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(共88张PPT)
第1课时
柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
第五章　5.1.3　数据的直观表示
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1.了解统计图表的作用与意义.
2.会利用合适的统计图表研究生活中的例子.
学习目标
抽取样本是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点，但是面对多而杂的数据，我们往往无法直接从原始数据中获取它们所包含的信息.因此，必须借助于图、表、计算来分析数据，帮助我们从中找出数据的规律.
导 语
一、柱形图与折线图
二、扇形图
课时对点练
三、茎叶图
随堂演练
内容索引
柱形图与折线图
一
观察以下两种统计图，你能说出各自的优点吗？
(1)柱形图(如图).
问题1
(2)折线图(如图).
提示　柱形图能直观地显示每组中的具体数据；
折线图能直观显示数据的变化趋势.
1.柱形图(也称为条形图)
作用 形象地比较各种数据之间的数量关系
特征 (1)一条轴上显示的是所关注的数据 ，另一条轴上对应的是 、 或者 ；
(2)每一矩形都是________
类型
数量
个数
比例
等宽的
2.折线图
作用 形象地表示数据的变化趋势
特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据
(1)当数据量很大时一般选用柱形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是柱形图会损失数据的部分信息.
(2)折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况.
注 意 点
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　(1)(多选)2024年4月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与3月份相比)变动情况，如图所示.
例 1
则下列叙述正确的是
A.八大类消费价格环比呈现四涨四平
B.其他用品和服务价格环比涨幅最大
C.生活用品及服务和医疗保健价格环
比涨幅相同
D.4月份居民消费平均价格环比持平
√
√
√
在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，另外四类分别上涨，A正确；
其中其他用品和服务价格环比涨幅最大，为0.4%，B正确；
生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅均为0.1%，C正确；
居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%+0.3%+0.1%+0.4%)÷8=0.112 5%，D错误.
解析
(2)(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的是
A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，
甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用乙车比用丙车
更省油
√
√
√
从图可知消耗1 L汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km，故A错误；
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，消耗汽油最少，故B错误；
若甲车以80 km/h的速度行驶，由图可知，“燃油效率”为10 km/L，所以行驶1 h，消耗8 L汽油，所以C正确；
若某城市机动车最高限速80 km/h，从图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，D错误.
解析
(1)柱形图中，各小矩形宽相等.
(2)注意横、纵轴的意义.
(3)由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型.
反
思
感
悟
　(1)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了柱形图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是　　　　.
跟踪训练 1
由图可知，参加羽毛球活动的人数为4，所以频率为=0.1.
解析
0.1
(2)据报道，某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，如图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为
A.79.9% B.70.9%
C.38.8% D.32.1%
√
根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求值为38.8%+32.1%=70.9%.
解析
二
扇形图
观察扇形图(如图)，你能说出它的优点吗？
问题2
提示　扇形图能直观地显示各部分所占总体的百分比.
扇形图(也称为饼图、饼形图)
作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的 情况
特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成_______
正比
比例
扇形图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据是多少.
注 意 点
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(多选)如图为某商场一天营业额的扇形图，根据统计图你能得出的信息为
A.该商场家用电器日销售额占全商场日营业额的40%
B.服装鞋帽和百货日杂的日销售额共29 000元
C.家用电器部所得利润最高
D.副食的日销售额为该商场日营业额的10%
例 2
√
√
√
对于A，由图可知显然正确；
对于B，由副食的销售额和占比可得商场一天总的营业额为5 800÷10%
=58 000(元)，故服装鞋帽和百货日杂的日销售额为58 000×(30%+20%)
=29 000(元)，故B正确；
对于C，由图不能得出家用电器部所得利润最高，故C错误；
对于D，由图可知，副食的日销售额占比为1-40%-30%-20%=10%，故D正确.
解析
在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形的面积与圆的面积之比.
反
思
感
悟
某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为　　；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　　　　小时.
跟踪训练 2
50
1 015
由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%=50(件)，该产品的平均使用寿命为=1 015(小时).
解析
茎叶图
三
林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽取了10株树苗进行检测，量出它们的高度如下(单位：cm)：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.
你能用适当的统计图表示上面的数据吗？
问题3
提示　如图所示，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数.
茎叶图
作用 (1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的 、 等数字特征；
(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息；
(3)比较两组数据的集中或分散程度
特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列
最值
中位数
对于样本数据较少，但较为集中的一组数据，若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶；若样本数据是小数，则将整数部分作茎，小数部分作叶.
注 意 点
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某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
例 3
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.
解
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8，9，10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称的，叶主要集中在7，8，9的茎上.所以乙同学的成绩总体情况比甲同学好.
茎叶图的画法步骤
(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.
(2)将最小的茎和最大的茎之间的数按从小到大的顺序从上到下列出，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线.
(3)将各个数据的叶写在其茎右(左)侧.
反
思
感
悟
(多选)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图.则下列结论正确的是
A.甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近
五场比赛得分的中位数
B.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数
C.从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定
D.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定
跟踪训练3
√
√
对于A，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；
对于B，甲得分的平均数为×(25+28+29+31+32)=29，乙得分的平均数为×(28+29+30+31+32)=30，正确；
对于C，甲得分的方差为×[(25-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(32-29)2]=×(16+1+0+4+9)=6，
乙得分的方差为×[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]=×
(4+1+0+1+4)=2，所以乙比甲更稳定，C正确，D错误.
解析
1.知识清单：
(1)柱形图、折线图、扇形图、茎叶图的识别.
(2)四种统计图表的比较.
2.方法归纳：数据分析、图表识别.
3.常见误区：
(1)统计图表的选择.
(2)对茎叶图的绘制规则认识不够致错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下面哪种统计图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到
A.柱形图 B.茎叶图
C.扇形图 D.折线图
由茎叶图的特点知，茎叶图满足上述条件.
解析
√
1
2
3
4
2.(多选)某班班长统计了去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，并绘制了如图所示的折线图，则下列说法正确的是
A.阅读数量最大的是8月份
B.阅读数量最小的是1月份
C.阅读数量最大的月份比最小的月份多55本
D.每月阅读数量超过40的有4个月
√
√
1
2
3
4
由折线图可得，阅读数量最大的月份为8月份，阅读量为83本，故A正确；
阅读数量最小的月份为6月份，阅读量为28本，故B错误；
阅读数量最大的月份比最小的月份多55本，故C正确；
每月阅读数量超过40的有2月、3月、4月、5月、7月、8月共有6个月，故D错误.
解析
1
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3
4
3.在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如图所示两幅不完整的统计图，则选手B的票数为
A.300 B.90
C.75 D.85
√
1
2
3
4
调查总人数为105÷35%=300，
C选手的票数为300×30%=90，
B选手的票数为300-105-90-30=75.
解析
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4
4.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均分为　　　　；若乙的平均分是89，则污损的数字是　　　.
90
甲的平均分为=90.
设污损处对应的数字为x，由题意可得，
89×5=83+83+87+x+90+99，解得x=3.
故污损的数字是3.
解析
3
课时对点练
五
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B ACD B B AC 57　53 8
题号 11 12 13 14 15 答案 A C CD 2.95 ACD
对一对
9.
答案
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(1)290-(85+80+65)=60(万元)，补图如图.
9.
答案
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(2)85×23%=19.55(万元)，所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.
(3)不同意.理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元)，4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元).而10.8<11.05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.
10.
