选项B，D；
又y=x2在区间(0，+∞)上单调递增，故选项C不符合题意，
y=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，故选项A符合题意.
解析
√
3.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是
答案
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答案
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y=的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B中的图象.
解析
4.设a=40.4，b=30.8，c=log30.8，则a，b，c的大小关系为
A.aC.b答案
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16
a=40.4=20.8<30.8=b，且b>a>0，c=log30.8<0，故c解析
√
5.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0，+∞)上为增函数，则实数m的值为
A.-2 B.0或2 C.0 D.2
答案
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因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1，
解得m=0或m=2，
当m=0时，f(x)=x-1在(0，+∞)上为减函数，
不符合题意；
当m=2时，f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数，
符合题意，所以m=2.
解析
√
6.(多选)若函数f(x)=xα，则
A.f(x)的图象经过点(0，0)和(1，1)
B.当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(x)为奇函数
C.当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(x)为偶函数
D.当α>0时，存在f(x)使得f()答案
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√
√
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根据幂函数的图象和性质可知，当α<0时，幂函数不经过点(0，0)，A错误；
当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(-1)=(-1)α=-1，
所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=-xα=-f(x)，
所以f(x)为奇函数，B正确；
解析
答案
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当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(-1)=(-1)α=1，
所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=xα=f(x)，
所以f(x)为偶函数，C正确；
当α>0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，且>，
所以f()>f()，D错误.
解析
7.已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的值可以是　　 　　.(写出一个满足题意的a即可)
由条件得解得1≤a<3.
解析
答案
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2(答案不唯一，只要在区间[1，3)上即可)
8.已知α∈，若幂函数y=xα的值域与定义域相同，则α的取值集合为　　 　　.
幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-1，，1，3，
故α的取值集合为.
解析
答案
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9.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增.
(1)求f(x)的解析式；
答案
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由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9-3m>0，
解得m<3，m∈N+，可得m=1或m=2，
若m=1，则f(x)=x6，图象不关于原点对称，舍去；
若m=2，则f(x)=x3，图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立.则f(x)=x3.
解
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.
答案
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由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
由f(a+1)+f(3a-4)<0，
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a)，
则a+1<4-3a，解得a<.
解
10.已知幂函数g(x)过点，且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式；
答案
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设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).
因为幂函数g(x)过点，
所以2α=，解得α=-1，所以g(x)=.
解
(2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.
答案
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由(1)得f(x)=x2+.
①当a=0时，f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时，由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x)，且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数.
综上，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.
解
11.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2，4)，则函数g(x)= loga(x+m)的单调递增区间为
A.(-2，+∞) B.(1，+∞)
C.(-1，+∞) D.(2，+∞)
综合运用
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√
由题意得m+2=1，
解得m=-1，
则f(x)=xa，将(2，4)代入函数的解析式得，
2a=4，解得a=2，
故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1)，
令x-1>0，解得x>1，
故g(x)的单调递增区间为(1，+∞).
解析
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12.已知点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(log4)，b=
f(ln 3)，c=f ，则a，b，c的大小关系为
A.cC.a答案
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点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，则有
解得即f(x)=x3，则f(x)在R上单调递增.
由0=log41ln e=1，<=<1，
则log4<所以f(log4)即a解析
13.(多选)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是
A.0C.1答案
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画出y=与y=的图象(如图)，设==m，作直线y=m.
解析
由图象知，若m=0或m=1，则a=b；若01，则114.不等式(2x+1<(x-3的解集为　　　　　　.
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幂函数f(x)==的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增，
又f(-x)===f(x)，
则f(x)为偶函数，
所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，
则由不等式(2x+1<(x-3可得|2x+1|<|x-3|，
整理得3x2+10x-8<0，
即(3x-2)(x+4)<0，
解析
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解得-4则不等式的解集为.
解析
15.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是
A.ad>bd B.dcaC.ac>bc D.b拓广探究
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∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减，
又∵a>b>1，∴ad∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，
又∵b>c>0，∴ba>ca，
又∵d<0，∴dba∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增，
又∵a>b>1，∴ac>bc，故C成立；
∵a>b>1，∴>1，
解析
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∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，
又∵b>c>0，∴>>0，
又∵b>0>d，∴b>0，d<0，
∴b>d，故D不成立.
解析
16.若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减.
(1)求实数m的值；
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由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数m的值为1.
解
(2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞)，
①判断函数g(x)的单调性，并证明；
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g(x)=x-f(x)=x-，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下：
任取0则g(x1)-g(x2)=-
=(x1-x2)-
=(x1-x2)，
解
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由00，
则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
解
②求使不等式g(2t-1)答案
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由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
又由g(2t-1)解得解
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
<<<学习目标　1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)
导语
同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
一、幂函数的概念
问题1　函数y=是指数函数吗？为什么？
提示　不是，自变量x的位置在底数位置，不符合指数函数定义.
知识梳理　幂函数的定义
一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数.
注意点：
(1)xα的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数α为常数.
