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5.3.1　样本空间与事件
学习目标　1.掌握样本点和样本空间的概念.2.理解基本事件、随机事件、必然事件.3.掌握随机事件发生的概率.
导语
(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；
(3)买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况.
这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量.
一、样本点和样本空间
问题1　我们把在相同条件下对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验，你能总结一下随机试验的特点吗？
提示　(1)试验在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
问题2　怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间？
提示　样本点可看作元素，样本空间可看作集合.列举样本点可用列举法，有限样本空间就是有限个样本点组成的集合.
知识梳理
1.必然现象与随机现象
(1)一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象).
(2)发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).
2.样本点和样本空间
(1)随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).
(2)样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则Ω={ω1，ω2，…，ωn}为样本空间.
注意点：
解题时注意样本点和样本空间.
例1　(课本例1)先后抛出两枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间.
解　考虑到有先后顺序，可以用(Z，F)表示第1枚硬币出现正面，第2枚硬币出现反面，其他样本点用类似的方法表示，则样本空间为Ω={(Z，Z)，(Z，F)，(F，Z)，(F，F)}.
例1　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数.
解　(1)用(x，y，z)表示结果，其中x，y，z分别表示第一枚、第二枚、第三枚硬币出现的结果.试验的样本空间Ω={(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}.
(2)样本点的总数是8.
反思感悟　写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且样本点个数相对较多的问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树形图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举.
跟踪训练1　写出下列试验的样本空间：
(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
(3)已知集合M={-2，3}，N={-4，5，6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标.
解　(1)该试验的样本空间Ω1={3，4，5，…，18}.
(2)该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间Ω2={a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)样本空间Ω3={(-2，-4)，(-2，5)，(-2，6)，(3，-4)，(3，5)，(3，6)，(-4，-2)，(5，-2)，(6，-2)，(-4，3)，(5，3)，(6，3)}.
二、随机事件
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.
问题3　设事件A=“转出的数字是5”，事件B=“转出的数字是0”，事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
提示　“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.“转出的数字是0”，即B={0}，不是样本空间Ω={1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件.C=Ω={1，2，…，10}，故事件C是必然事件.
问题4　假设猜数方案为“是奇数”或“是偶数”，乙猜“是奇数”，若将乙获胜记为事件M，则M中包含哪些样本点？
提示　M={1，3，5，7，9}.
知识梳理
1.随机事件
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且，若试验的结果是A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等).
2.必然事件与不可能事件
(1)任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ，从而称Ω为必然事件；
(2)因为空集 不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件.
3.事件的表示与基本事件
(1)不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集，所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.
(2)基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件.
注意点：
理解随机事件的两个关键点.
(1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变，如“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，而“100℃常压下，水沸腾”是必然事件.
(2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解.
例2　(1)下列事件不是随机事件的是(　　)
A.东边日出西边雨 B.三角形内角和为180°
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
答案　B
解析　B是必然事件；A，C，D都是随机事件.
(2)现有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站点，令事件A表示甲可能到达的站点的集合，事件B表示乙可能到达的站点的集合.
①写出该事件的样本空间Ω；
②写出事件A、事件B包含的样本点；
③相关部门需为该列车准备多少种北上的车票？
解　①Ω={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.
②事件A包含的样本点为S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，事件B包含的样本点为S7，S8，S9，S10.
③相关部门需要准备从S1站发车的车票有9种，从S2站发车的车票有8种，…，从S9站发车的车票有1种，共有9+8+…+2+1=45(种).
例2　(2)(课本例2)张华练习投篮10次，观察张华投篮命中的次数，写出对应的样本空间，并用集合表示出事件A：投篮命中的次数不少于7次.
解　样本空间为
Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
所要表示的事件为A={7，8，9，10}.
反思感悟　对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件；若一定不发生的，则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
跟踪训练2　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.“三个球全部放入两个盒子(每个盒子都要有球)，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“方程x2+2x+8=0有两个实数根”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件
答案　ABD
解析　“方程x2+2x+8=0有两个实数根”是不可能事件，故C错误，A，B，D正确.
(2)在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义.
①事件A={(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
②事件B={(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；
③事件C={(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}.
解　①事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
②事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
③事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
三、随机事件发生的概率
1.事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率(也简称为事件的概率)来衡量，概率越大，代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用P(A)表示.
2.将不可能事件 发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P( )=0，P(Ω)=1.
3.对任意事件A来说，P(A)应该满足不等式0≤P(A)≤1.
注意点：
理解概率的意义.
例3　(课本例4)先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数.
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不超过3；
(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可).
解　(1)用(1，2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数.
因此，样本空间
Ω={(i，j)|1≤i≤6，1≤j≤6，i∈N，j∈N}.