答案
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(1)茎叶图如图所示.
所以甲的最大速度的中位数为=33，乙的最大速度的中位数为=33.5.
10.
答案
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(2)甲的最大速度的平均数为=×(27+30+31+35+37+38)=33，
乙的最大速度的平均数为=×(28+29+33+34+36+38)=33，
甲的最大速度的方差为=×(36+9+4+4+16+25)=，
乙的最大速度的方差为=×(25+16+1+9+25)=，
甲、乙的最大速度的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适.
16.
答案
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该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温 -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2
柱形图如图所示.
16.
答案
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扇形图如图所示.
基础巩固
1.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为
A.96 B.126
C.144 D.174
答案
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由统计图可知，该校文科教师中女教师的人数为120×0.7=84，该校理科教师中女教师的人数为225×0.4=90，所以该校女教师的人数为84+
90=174.
解析
√
2.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图所示)，据此计算该校被抽取的20名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15，25)内的人数为
答案
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由茎叶图可得，被抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15，25)
内的人数为6.
解析
A.3 B.6
C.7 D.5
√
3.(多选)某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分(满分5分，分值高者为优)的雷达图如图所示，则下列说法正确的是
A.在200米项目中，A班的得分比B班的得分高
B.在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高
C.在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高
D.B班的总分比A班的总分高
答案
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√
√
√
答案
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对于A，在200米项目中，A班的得分为4分，B班的得分为3分，A班的得分比B班的高，A正确；
对于B，在铅球项目中，A班的得分为3分，B班的得分为4分，A班的得分比B班的低，B错误；
对于C，在跳高项目中，B班的得分为4分，A班的得分为3分，B班的得分比A班的高，C正确；
对于D，B班的总分为5+3+4+5+3+4=24(分)，
A班的总分为4+4+3+5+4+3=23(分)，即B班的总分比A班的总分高，D正确.
解析
4.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.
答案
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根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大
C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
√
答案
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柱形图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百分比为1 200÷(1 200+2 000+1 200+1 600)=20%；从扇形图乙可知，乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大.
解析
5.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以免费领取一张“福”字或一副春联.茎叶图的统计数据是在不同时段内领取“福”字和春联的人数，则它们的中位数依次为
答案
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A.25，27 B.26，25
C.26，27 D.27，25
√
答案
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左侧一组数据从小到大排列为14，16，21，22，25，27，30，32，33，38，所以中位数是×(25+27)=26；右侧一组数据从小到大排列为12，18，22，24，25，27，31，32，33，所以中位数是25.
解析
6.(多选)给出如图所示的三幅统计图及四个命题，其中命题正确的是


A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口大约将达到15亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲的人口增长速度最慢
答案
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√
答案
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从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；
从柱形图中可得到2050年非洲人口数大约将达到18亿，故B错误；
从扇形图中能明显得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；
由上述三幅图并不能得出从1957年到2050年哪个洲的人口增长速度最慢，故D错误.
解析
7.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的75%分位数分别是　　　　，　　　　.
甲组数据为28，31，39，42，45，55，57，58，66，共9个，9×75%=6.75，所以甲组数据的75%分位数是57；乙组数据为29，34，35，42，46，48，53，55，67，共9个，9×75%=6.75，所以乙组数据的75%分位数是53.
解析
答案
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8.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用分层抽样法，则50岁以上年龄段应抽取　　　　人.
由图可知，50岁以上的职工所占的百分比为20%，按分层抽样法应抽取的人数为40×20%=8.
解析
答案
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8
9.如图是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图①、图②解答下列问题：
答案
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图①　　　　　图②
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图①中的统计图补充完整；
答案
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290-(85+80+65)=60(万元)，补图如图.
解
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？
答案
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85×23%=19.55(万元)，所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.
解
(3)小刚观察图②后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由.
答案
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不同意.理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元)，
4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元).而10.8<11.05，因此
4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.
解
10.为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如表所示：
答案
1
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甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(1)画出茎叶图，由茎叶图分别求出甲、乙运动员的最大速度的中位数；
答案
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茎叶图如图所示.
解
所以甲的最大速度的中位数为=33，乙的最大速度的中位数为=33.5.
答案
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甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(2)计算甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适.
答案
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甲的最大速度的平均数为=×(27+30+31+35+37+38)=33，
乙的最大速度的平均数为=×(28+29+33+34+36+38)=33，
甲的最大速度的方差为=×(36+9+4+4+16+25)=，
乙的最大速度的方差为=×(25+16+1+9+25)=，
甲、乙的最大速度的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适.
解
11.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
综合运用
答案
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√
由茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分是32分，乙运动员的得分除一个52分外，也大致对称，平均得分是25.1分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.甲运动员的最低得分为10分.
解析
答案
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12.肠胃病的严重程度一般可体现在排便量、排便时长上.某高中为了了解学生中患肠胃病人数占比和患病严重程度，对高一、高二年级的学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便10分钟内为正常，排便10~20分钟为轻度肠胃病，排便20分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一年级有学生1 000人，高二年级有学生1 200人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是
答案
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A.高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的少
B.高一年级学生轻度肠胃病人数占比比高二年级的低
C.高一年级学生重度肠胃病人数占比比高二年级的低
D.高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的高
答案
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由扇形图可得高一年级的学生中肠胃病人数为1 000×(1-45%)=550，
高一年级的学生中轻度肠胃病人数占比为42%，
高一年级的学生中重度肠胃病人数占比为13%，
高一年级学生的肠胃质量参数为=≈0.82，
由条形图可得高二年级的学生中肠胃病人数为389+165=554，
高二年级的学生中轻度肠胃病人数占比为≈32%，
解析
答案
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高二年级的学生中重度肠胃病人数占比为=≈14%，
高二年级学生的肠胃质量参数为=≈1.17，
所以高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的多，A错误；
高一年级学生的轻度肠胃病人数占比比高二年级的高，B错误；
高一年级学生的重度肠胃病人数占比比高二年级的低，C正确；
高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的低，D错误.
解析
13.(多选)如图是甲、乙两人在某次射击测试中6次命中环数的折线图，则
A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则<
B.若甲、乙射击成绩的方差分别为，，则<
C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D.乙比甲的射击成绩稳定
答案
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甲在射击测试中6次命中环数为6，7，8，9，9，10，乙在射击测试中6次命中环数为5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为，，甲、乙射击成绩的方差分别为，，则=×(9+10+6+7+9+8)≈
8.17，=×(6+7+5+5+7+7)≈6.17，所以>，故选项A错误；
由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小，所以>，乙比甲的射击成绩稳定，故选项B错误，选项D正确；
甲射击成绩的中位数为=8.5，乙射击成绩的中位数为=6.5，故选项C正确.
解析
14.对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图所示的柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩的平均数是　　　　.
答案
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2.95
参加体能测试的人数是12÷30%=40，成绩为3分的人数是40×42.5%=
17，成绩为2分的人数是40-3-17-12=8，所以这些学生成绩的平均数是=2.95.