例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
答案　AD
解析　B项为指数函数；C中的函数的系数不为1；A，D为幂函数.
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，则m=　　　，n=　　　　.
答案　-3或1　
解析　由题意得
解得或
所以m=-3或1，n=.
反思感悟　幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③幂的系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数.
跟踪训练1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.0
答案　A
解析　因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，
所以a=1，-b+1=0，
即a=1，b=1，则a+b=2.
(2)点A(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(f(9))=　　　　.
答案　
解析　设f(x)=xa，则f(4)=4a=2 a=，故f(x)=，
所以f(9)==3，则f(f(9))=f(3)=.
二、幂函数的图象和性质
问题2　在同一平面直角坐标系中，你能画出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象吗？
提示　
知识梳理
1.五个幂函数的图象
2.五个幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞) {x|x≠0}
值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数
单调性 在R上是增函数 在[0，+∞)上是增函数，在(-∞，0]上是减函数 在R上是增函数 在[0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数，在(-∞，0)上是减函数
公共点 (1，1)
注意点：
(1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出.
(2)当α>0时，幂函数的图象都通过点(0，0)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
(3)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴.
(4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”.
例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)
A.-2，-，2 B.2，，-，-2
C.-，-2，2， D.2，，-2，-
答案　B
解析　根据幂函数y=xn的性质，
故c1的n=2，c2的n=，
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
所以曲线c3的n=-，曲线c4的n=-2.
(2)函数y=的大致图象是(　　)
答案　B
解析　∵函数y=是奇函数，且α=>1，
∴函数y=的大致图象为B.
反思感悟　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断.
跟踪训练2　(1)幂函数y=x2 027的图象一定经过(　　)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限和原点
D.第二、四象限和原点
答案　C
解析　幂函数y=x2 027是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点.
(2)若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A.-1B.n<-1，0C.-11
D.n<-1，m>1
答案　B
解析　由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增，
所以m>0，
由于y=xm的图象增长的越来越慢，
所以0y=xn在(0，+∞)上单调递减，
所以n<0，
又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方，
所以n<-1.
三、幂函数性质的应用
例3　(1)(课本例1)比较下列各题中两个值的大小：
①2.31.1和2.51.1；
②(a2+2和.
解　①考察幂函数y=x1.1，因为其在区间[0，+∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.
②考察幂函数y=，因为其在区间(0，+∞)上是减函数，而且a2+2≥2，所以(a2+2≤.
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①与；
②与；
③与.
解　①∵幂函数y=x0.5在(0，+∞)上单调递增，
且>，∴>.
②∵幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，
且-<-，∴>.
③∵函数y=在(0，+∞)上单调递增，
且>1，∴>=1.
又∵函数y=在(0，+∞)上单调递增，
且<1，
∴<=1，∴>.
(2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
②判断函数的单调性，并进行证明；
③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围.
解　①因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0.
当m=2时，f(x)=，图象过点(4，2)；
当m=0时，f(x)=，图象不过点(4，2)，舍去.
综上，f(x)=.
②函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下：
设x1，x2∈[0，+∞)，且x1因为0≤x1即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)③函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，由f(a+1)>f(2a-3)，则得≤a<4.
综上，实数a的取值范围为.
反思感悟　(1)比较幂值大小的方法
①直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
③中间量法：常用0和1作为中间量.
(2)解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
①充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
②注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
跟踪训练3　(1)比较大小：1.，1.，1.42.
解　∵y=在[0，+∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.<1..
又∵y=1.4x为增函数，且<2，
∴1.<1.42，∴1.<1.<1.42.
(2)已知幂函数y=x3m-9 (m∈N+)的图象关于y轴对称且在(0，+∞)上单调递减，求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
解　因为函数y=x3m-9在(0，+∞)上单调递减，
所以3m-9<0，
解得m<3.又因为m∈N+，所以m=1或m=2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m-9为偶数，故m=1.
则原不等式可化为(a+1<(3-2a.
因为y=在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范围是.
1.知识清单：
(1)幂函数的概念.
(2)幂函数的图象.
(3)幂函数的性质及其应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性.
1.(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
答案　AD
解析　　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数，选项A是α=-1的情形，D是α=-的情形，所以A和D是幂函数；选项B中x2的系数是4，不是幂函数；易知选项C不是幂函数.
2.设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)
A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3
答案　A
解析　可知当α=-1，1，3时，y=xα为奇函数，
又因为y=xα的定义域为R，则α=1或α=3.
3.如图，函数y=，y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
答案　B
解析　因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分，
所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，
所以α<0，
又易知当x=2时，f(x)>，故B可能符合题意.
4.已知幂函数f(x)的图象过点，若f(3-2m)<1，则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞，1) B.
C.(-∞，1)∪ D.(-∞，1)∪
答案　D
解析　设f(x)=xα，
因为幂函数f(x)的图象过点，
所以2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1=，
于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1，
即<0，
所以(2m-2)(3-2m)<0，即m>或m<1.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，则f等于(　　)
A. B. C.- D.2
答案　B
解析　幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，
则2α=4，解得α=2，∴f(x)=x2，
∴f==.