(2)不难看出A={(1，2)，(2，1)}，
B={(1，1)，(1，2)，(2，1)}.
(3)因为A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，所以直观上可知P(A)≤P(B).
例3　做掷红、蓝两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验共有多少样本点；
(3)写出事件“出现的点数之和大于9”包含的结果；
(4)写出事件“出现的点数之和为11”包含的结果；
(5)记“出现的点数之和大于9”为事件A，记“出现的点数之和为11”为事件B，从直观上判断P(A)与P(B)的大小.
解　(1)这个试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)由(1)知这个试验共有36个样本点.
(3)事件“出现的点数之和大于9”包含的结果为(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(4)事件“出现的点数之和为11”包含的结果为(6，5)，(5，6).
(5)因为事件B发生时，事件A一定发生，事件A发生时，事件B不一定发生，故P(A)>P(B).
反思感悟　(1)随机事件发生的概率是衡量该事件发生的可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，为人们在日常生活、工作中的决策提供依据.
(2)任何事件发生的概率都满足0≤P(A)≤1.
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.若随机事件A发生是随机事件B发生的充分条件，则P(A)≤P(B)
D.任何事件A发生的概率都满足0答案　ABC
解析　对于任意事件A来说，P(A)满足不等式0≤P(A)≤1，故D错误，其他选项均正确.
(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.
①写出该试验的样本空间；
②用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球，B：至少摸出1个黑球；
③从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
解　①用树状图表示所有的结果如图.
所以该试验的样本空间为Ω={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}.
②A={ac，ad，ae，bc，bd，be}；
B={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}.
③因为事件A发生时，事件B一定发生，事件B发生的可能性不会比事件A发生的可能性小，所以从直观上看，P(A)1.知识清单：
(1)样本点和样本空间.
(2)事件和基本事件.
(3)随机事件发生的概率.
2.方法归纳：列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区：确定样本空间时易重复或遗漏样本点.
1.(多选)下列事件中，是随机事件的是(　　)
A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口，遇上红灯
C.下周六是晴天
D.锐角三角形中两个内角和小于90°
答案　BC
解析　A为必然事件；BC为随机事件，D为不可能事件.
2.同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　D
解析　有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个样本点.
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A={(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是　　　　　　　　　　　　　.
答案　甲、乙两个小球所涂颜色相同
4.从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω=　　　　　　　　.
答案　{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)下列现象是随机现象的是(　　)
A.在标准大气压下，水达到95℃沸腾
B.路过某路口发生交通事故
C.直角三角形中，最大内角为90°
D.某人投篮一次投进
答案　BD
2.在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是(　　)
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均有可能
答案　B
解析　从十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3=6，所以事件“这三个数字的和小于5”是不可能事件.
3.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为(　　)
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18}
C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
答案　B
解析　所有的两位数为10，11，…，99，
故该试验的样本空间为{1，2，…，18}.
4.先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是(　　)
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
答案　A
解析　“至少一枚硬币正面向上”包含“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”，共3个样本点.
5.从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
答案　C
解析　把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x，y)表示，∴Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，故共有20个样本点.
6.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
答案　D
解析　抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X|-5≤X≤5，X∈Z}，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点.
7.(5分)从3双鞋子中，任取4只，其中“至少有两只鞋是一双”这一事件是　　　　事件.(填“必然”“不可能”或“随机”)
答案　必然
8.(5分)从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其“和为奇数”这一事件包含的样本点个数为　　　　.
答案　4
解析　从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数.
9.(10分)某人从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，观察取出的球的标号.
(1)写出对应的样本空间；(3分)
(2)用集合表示事件A：第一次取出的小球上的标号为2；(3分)
(3)若事件B：标号之和为4，事件C：标号之和不小于4，从直观上判断P(B)与P(C)的大小.(4分)
解　(1)用(1，2)表示第一次取出1号球，第二次取出2号球，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4中的数，且i≠j.
因此，样本空间Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，且i≠j}.
(2)A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
(3)因为当事件B发生时，事件C一定发生，也就是说事件C发生的可能性不会比事件B发生的可能性小，所以直观上可知P(B)≤P(C).
10.(11分)试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A，B，C.
解　设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω={(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
∵事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
∵事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B={(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
∵事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
11.若随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，则下列说法不正确的是(　　)
A.事件P={1，2}是随机事件
B.事件Q={0，1，2}是必然事件
C.事件M={-1，-2}是不可能事件
D.事件N={-1，0}是随机事件
答案　D
解析　随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，
则事件P={1，2}是随机事件，故A正确；
事件Q={0，1，2}是必然事件，故B正确；
事件M={-1，-2}是不可能事件，故C正确；
事件N={-1，0}是不可能事件，故D错误.