解析
15.(多选)某同学10次测评成绩(成绩均为整数)的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则下列说法正确的是
A.x+y=4
B.总体的平均数为11.2
C.若要使该总体的标准差最小，则x=2，y=2
D.该总体的最小方差为58.44
拓广探究
答案
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由中位数为12可得=12，解得x+y=4，A正确；
易知依题意可得平均数为×(2×2+3+4+2×12+19×2+20+21)=11.4，B错误；
由于(10-11.4)2+(14-11.4)2=8.72，
(11-11.4)2+(13-11.4)2=2.72，
(12-11.4)2+(12-11.4)2=0.72，
因为8.72>2.72>0.72，
所以当且仅当x=2，y=2时，总体的标准差最小，C正确；
解析
答案
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该总体的最小方差为[(2-11.4)2×2+(3-11.4)2+(4-11.4)2+(12-11.4)2×2+
(19-11.4)2×2+(20-11.4)2+(21-11.4)2]×=58.44，D正确.
解析
16.如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线图，试根据折线图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位： ℃)的柱形图和扇形图.
答案
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该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
解
柱形图如图所示.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温 -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2
答案
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扇形图如图所示.
解
第五章　5.1.3　数据的直观表示
<<<5.1.3　数据的直观表示
第1课时　柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
学习目标　1.了解统计图表的作用与意义.2.会利用合适的统计图表研究生活中的例子.
导语
抽取样本是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点，但是面对多而杂的数据，我们往往无法直接从原始数据中获取它们所包含的信息.因此，必须借助于图、表、计算来分析数据，帮助我们从中找出数据的规律.
一、柱形图与折线图
问题1　观察以下两种统计图，你能说出各自的优点吗？
(1)柱形图(如图).
(2)折线图(如图).
提示　柱形图能直观地显示每组中的具体数据；
折线图能直观显示数据的变化趋势.
知识梳理
1.柱形图(也称为条形图)
作用 形象地比较各种数据之间的数量关系
特征 (1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例； (2)每一矩形都是等宽的
2.折线图
作用 形象地表示数据的变化趋势
特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据
注意点：
(1)当数据量很大时一般选用柱形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是柱形图会损失数据的部分信息.
(2)折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况.
例1　(1)(多选)2024年4月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与3月份相比)变动情况，如图所示.
则下列叙述正确的是(　　)
A.八大类消费价格环比呈现四涨四平
B.其他用品和服务价格环比涨幅最大
C.生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D.4月份居民消费平均价格环比持平
答案　ABC
解析　在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，另外四类分别上涨，A正确；其中其他用品和服务价格环比涨幅最大，为0.4%，B正确；生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅均为0.1%，C正确；居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%+0.3%+0.1%+0.4%)÷8=0.112 5%，D错误.
(2)(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的是(　　)
A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油
答案　ABD
解析　从图可知消耗1 L汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km，故A错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，消耗汽油最少，故B错误；若甲车以80 km/h的速度行驶，由图可知，“燃油效率”为10 km/L，所以行驶1 h，消耗8 L汽油，所以C正确；若某城市机动车最高限速80 km/h，从图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，D错误.
反思感悟　(1)柱形图中，各小矩形宽相等.
(2)注意横、纵轴的意义.
(3)由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型.
跟踪训练1　(1)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了柱形图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是　　　　.
答案　0.1
解析　由图可知，参加羽毛球活动的人数为4，所以频率为=0.1.
(2)据报道，某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，如图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为(　　)
A.79.9% B.70.9% C.38.8% D.32.1%
答案　B
解析　根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求值为38.8%+32.1%=70.9%.
二、扇形图
问题2　观察扇形图(如图)，你能说出它的优点吗？
提示　扇形图能直观地显示各部分所占总体的百分比.
知识梳理　扇形图(也称为饼图、饼形图)
作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况
特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比
注意点：
扇形图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据是多少.
例2　(多选)如图为某商场一天营业额的扇形图，根据统计图你能得出的信息为(　　)
A.该商场家用电器日销售额占全商场日营业额的40%
B.服装鞋帽和百货日杂的日销售额共29 000元
C.家用电器部所得利润最高
D.副食的日销售额为该商场日营业额的10%
答案　ABD
解析　对于A，由图可知显然正确；
对于B，由副食的销售额和占比可得商场一天总的营业额为5 800÷10%=58 000(元)，故服装鞋帽和百货日杂的日销售额为58 000×(30%+20%)=29 000(元)，故B正确；
对于C，由图不能得出家用电器部所得利润最高，故C错误；
对于D，由图可知，副食的日销售额占比为1-40%-30%-20%=10%，故D正确.
反思感悟　在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形的面积与圆的面积之比.
跟踪训练2　某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为　　　　；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　　　　小时.
答案　50　1 015
解析　由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%=50(件)，该产品的平均使用寿命为=1 015(小时).
三、茎叶图
问题3　林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽取了10株树苗进行检测，量出它们的高度如下(单位：cm)：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.
你能用适当的统计图表示上面的数据吗？
提示　如图所示，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数.
知识梳理　茎叶图
作用 (1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征； (2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息； (3)比较两组数据的集中或分散程度
特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列
注意点：
对于样本数据较少，但较为集中的一组数据，若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶；若样本数据是小数，则将整数部分作茎，小数部分作叶.
例3　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8，9，10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称的，叶主要集中在7，8，9的茎上.所以乙同学的成绩总体情况比甲同学好.
反思感悟　茎叶图的画法步骤
(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.
(2)将最小的茎和最大的茎之间的数按从小到大的顺序从上到下列出，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线.
(3)将各个数据的叶写在其茎右(左)侧.
跟踪训练3　(多选)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图.则下列结论正确的是(　　)
A.甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数
B.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数
C.从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定
D.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定
答案　BC
解析　对于A，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；
对于B，甲得分的平均数为×(25+28+29+31+32)=29，乙得分的平均数为×(28+29+30+31+32)=30，正确；
对于C，甲得分的方差为×[(25-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(32-29)2]=×(16+1+0+4+9)=6，
乙得分的方差为×[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]=×(4+1+0+1+4)=2，所以乙比甲更稳定，C正确，D错误.
1.知识清单：
(1)柱形图、折线图、扇形图、茎叶图的识别.
(2)四种统计图表的比较.
2.方法归纳：数据分析、图表识别.
3.常见误区：
(1)统计图表的选择.
(2)对茎叶图的绘制规则认识不够致错.
1.下面哪种统计图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到(　　)
A.柱形图 B.茎叶图 C.扇形图 D.折线图
答案　B
解析　由茎叶图的特点知，茎叶图满足上述条件.
2.(多选)某班班长统计了去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，并绘制了如图所示的折线图，则下列说法正确的是(　　)
A.阅读数量最大的是8月份
B.阅读数量最小的是1月份
C.阅读数量最大的月份比最小的月份多55本
D.每月阅读数量超过40的有4个月
答案　AC
解析　由折线图可得，阅读数量最大的月份为8月份，阅读量为83本，故A正确；阅读数量最小的月份为6月份，阅读量为28本，故B错误；阅读数量最大的月份比最小的月份多55本，故C正确；每月阅读数量超过40的有2月、3月、4月、5月、7月、8月共有6个月，故D错误.
3.在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如图所示两幅不完整的统计图，则选手B的票数为(　　)
A.300 B.90 C.75 D.85
答案　C
解析　调查总人数为105÷35%=300，
C选手的票数为300×30%=90，
B选手的票数为300-105-90-30=75.
4.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均分为　　　　；若乙的平均分是89，则污损的数字是　　　　.
答案　90　3
解析　甲的平均分为=90.
设污损处对应的数字为x，由题意可得，
89×5=83+83+87+x+90+99，解得x=3.