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是(　　)
A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y=
答案　A
解析　所给选项都是幂函数，其中y=x-2和y=x2是偶函数，y=x-1和y=不是偶函数，故排除选项B，D；又y=x2在区间(0，+∞)上单调递增，故选项C不符合题意，y=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，故选项A符合题意.
3.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
答案　B
解析　y=的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B中的图象.
4.设a=40.4，b=30.8，c=log30.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b答案　B
解析　a=40.4=20.8<30.8=b，且b>a>0，c=log30.8<0，故c5.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0，+∞)上为增函数，则实数m的值为(　　)
A.-2 B.0或2 C.0 D.2
答案　D
解析　因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1，
解得m=0或m=2，
当m=0时，f(x)=x-1在(0，+∞)上为减函数，
不符合题意；
当m=2时，f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数，
符合题意，所以m=2.
6.(多选)若函数f(x)=xα，则(　　)
A.f(x)的图象经过点(0，0)和(1，1)
B.当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(x)为奇函数
C.当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(x)为偶函数
D.当α>0时，存在f(x)使得f()答案　BC
解析　根据幂函数的图象和性质可知，当α<0时，幂函数不经过点(0，0)，A错误；
当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(-1)=(-1)α=-1，
所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=-xα=-f(x)，
所以f(x)为奇函数，B正确；
当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(-1)=(-1)α=1，
所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=xα=f(x)，
所以f(x)为偶函数，C正确；
当α>0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，且>，
所以f()>f()，D错误.
7.(5分)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的值可以是　　　　.(写出一个满足题意的a即可)
答案　2(答案不唯一，只要在区间[1，3)上即可)
解析　由条件得解得1≤a<3.
8.(5分)已知α∈，若幂函数y=xα的值域与定义域相同，则α的取值集合为　　　　.
答案　
解析　幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-1，，1，3，
故α的取值集合为.
9.(10分)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增.
(1)求f(x)的解析式；(5分)
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.(5分)
解　(1)由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9-3m>0，
解得m<3，m∈N+，可得m=1或m=2，
若m=1，则f(x)=x6，图象不关于原点对称，舍去；
若m=2，则f(x)=x3，图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立.则f(x)=x3.
(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
由f(a+1)+f(3a-4)<0，
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a)，
则a+1<4-3a，解得a<.
10.(10分)已知幂函数g(x)过点，且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式；(4分)
(2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.(6分)
解　(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).
因为幂函数g(x)过点，
所以2α=，解得α=-1，所以g(x)=.
(2)由(1)得f(x)=x2+.
①当a=0时，f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时，由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x)，且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数.
综上，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.
11.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2，4)，则函数g(x)= loga(x+m)的单调递增区间为(　　)
A.(-2，+∞) B.(1，+∞)
C.(-1，+∞) D.(2，+∞)
答案　B
解析　由题意得m+2=1，
解得m=-1，
则f(x)=xa，将(2，4)代入函数的解析式得，
2a=4，解得a=2，
故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1)，
令x-1>0，解得x>1，
故g(x)的单调递增区间为(1，+∞).
12.已知点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(log4)，b=f(ln 3)，c=f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a答案　C
解析　点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，则有
解得即f(x)=x3，则f(x)在R上单调递增.
由0=log41ln e=1，<=<1，
则log4<所以f(log4)即a13.(多选)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A.0C.1答案　ACD
解析　画出y=与y=的图象(如图)，设==m，作直线y=m.
由图象知，若m=0或m=1，则a=b；若01，则114.(5分)不等式(2x+1<(x-3的解集为　　　　　　.
答案　
解析　幂函数f(x)==的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增，
又f(-x)===f(x)，
则f(x)为偶函数，
所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，
则由不等式(2x+1<(x-3可得|2x+1|<|x-3|，
整理得3x2+10x-8<0，
即(3x-2)(x+4)<0，
解得-4则不等式的解集为.
15.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是(　　)
A.ad>bd B.dcaC.ac>bc D.b答案　ABD
解析　∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减，
又∵a>b>1，∴ad∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，
又∵b>c>0，∴ba>ca，
又∵d<0，∴dba∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增，
又∵a>b>1，∴ac>bc，故C成立；
∵a>b>1，∴>1，
∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，
又∵b>c>0，∴>>0，
又∵b>0>d，∴b>0，d<0，
∴b>d，故D不成立.
16.(12分)若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减.
(1)求实数m的值；(4分)
(2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞)，
①判断函数g(x)的单调性，并证明；(4分)
②求使不等式g(2t-1)解　(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数m的值为1.
(2)①g(x)=x-f(x)=x-，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下：
任取0则g(x1)-g(x2)=-
=(x1-x2)-
=(x1-x2)，
由00，
则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
又由g(2t-1)解得

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