12.随机事件“连续掷一颗骰子直到出现5点停止，观察投掷的次数”的样本空间是(　　)
A.5 B.1到6的正整数
C.6 D.一切正整数
答案　D
解析　连续掷一颗骰子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限多，样本空间是一切正整数.
13.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的样本点的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　A
解析　此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O→F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2条.
14.(5分)笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=　　　　.
答案　{0，2，4，6，8}
解析　最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
15.(多选)给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是(　　)
A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B.若任取x A，则x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D.若任取x B，则x A是必然事件
答案　ACD
解析　对于A，符合真子集的定义，故A正确；对于B，“若x A，则x∈B”也可能成立，故B错误；对于C，“若x∈B，则x∈A”可能成立，也可能“x A”成立，故C正确；对于D，“若x B，则x A”，故D正确.
16.(12分)已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？(5分)
(2)指出事件“函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数”的所有样本点.(7分)
解　(1)Ω={(1，-1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，-1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，-1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共包含15个样本点.
(2)∵关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，
需a>0且≤1，即2b≤a.
若a=1，即b=-1；
若a=2，则b=-1，1；
若a=3，则b=-1，1.
即满足事件“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上是增函数”的所有样本点有(1，-1)，(2，-1)，(2，1)，(3，-1)，(3，1)，共5个.(共92张PPT)
5.3.1
样本空间与事件
第五章　§5.3　概率
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1.掌握样本点和样本空间的概念.
2.理解基本事件、随机事件、必然事件.
3.掌握随机事件发生的概率.
学习目标
(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；
(3)买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况.
导 语
这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量.
一、样本点和样本空间
二、随机事件
课时对点练
三、随机事件发生的概率
随堂演练
内容索引
样本点和样本空间
一
提示　(1)试验在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
我们把在相同条件下对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验，你能总结一下随机试验的特点吗？
问题1
提示　样本点可看作元素，样本空间可看作集合.列举样本点可用列举法，有限样本空间就是有限个样本点组成的集合.
怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间？
问题2
1.必然现象与随机现象
(1)一定条件下，发生的结果事先 的现象就是随机现象(或偶然现象).
(2)发生的结果事先能够 的现象就是必然现象(或确定性现象).
不能确定
确定
2.样本点和样本空间
(1)随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为 (简称为试验).
(2)样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为 ，把由所有
组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则Ω={ω1，ω2，…，ωn}为 .
随机试验
样本点
样本点
样本空间
解题时注意样本点和样本空间.
注 意 点
<<<
　 (课本例1)先后抛出两枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间.
例 1
考虑到有先后顺序，可以用(Z，F)表示第1枚硬币出现正面，第2枚硬币出现反面，其他样本点用类似的方法表示，则样本空间为Ω={(Z，Z)，(Z，F)，(F，Z)，(F，F)}.
解
　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间；
例 1
用(x，y，z)表示结果，其中x，y，z分别表示第一枚、第二枚、第三枚硬币出现的结果.试验的样本空间Ω={(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}.
解
(2)求这个试验的样本点的总数.
样本点的总数是8.
解
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且样本点个数相对较多的问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
反
思
感
悟
(3)树形图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举.
反
思
感
悟
　写出下列试验的样本空间：
(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
跟踪训练 1
该试验的样本空间Ω1={3，4，5，…，18}.
解
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
该试验所有可能的结果如图所示，
解
因此，该试验的样本空间Ω2={a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)已知集合M={-2，3}，N={-4，5，6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标.
样本空间Ω3={(-2，-4)，(-2，5)，(-2，6)，(3，-4)，(3，5)，(3，6)，
(-4，-2)，(5，-2)，(6，-2)，(-4，3)，(5，3)，(6，3)}.
解
二
随机事件
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动
转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.
设事件A=“转出的数字是5”，事件B=“转出的数字是0”，事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
问题3
提示　“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.“转出的数字是0”，即B={0}，不是样本空间Ω={1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件.C=Ω={1，2，…，10}，故事件C是必然事件.
假设猜数方案为“是奇数”或“是偶数”，乙猜“是奇数”，若将乙获胜记为事件M，则M中包含哪些样本点？
问题4
提示　M={1，3，5，7，9}.
1.随机事件
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且，若试验的结果是A中的元素，则称A (或出现等)；否则，称A______
(或不出现等).
发生
不发生
2.必然事件与不可能事件
(1)任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ，从而称Ω为 ；
(2)因为空集 不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为 .
必然事件
不可能事件
3.事件的表示与基本事件
(1) 、 、 都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集，所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.
(2)基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件.
不可能事件
随机事件
必然事件
理解随机事件的两个关键点.
(1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变，如“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，而“100℃常压下，水沸腾”是必然事件.
(2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解.