故污损的数字是3.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分
1.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为(　　)
A.96 B.126 C.144 D.174
答案　D
解析　由统计图可知，该校文科教师中女教师的人数为120×0.7=84，该校理科教师中女教师的人数为225×0.4=90，所以该校女教师的人数为84+90=174.
2.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图所示)，据此计算该校被抽取的20名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15，25)内的人数为(　　)
A.3 B.6 C.7 D.5
答案　B
解析　由茎叶图可得，被抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15，25)内的人数为6.
3.(多选)某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分(满分5分，分值高者为优)的雷达图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.在200米项目中，A班的得分比B班的得分高
B.在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高
C.在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高
D.B班的总分比A班的总分高
答案　ACD
解析　对于A，在200米项目中，A班的得分为4分，B班的得分为3分，A班的得分比B班的高，A正确；
对于B，在铅球项目中，A班的得分为3分，B班的得分为4分，A班的得分比B班的低，B错误；
对于C，在跳高项目中，B班的得分为4分，A班的得分为3分，B班的得分比A班的高，C正确；
对于D，B班的总分为5+3+4+5+3+4=24(分)，
A班的总分为4+4+3+5+4+3=23(分)，即B班的总分比A班的总分高，D正确.
4.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.
根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是(　　)
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大
C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
答案　B
解析　柱形图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百分比为1 200÷(1 200+2 000+1 200+1 600)=20%；从扇形图乙可知，乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大.
5.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以免费领取一张“福”字或一副春联.茎叶图的统计数据是在不同时段内领取“福”字和春联的人数，则它们的中位数依次为(　　)
A.25，27 B.26，25 C.26，27 D.27，25
答案　B
解析　左侧一组数据从小到大排列为14，16，21，22，25，27，30，32，33，38，所以中位数是×(25+27)=26；右侧一组数据从小到大排列为12，18，22，24，25，27，31，32，33，所以中位数是25.
6.(多选)给出如图所示的三幅统计图及四个命题，其中命题正确的是(　　)
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口大约将达到15亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲的人口增长速度最慢
答案　AC
解析　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到2050年非洲人口数大约将达到18亿，故B错误；从扇形图中能明显得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由上述三幅图并不能得出从1957年到2050年哪个洲的人口增长速度最慢，故D错误.
7.(5分)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的75%分位数分别是　　　　，　　　　.
答案　57　53
解析　甲组数据为28，31，39，42，45，55，57，58，66，共9个，9×75%=6.75，所以甲组数据的75%分位数是57；乙组数据为29，34，35，42，46，48，53，55，67，共9个，9×75%=6.75，所以乙组数据的75%分位数是53.
8.(5分)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用分层抽样法，则50岁以上年龄段应抽取　　　　人.
答案　8
解析　由图可知，50岁以上的职工所占的百分比为20%，按分层抽样法应抽取的人数为40×20%=8.
9.(10分)如图是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图①、图②解答下列问题：
图①　　　　　　　　图②
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图①中的统计图补充完整；(3分)
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？(3分)
(3)小刚观察图②后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由.(4分)
解　(1)290-(85+80+65)=60(万元)，补图如图.
(2)85×23%=19.55(万元)，所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.
(3)不同意.理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元)，4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元).而10.8<11.05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.
10.(10分)为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如表所示：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(1)画出茎叶图，由茎叶图分别求出甲、乙运动员的最大速度的中位数；(4分)
(2)计算甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适.(6分)
解　(1)茎叶图如图所示.
所以甲的最大速度的中位数为=33，乙的最大速度的中位数为=33.5.
(2)甲的最大速度的平均数为=×(27+30+31+35+37+38)=33，
乙的最大速度的平均数为=×(28+29+33+34+36+38)=33，
甲的最大速度的方差为
=×(36+9+4+4+16+25)=，
乙的最大速度的方差为
=×(25+16+1+9+25)=，
甲、乙的最大速度的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适.
11.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是(　　)
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
答案　A
解析　由茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分是32分，乙运动员的得分除一个52分外，也大致对称，平均得分是25.1分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.甲运动员的最低得分为10分.
12.肠胃病的严重程度一般可体现在排便量、排便时长上.某高中为了了解学生中患肠胃病人数占比和患病严重程度，对高一、高二年级的学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便10分钟内为正常，排便10~20分钟为轻度肠胃病，排便20分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一年级有学生1 000人，高二年级有学生1 200人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是(　　)
A.高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的少
B.高一年级学生轻度肠胃病人数占比比高二年级的低
C.高一年级学生重度肠胃病人数占比比高二年级的低
D.高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的高
答案　C
解析　由扇形图可得高一年级的学生中肠胃病人数为1 000×(1-45%)=550，
高一年级的学生中轻度肠胃病人数占比为42%，
高一年级的学生中重度肠胃病人数占比为13%，
高一年级学生的肠胃质量参数为=≈0.82，
由条形图可得高二年级的学生中肠胃病人数为389+165=554，
高二年级的学生中轻度肠胃病人数占比为≈32%，
高二年级的学生中重度肠胃病人数占比为=≈14%，
高二年级学生的肠胃质量参数为=≈1.17，
所以高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的多，A错误；
高一年级学生的轻度肠胃病人数占比比高二年级的高，B错误；
高一年级学生的重度肠胃病人数占比比高二年级的低，C正确；
高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的低，D错误.
13.(多选)如图是甲、乙两人在某次射击测试中6次命中环数的折线图，则(　　)
A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则<
B.若甲、乙射击成绩的方差分别为，，则<
C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D.乙比甲的射击成绩稳定
答案　CD
解析　甲在射击测试中6次命中环数为6，7，8，9，9，10，乙在射击测试中6次命中环数为5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为，，甲、乙射击成绩的方差分别为，，则=×(9+10+6+7+9+8)≈8.17，=×(6+7+5+5+7+7)≈6.17，所以>，故选项A错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小，所以>，乙比甲的射击成绩稳定，故选项B错误，选项D正确；甲射击成绩的中位数为=8.5，乙射击成绩的中位数为=6.5，故选项C正确.
14.(5分)对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图所示的柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩的平均数是　　　　.
答案　2.95
解析　参加体能测试的人数是12÷30%=40，成绩为3分的人数是40×42.5%=17，成绩为2分的人数是40-3-17-12=8，所以这些学生成绩的平均数是=2.95.
15.(多选)某同学10次测评成绩(成绩均为整数)的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则下列说法正确的是(　　)
A.x+y=4
B.总体的平均数为11.2
C.若要使该总体的标准差最小，则x=2，y=2
D.该总体的最小方差为58.44
答案　ACD
解析　由中位数为12可得=12，解得x+y=4，A正确；
易知依题意可得平均数为×(2×2+3+4+2×12+19×2+20+21)=11.4，B错误；
由于(10-11.4)2+(14-11.4)2=8.72，
(11-11.4)2+(13-11.4)2=2.72，
(12-11.4)2+(12-11.4)2=0.72，
因为8.72>2.72>0.72，
所以当且仅当x=2，y=2时，总体的标准差最小，C正确；
该总体的最小方差为[(2-11.4)2×2+(3-11.4)2+(4-11.4)2+(12-11.4)2×2+(19-11.4)2×2+(20-11.4)2+(21-11.4)2]×=58.44，D正确.
16.(11分)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线图，试根据折线图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位： ℃)的柱形图和扇形图.
解　该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温 -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2
柱形图如图所示.
扇形图如图所示.(共92张PPT)
第2课时
频数分布直方图与频率分布直方图
第五章　5.1.3　数据的直观表示
<<<
1.会列频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图和频率分布折线图.
2.能够利用图形解决实际问题.
学习目标
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息.因为实际问题中数据多而杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述.怎样才能直观地表示出数据的大致分布呢？
导 语
一、频数与频率
二、频数、频率分布直方图及其折线图的绘制
课时对点练
三、频率分布直方图的应用
随堂演练
内容索引
频数与频率
一
1.频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
2.频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比值称为频率，区间对应的频数与这组数据个数的比值称为区间对应的频率.
　(1)将容量为100的样本数据分为8组，如表所示：
例 1
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第3组的频率为
A.0.03 B.0.07
C.0.14 D.0.21
√
由题意得x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=14，
所以第3组的频率为=0.14.
解析
(2)如图，一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60]内的频率为0.6，则估计样本在[40，50)，[50，60]内的数据个数之和为　　　　.
根据题意，设分布在[40，50]，[50，60]内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20，60]内的频率为0.6，样本容量为50，∴=0.6，解得x+y=21.
即样本在[40，50)，[50，60]内的数据个数之和为21.
解析
21
对于频数与频率的问题，首先要明确几个关系，即各组的频数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率=.在解题过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清楚已知和所求，选择合适的公式解题.
反
思
感
悟
　某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
跟踪训练 1
分组 频数 频率
[80，90) ① ②
[90，100) 0.050
[100，110) 0.200
[110，120) 36 0.300
[120，130) 0.275
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为　　　　，②处的数值为　　　　.
分组 频数 频率
[130，140) 12 ③
[140，150] 0.050
合计 ④
3
0.025
由成绩在[110，120)内的频数为36，频率为=0.300，得样本容量n=120，所以成绩在[130，140)内的频率为=0.100，故②处应为1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.100-0.050=0.025，①处应为0.025×120=3.
解析
二
频数、频率分布直方图及其折线图的绘制
1.频数分布直方图与频率分布直方图的绘制步骤(1)找出最值，计算极差；
(2)合理分组，确定区间；
(3)整理数据；
(4)作出有关图示.
频数分布 直方图 纵坐标是 ，每一组数对应的矩形高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是_____，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为__
频数
1
2.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的 用线段连接起来，且画成与横轴相交.
中点
绘制频率分布直方图应注意
(1)决定组距与组数：组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程.当样本容量不超过100时，常分成5~12组.
注 意 点
<<<
(2)分点的确定：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有一位数字的数，则分点数据减去0.05，以此类推.分组时，通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.
注 意 点
<<<
某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135 98 102 110 99 121 110 96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
例 2
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135-80=55.取组距为5，则组数为=11.
频率分布表如下：
解
分组 频数 频率 频率/组距
[80，85) 1 0.01 0.002
[85，90) 2 0.02 0.004
[90，95) 4 0.04 0.008
[95，100) 14 0.14 0.028
[100，105) 24 0.24 0.048
分组 频数 频率 频率/组距
[105，110) 15 0.15 0.030
[110，115) 12 0.12 0.024
[115，120) 9 0.09 0.018
[120，125) 11 0.11 0.022
[125，130) 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
合计 100 1.00 0.200
解
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)画出频率分布直方图和折线图.
根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示.
解
列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系
(1)若为整数，则=组数；
(2)若不为整数，则的整数部分+1=组数.
反
思
感
悟
有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[-20，-15)，7；[-15，-10)，11；[-10，-5)，15；[-5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
跟踪训练 2
频率分布表如表：
解
分组 频数 频率
[-20，-15) 7 0.035
[-15，-10) 11 0.055
[-10，-5) 15 0.075
[-5，0) 40 0.200
[0，5) 49 0.245
[5，10) 41 0.205
[10，15) 20 0.100
[15，20] 17 0.085
合计 200 1.000
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
解
(3)求样本数据不足0的频率.
样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
解
频率分布直方图的应用
三
某中学进行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，x，第五组小矩形的高度为y.
例 3
(1)求x，y的值；
∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1，
∴x=0.05，y==0.005.
解
(2)估计参赛学生成绩的众数和中位数；
由于第二组频率最大，估计众数为第二组中间值65.设中位数为z，
则0.03×10+(z-60)×0.04=0.5，
解得z=65，所以中位数为65.
解
(3)估计参赛学生的平均成绩；
估计参赛学生的平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
解
(4)若第五组的频数为2，求高一两个班参赛学生的人数.
设高一两个班参赛学生的人数为n，
则2=0.05n，∴n=40，
即高一两个班参赛学生的人数为40.
解
频率分布直方图中，各数字特征虽不能直接求出，但是可以近似估计
(1)中位数：频率分布直方图中，中位数左边和右边各矩形的面积和相等，由此可以估计中位数的值.
(2)众数：频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标.
反
思
感
悟
(3)平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与其底边中点的横坐标之积的和.
(4)方差：s2=pi(-)2(其中n为组数，为估计平均值，pi，分别为第i组的频率和中点值).
反
思
感
悟
某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量(单位：吨)进行了统计调查，将得到的数据按[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.
跟踪训练3
(1)求m；
由图可得(0.01+m+0.04+0.02)×10=1，得m=0.03.
解
(2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为x，
因为第一组和第二组数据的频率之和为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，
第一组、第二组和第三组数据的频率之和为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8
>0.5.
所以x∈[35，45)，由0.4+0.04×(x-35)=0.5，得x=37.5.
故估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数为37.5吨.
解
(3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表).
估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数=20×0.1+30×
0.3+40×0.4+50×0.2=37(吨)，
方差s2=(20-37)2×0.1+(30-37)2×0.3+(40-37)2×0.4+(50-37)2×0.2=81.
解
1.知识清单：
(1)频数与频率.
(2)频率(数)分布直方图的绘制.
(3)频率分布直方图的应用.
2.方法归纳：图表识别、数据分析.
3.常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.频率分布直方图中，小长方形的面积等于
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率.
解析
√
1
2
3
4
2.某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重数据.将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40~45 kg的人数是
A.10 B.2
C.5 D.15
由图可知频率=×组距，知频率为0.02×5=0.1.所以所抽取的女生中体重在40~45 kg的有0.1×100=10(人).
解析
√
1
2
3
4
3.小明准备将某次数学考试的分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65，135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则
A.X>Y
B.X=Y
C.XD.X，Y的大小关系不能确定
√
1
2
3
4
由图可知，考试分数在[65，75)，[75，85)，[85，95)，[95，105)，[105，115)的频率分别为0.2，0.225，0.25，0.125，0.1，
所以考试分数在[115，135]的频率为1-(0.2+0.225+0.25+0.125+0.1)=0.1，
因为0.2+0.225=0.425，0.2+0.225+0.25=0.675，
所以中位数在[85，95)内，
所以Y=85+×10=88，
解析
1
2
3
4
又因为X≥70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+120×
0.1=90，
所以X>Y.
解析
1
2
3
4
4.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是　　　　(填整数).
133
由已知可以判断a∈[130，140)，所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=
20.解得a≈133.
解析
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B BCD BCD 300 48
题号 11 12 13 14 答案 AD 25　2 0.030　3 ABD
对一对
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本数据在[15，18)内的频率等于×3
=.
(2)因为样本数据在[15，18)内的频数为8，由(1)可知，
样本容量为=8×=50.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(3)因为在[12，15)内的小矩形面积为0.06，
故样本数据在[12，15)内的频率为0.06，
故样本数据在[15，33]内的频数为
50×(1-0.06)=47，
又样本数据在[15，18)内的频数为8，
故样本数据在[18，33]内的频数为47-8=39.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[41，51) 2
[51，61) 1
[61，71) 4
[71，81) 6
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
分组 频数 频率
[81，91) 10
[91，101) 5
[101，111] 2
合计 30 1
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)频率分布直方图如图所示.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善.
基础巩固
1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A.45 B.50
C.55 D.60
√
根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005+0.01)×20
=0.3，所以该班的学生人数是=50.
解析
2.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积之和的，且样本容量为200，则第8组的频数为
A.40 B.0.2
C.50 D.0.25
答案
1
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14
√
答案
1
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3
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11
12
13
14
设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x+4x=1，所以x=0.2.故第8组的频数为200×0.2=40.
解析
3.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为
A.62，62.5 B.65，62
C.65，62.5 D.62.5，62.5
答案
1
2
3
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5
6
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9
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11
12
13
14
最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65，前两个矩形的面积和为(0.01+0.03)×10=0.4，由于0.5-0.4=0.1，又0.1÷0.04=2.5，所以中位数为60+2.5=62.5.
解析
√
4.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
答案
1
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3
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5
6
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11
12
13
14
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
√
答案
1
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3
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5
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8
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13
14
比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，标准差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，标准差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，标准差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
解析
5.(多选)某企业为了了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正确的是
A.样本中位数是200元
B.样本容量是20
C.该企业员工捐款金额的极差是450元
D.该企业员工最大捐款金额是500元
答案
1
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14
√
√
√
答案
1
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14
对于A，共2+8+5+4+1=20(人)，中位数为150元，错误；
对于B，共20人，故样本容量为20，正确；
对于C，极差为500-50=450(元)，正确；
对于D，该企业员工最大捐款金额是500元，正确.
解析
6.(多选)某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上面一边的中点用线段连接起来得到频率分布折线图(如图所示).
据此图，下列说法正确的是
A.由频率分布折线图可以看出，在区间[80，120)内，
随着成绩的增加，各分数段对应的人数一直增加
B.由频率分布折线图可以看出，在区间[110，140)
内，各分数段对应的人数逐渐减少
C.据频率分布折线图可以估计此次考试成绩的众数是115
D.据频率分布折线图可以看出有50%以上的同学的分数在区间[100，130)内
答案
1
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3
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5
6
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14
√
√
√
答案
1
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13
14
由题图可知分数在[90，100)与[100，110)内的人数相同，故A错误；
由折线变化趋势可知B正确；
区间[110，120)对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数也最大，据此估计此次考试成绩的众数为115，故C正确；
由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确.
解析
7.某个容量为1 000的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为　　　　.
根据题意，易知样本数据落在[4，5)内的频率为1-(0.40+0.15+0.10+0.05)
×1=0.3，
故频数为0.3×1 000=300.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
300
8.为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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12
13
14
48
设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，
则有a+2a+3a+(0.013+0.037)×5=1，
解得a=0.125，所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25=，所以n=48.
解析
答案
1
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4
5
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11
12
13
14
9.如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)求样本数据在[15，18)内的频率；
由样本频率分布直方图可知组距为3.
由样本频率分布直方图得样本数据在[15，18)内的频率等于×3=.
解
(2)求样本容量；
答案
1
2
3
4
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7
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11
12
13
14
因为样本数据在[15，18)内的频数为8，由(1)可知，
样本容量为=8×=50.
解
(3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数.
答案
1
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3
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6
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11
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13
14
答案
1
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12
13
14
因为在[12，15)内的小矩形面积为0.06，
故样本数据在[12，15)内的频率为0.06，
故样本数据在[15，33]内的频数为
50×(1-0.06)=47，
又样本数据在[15，18)内的频数为8，
故样本数据在[18，33]内的频数为47-8=39.
解
10.某市4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为烟尘、总悬浮颗粒物等)：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
(1)列出频率分布表；
答案
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
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10
11
12
13
14
频率分布表：
解
分组 频数 频率
[41，51) 2
[51，61) 1
[61，71) 4
[71，81) 6
答案
1
2
3
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7
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11
12
13
14
解
分组 频数 频率
[81，91) 10
[91，101) 5
[101，111] 2
合计 30 1
(2)作出频率分布直方图；
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
频率分布直方图如图所示.
解
(3)根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，为良(特别说明：在80以上时被认为接近轻微污染)；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价.
答案
1
2
3
4
5
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7
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11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
13
14
答对下述两条中的一条即可.
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善.
解
11.(多选)为了解实际通行某大桥所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38)，[38，41)，[41，44)，[44，47)，[47，50]五组，其中通行时间在[38，47)内的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是(同一组数据用该区间的中点值代替)
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
A.n=200
B.n=280
C.抽取的车辆中通行时间在[35，38)内的车辆有4台
D.抽取的车辆中通行时间在[35，38)内的车辆有12台
√
√
由频率分布直方图可得，通行时间在[38，47)内的车辆对应的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91，所以n==200.故通行时间在[35，38)内的车辆有200×0.02×3=12(台).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12.某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为　　　　，分数在[90，100]内的人数为　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
25
2
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由频率分布直方图知，分数在[90，100]内的频率和[50，60)内的频率相同，所以分数在[90，100]内的人数为2，总人数为=25.
解析
13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.030
3
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005+
0.035+a+0.020+0.010)=1，解得a=0.030.由频率分布直方图可知身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生总数为100×10×
(0.030+0.020+0.010)=60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内抽取的学生人数为×18=3.
解析
14.(多选)学校分别对高一年级和高二年级的学生开展体育水平抽样测试，分别抽取相同数量的学生，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
拓广探究
A.样本中高二年级学生的体育成绩的众数是85
B.样本中高二年级学生的体育成绩在80分及以上
的人数多于高一年级学生的体育成绩在80分及
以上的人数
C.样本中高二年级学生的体育成绩的方差大于高一年级学生的体育成绩的方差
D.样本中高二年级学生的体育成绩的中位数大于高一年级学生的体育成绩的中位数
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A，由高二年级学生的体育成绩的频率分布直方图可知，高二年级学生的体育成绩的众数为85，所以A正确；
对于B，由样本中高二年级学生的体育成绩在80分及以上的人数的频率为(0.04+0.015)×10=0.55，
高一年级学生的体育成绩在80分及以上的人数的频率为(0.022+0.01)×
10=0.32，
所以高二年级学生的体育成绩在80分及以上的人数多于高一年级学生的体育成绩在80分及以上的人数，所以B正确；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于C，由频率分布直方图可得，高一年级学生的体育成绩的平均数为(45×0.004+55×0.011+65×0.018+75×0.035+85×0.022+95×0.01)×10=74，
则高一年级学生的体育成绩的方差为
=(45-74)2×0.04+(55-74)2×0.11+(65-74)2×0.18+(75-74)2×0.35 +(85-74)2×
0.22+(95-74)2×0.1=159，
高二年级学生的体育成绩的平均数为
(45×0.002 5+55×0.002 5+65×0.005+75×0.035+85×0.04+95×0.015)
×10=80.25，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
可得高二年级学生的体育成绩的方差为
=(45-80.25)2×0.025+(55-80.25)2×0.025+(65-80.25)2×0.05 +(75-80.25)2×
0.35+(85-80.25)2×0.4+(95-80.25)2×0.15≈110，
所以样本中高二年级学生的体育成绩的方差小于高一年级学生的体育成绩的方差，所以C不正确；
对于D，由高一年级学生的体育成绩的频率分布直方图，
可得图中前3个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018)×10=0.33，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
前4个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018+0.035)×10=0.68，
所以高一年级学生的体育成绩的中位数在[70，80)内，
由高二年级学生的体育成绩的频率分布直方图，
可得图中前4个矩形的面积和为(0.002 5+0.002 5+0.005+0.035)×10=0.45，
前5个矩形的面积和为(0.002 5+0.002 5+0.005+0.035+0.04)×10=0.85，
所以高二年级学生的体育成绩的中位数在[80，90)内，
所以样本中高二年级学生的体育成绩的中位数大于高一年级学生的体育成绩的中位数，所以D正确.
解析
第五章　5.1.3　数据的直观表示
<<<第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图
学习目标　1.会列频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图和频率分布折线图.2.能够利用图形解决实际问题.
导语
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息.因为实际问题中数据多而杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述.怎样才能直观地表示出数据的大致分布呢？
一、频数与频率
1.频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
2.频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比值称为频率，区间对应的频数与这组数据个数的比值称为区间对应的频率.
例1　(1)将容量为100的样本数据分为8组，如表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第3组的频率为(　　)
A.0.03 B.0.07 C.0.14 D.0.21
(2)如图，一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60]内的频率为0.6，则估计样本在[40，50)，[50，60]内的数据个数之和为　　　　.
答案　(1)C　(2)21
解析　(1)由题意得x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=14，所以第3组的频率为=0.14.
(2)根据题意，设分布在[40，50]，[50，60]内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20，60]内的频率为0.6，样本容量为50，∴=0.6，解得x+y=21.
即样本在[40，50)，[50，60]内的数据个数之和为21.
反思感悟　对于频数与频率的问题，首先要明确几个关系，即各组的频数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率=.在解题过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清楚已知和所求，选择合适的公式解题.
跟踪训练1　某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组 频数 频率
[80，90) ① ②
[90，100) 0.050
[100，110) 0.200
[110，120) 36 0.300
[120，130) 0.275
[130，140) 12 ③
[140，150] 0.050
合计 ④
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为　　　　，②处的数值为　　　　.
答案　3　0.025
解析　由成绩在[110，120)内的频数为36，频率为=0.300，得样本容量n=120，所以成绩在[130，140)内的频率为=0.100，故②处应为1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.100-0.050=0.025，①处应为0.025×120=3.
二、频数、频率分布直方图及其折线图的绘制
1.频数分布直方图与频率分布直方图的绘制步骤(1)找出最值，计算极差；
(2)合理分组，确定区间；
(3)整理数据；
(4)作出有关图示.
频数分布 直方图 纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1
2.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交.
注意点：
绘制频率分布直方图应注意
(1)决定组距与组数：组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程.当样本容量不超过100时，常分成5~12组.
(2)分点的确定：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有一位数字的数，则分点数据减去0.05，以此类推.分组时，通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.
例2　某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135 98 102 110 99 121 110 96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图.
解　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135-80=55.取组距为5，则组数为=11.
(1)频率分布表如下：
分组 频数 频率 频率/组距
[80，85) 1 0.01 0.002
[85，90) 2 0.02 0.004
[90，95) 4 0.04 0.008
[95，100) 14 0.14 0.028
[100，105) 24 0.24 0.048
[105，110) 15 0.15 0.030
[110，115) 12 0.12 0.024
[115，120) 9 0.09 0.018
[120，125) 11 0.11 0.022
[125，130) 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
合计 100 1.00 0.200
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示.
反思感悟　列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系
(1)若为整数，则=组数；
(2)若不为整数，则的整数部分+1=组数.
跟踪训练2　有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[-20，-15)，7；[-15，-10)，11；[-10，-5)，15；[-5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率.
解　(1)频率分布表如表：
分组 频数 频率
[-20，-15) 7 0.035
[-15，-10) 11 0.055
[-10，-5) 15 0.075
[-5，0) 40 0.200
[0，5) 49 0.245
[5，10) 41 0.205
[10，15) 20 0.100
[15，20] 17 0.085
合计 200 1.000
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
(3)样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
三、频率分布直方图的应用
例3　某中学进行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，x，第五组小矩形的高度为y.
(1)求x，y的值；
(2)估计参赛学生成绩的众数和中位数；
(3)估计参赛学生的平均成绩；
(4)若第五组的频数为2，求高一两个班参赛学生的人数.
解　(1)∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1，
∴x=0.05，y==0.005.
(2)由于第二组频率最大，估计众数为第二组中间值65.设中位数为z，则0.03×10+(z-60)×0.04=0.5，
解得z=65，所以中位数为65.
(3)估计参赛学生的平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
(4)设高一两个班参赛学生的人数为n，
则2=0.05n，∴n=40，
即高一两个班参赛学生的人数为40.
反思感悟　频率分布直方图中，各数字特征虽不能直接求出，但是可以近似估计
(1)中位数：频率分布直方图中，中位数左边和右边各矩形的面积和相等，由此可以估计中位数的值.
(2)众数：频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标.
(3)平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与其底边中点的横坐标之积的和.
(4)方差：s2=pi(-)2(其中n为组数，为估计平均值，pi，分别为第i组的频率和中点值).
跟踪训练3　某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量(单位：吨)进行了统计调查，将得到的数据按[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求m；
(2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
(3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表).
解　(1)由图可得(0.01+m+0.04+0.02)×10=1，得m=0.03.
(2)设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为x，
因为第一组和第二组数据的频率之和为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，
第一组、第二组和第三组数据的频率之和为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5.
所以x∈[35，45)，由0.4+0.04×(x-35)=0.5，得x=37.5.
故估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数为37.5吨.
(3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数=20×0.1+30×0.3+40×0.4+50×0.2=37(吨)，
方差s2=(20-37)2×0.1+(30-37)2×0.3+(40-37)2×0.4+(50-37)2×0.2=81.
1.知识清单：
(1)频数与频率.
(2)频率(数)分布直方图的绘制.
(3)频率分布直方图的应用.
2.方法归纳：图表识别、数据分析.
3.常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.频率分布直方图中，小长方形的面积等于(　　)
A.组距 B.频率 C.组数 D.频数
答案　B
解析　根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率.
2.某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重数据.将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40~45 kg的人数是(　　)
A.10 B.2 C.5 D.15
答案　A
解析　由图可知频率=×组距，知频率为0.02×5=0.1.所以所抽取的女生中体重在40~45 kg的有0.1×100=10(人).
3.小明准备将某次数学考试的分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65，135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则(　　)
A.X>Y
B.X=Y
C.XD.X，Y的大小关系不能确定
答案　A
解析　由图可知，考试分数在[65，75)，[75，85)，[85，95)，[95，105)，[105，115)的频率分别为0.2，0.225，0.25，0.125，0.1，
所以考试分数在[115，135]的频率为1-(0.2+0.225+0.25+0.125+0.1)=0.1，
因为0.2+0.225=0.425，0.2+0.225+0.25=0.675，
所以中位数在[85，95)内，
所以Y=85+×10=88，
又因为X≥70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+120×0.1=90，
所以X>Y.
4.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是　　　　(填整数).
答案　133
解析　由已知可以判断a∈[130，140)，所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=20.解得a≈133.
课时对点练
[分值：85分]
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分
1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A.45 B.50 C.55 D.60
答案　B
解析　根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005+0.01)×20=0.3，所以该班的学生人数是=50.
2.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积之和的，且样本容量为200，则第8组的频数为(　　)
A.40 B.0.2 C.50 D.0.25
答案　A
解析　设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x+4x=1，所以x=0.2.故第8组的频数为200×0.2=40.
3.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为(　　)
A.62，62.5 B.65，62
C.65，62.5 D.62.5，62.5
答案　C
解析　最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65，前两个矩形的面积和为(0.01+0.03)×10=0.4，由于0.5-0.4=0.1，又0.1÷0.04=2.5，所以中位数为60+2.5=62.5.
4.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　)
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
答案　B
解析　比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，标准差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，标准差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，标准差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
5.(多选)某企业为了了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正确的是(　　)
A.样本中位数是200元
B.样本容量是20
C.该企业员工捐款金额的极差是450元
D.该企业员工最大捐款金额是500元
答案　BCD
解析　对于A，共2+8+5+4+1=20(人)，中位数为150元，错误；对于B，共20人，故样本容量为20，正确；对于C，极差为500-50=450(元)，正确；对于D，该企业员工最大捐款金额是500元，正确.
6.(多选)某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上面一边的中点用线段连接起来得到频率分布折线图(如图所示).
据此图，下列说法正确的是(　　)
A.由频率分布折线图可以看出，在区间[80，120)内，随着成绩的增加，各分数段对应的人数一直增加
B.由频率分布折线图可以看出，在区间[110，140)内，各分数段对应的人数逐渐减少
C.据频率分布折线图可以估计此次考试成绩的众数是115
D.据频率分布折线图可以看出有50%以上的同学的分数在区间[100，130)内
答案　BCD
解析　由题图可知分数在[90，100)与[100，110)内的人数相同，故A错误；
由折线变化趋势可知B正确；
区间[110，120)对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数也最大，据此估计此次考试成绩的众数为115，故C正确；
由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确.
7.(5分)某个容量为1 000的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为　　　　.
答案　300
解析　根据题意，易知样本数据落在[4，5)内的频率为1-(0.40+0.15+0.10+0.05)×1=0.3，
故频数为0.3×1 000=300.
8.(5分)为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为　　　　.
答案　48
解析　设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，
则有a+2a+3a+(0.013+0.037)×5=1，
解得a=0.125，所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25=，所以n=48.
9.(10分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8.
(1)求样本数据在[15，18)内的频率；(3分)
(2)求样本容量；(3分)
(3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数.(4分)
解　由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本数据在[15，18)内的频率等于×3=.
(2)因为样本数据在[15，18)内的频数为8，由(1)可知，
样本容量为=8×=50.
(3)因为在[12，15)内的小矩形面积为0.06，
故样本数据在[12，15)内的频率为0.06，
故样本数据在[15，33]内的频数为
50×(1-0.06)=47，
又样本数据在[15，18)内的频数为8，
故样本数据在[18，33]内的频数为47-8=39.
10.(11分)某市4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为烟尘、总悬浮颗粒物等)：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
(1)列出频率分布表；(3分)
(2)作出频率分布直方图；(4分)
(3)根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，为良(特别说明：在80以上时被认为接近轻微污染)；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价.(4分)
解　(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[41，51) 2
[51，61) 1
[61，71) 4
[71，81) 6
[81，91) 10
[91，101) 5
[101，111] 2
合计 30 1
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善.
11.(多选)为了解实际通行某大桥所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38)，[38，41)，[41，44)，[44，47)，[47，50]五组，其中通行时间在[38，47)内的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是(同一组数据用该区间的中点值代替)(　　)
A.n=200
B.n=280
C.抽取的车辆中通行时间在[35，38)内的车辆有4台
D.抽取的车辆中通行时间在[35，38)内的车辆有12台
答案　AD
解析　由频率分布直方图可得，通行时间在[38，47)内的车辆对应的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91，所以n==200.故通行时间在[35，38)内的车辆有200×0.02×3=12(台).
12.(5分)某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为　　　　，分数在[90，100]内的人数为　　　　.
答案　25　2
解析　由频率分布直方图知，分数在[90，100]内的频率和[50，60)内的频率相同，所以分数在[90，100]内的人数为2，总人数为=25.
13.(5分)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　　　　.
答案　0.030　3
解析　因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，解得a=0.030.由频率分布直方图可知身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内抽取的学生人数为×18=3.
14.(多选)学校分别对高一年级和高二年级的学生开展体育水平抽样测试，分别抽取相同数量的学生，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是(　　)
A.样本中高二年级学生的体育成绩的众数是85
B.样本中高二年级学生的体育成绩在80分及以上的人数多于高一年级学生的体育成绩在80分及以上的人数
C.样本中高二年级学生的体育成绩的方差大于高一年级学生的体育成绩的方差
D.样本中高二年级学生的体育成绩的中位数大于高一年级学生的体育成绩的中位数
答案　ABD
解析　对于A，由高二年级学生的体育成绩的频率分布直方图可知，高二年级学生的体育成绩的众数为85，所以A正确；
对于B，由样本中高二年级学生的体育成绩在80分及以上的人数的频率为(0.04+0.015)×10=0.55，
高一年级学生的体育成绩在80分及以上的人数的频率为(0.022+0.01)×10=0.32，
所以高二年级学生的体育成绩在80分及以上的人数多于高一年级学生的体育成绩在80分及以上的人数，所以B正确；
对于C，由频率分布直方图可得，高一年级学生的体育成绩的平均数为(45×0.004+55×0.011+65×0.018+75×0.035+85×0.022+95×0.01)×10=74，
则高一年级学生的体育成绩的方差为
=(45-74)2×0.04+(55-74)2×0.11+(65-74)2×0.18+(75-74)2×0.35 +(85-74)2×0.22+(95-74)2×0.1=159，
高二年级学生的体育成绩的平均数为
(45×0.002 5+55×0.002 5+65×0.005+75×0.035+85×0.04+95×0.015)×10=80.25，
可得高二年级学生的体育成绩的方差为
=(45-80.25)2×0.025+(55-80.25)2×0.025+(65-80.25)2×0.05 +(75-80.25)2×0.35+(85-80.25)2×0.4+(95-80.25)2×0.15≈110，
所以样本中高二年级学生的体育成绩的方差小于高一年级学生的体育成绩的方差，所以C不正确；
对于D，由高一年级学生的体育成绩的频率分布直方图，
可得图中前3个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018)×10=0.33，
前4个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018+0.035)×10=0.68，
所以高一年级学生的体育成绩的中位数在[70，80)内，
由高二年级学生的体育成绩的频率分布直方图，
可得图中前4个矩形的面积和为(0.002 5+0.002 5+0.005+0.035)×10=0.45，
前5个矩形的面积和为(0.002 5+0.002 5+0.005+0.035+0.04)×10=0.85，
所以高二年级学生的体育成绩的中位数在[80，90)内，
所以样本中高二年级学生的体育成绩的中位数大于高一年级学生的体育成绩的中位数，所以D正确.

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