注 意 点
<<<
(1)下列事件不是随机事件的是
A.东边日出西边雨 B.三角形内角和为180°
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
例 2
B是必然事件；
A，C，D都是随机事件.
解析
√
(2)现有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站点，令事件A表示甲可能到达的站点的集合，事件B表示乙可能到达的站点的集合.
①写出该事件的样本空间Ω；
Ω={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.
解
②写出事件A、事件B包含的样本点；
事件A包含的样本点为S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，事件B包含的样本点为S7，S8，S9，S10.
解
③相关部门需为该列车准备多少种北上的车票？
相关部门需要准备从S1站发车的车票有9种，从S2站发车的车票有8种，…，从S9站发车的车票有1种，共有9+8+…+2+1=45(种).
解
(2)(课本例2)张华练习投篮10次，观察张华投篮命中的次数，写出对应的样本空间，并用集合表示出事件A：投篮命中的次数不少于7次.
例 2
样本空间为
Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
所要表示的事件为A={7，8，9，10}.
解
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件；若一定不发生的，则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
反
思
感
悟
(1)(多选)下列命题中正确的是
A.“三个球全部放入两个盒子(每个盒子都要有球)，其中必有一个盒子
有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“方程x2+2x+8=0有两个实数根”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件
跟踪训练 2
“方程x2+2x+8=0有两个实数根”是不可能事件，故C错误，A，B，D正确.
解析
√
√
√
(2)在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义.
①事件A={(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
解
②事件B={(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；
事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
解
③事件C={(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，
(6，4)}.
事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
解
随机事件发生的概率
三
1.事件发生的可能性大小可以用该事件发生的 (也简称为事件的概率)来衡量，概率越大，代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用
表示.
2.将不可能事件 发生的概率规定为 ，将必然事件Ω发生的概率规定为 ，即P( )=0，P(Ω)=1.
3.对任意事件A来说，P(A)应该满足不等式 .
概率
P(A)
0
1
0≤P(A)≤1
理解概率的意义.
注 意 点
<<<
(课本例4)先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数.
(1)写出对应的样本空间；
例 3
用(1，2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数.
因此，样本空间
Ω={(i，j)|1≤i≤6，1≤j≤6，i∈N，j∈N}.
解
(2)用集合表示事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不超过3；
不难看出A={(1，2)，(2，1)}，
B={(1，1)，(1，2)，(2，1)}.
解
(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可).
因为A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，所以直观上可知P(A)≤P(B).
解
做掷红、蓝两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)写出这个试验的样本空间；
例 3
这个试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
解
(2)求这个试验共有多少样本点；
由(1)知这个试验共有36个样本点.
解
(3)写出事件“出现的点数之和大于9”包含的结果；
事件“出现的点数之和大于9”包含的结果为(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
解
(4)写出事件“出现的点数之和为11”包含的结果；
事件“出现的点数之和为11”包含的结果为(6，5)，(5，6).
解
(5)记“出现的点数之和大于9”为事件A，记“出现的点数之和为11”为事件B，从直观上判断P(A)与P(B)的大小.
因为事件B发生时，事件A一定发生，事件A发生时，事件B不一定发生，故P(A)>P(B).
解
(1)随机事件发生的概率是衡量该事件发生的可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，为人们在日常生活、工作中的决策提供依据.
(2)任何事件发生的概率都满足0≤P(A)≤1.
反
思
感
悟
(1)(多选)下列说法正确的是
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.若随机事件A发生是随机事件B发生的充分条件，则P(A)≤P(B)
D.任何事件A发生的概率都满足0跟踪训练3
√
√
√
对于任意事件A来说，P(A)满足不等式0≤P(A)≤1，故D错误，其他选项均正确.
解析
(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.
①写出该试验的样本空间；
用树状图表示所有的结果如图.
解
所以该试验的样本空间为Ω={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}.
②用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球，B：至少摸出1个黑球；
A={ac，ad，ae，bc，bd，be}；
B={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}.
解
③从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
因为事件A发生时，事件B一定发生，事件B发生的可能性不会比事件A发生的可能性小，所以从直观上看，P(A)解
1.知识清单：
(1)样本点和样本空间.
(2)事件和基本事件.
(3)随机事件发生的概率.
2.方法归纳：列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区：确定样本空间时易重复或遗漏样本点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列事件中，是随机事件的是
A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口，遇上红灯
C.下周六是晴天
D.锐角三角形中两个内角和小于90°
A为必然事件；
BC为随机事件，D为不可能事件.
解析
√
√
1
2
3
4
2.同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是
A.3 B.4
C.5 D.6
有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个样本点.
解析
√
1
2
3
4
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A={(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是　　　　　 　　　　　　　　.
甲、乙两个小球所涂颜色相同
1
2
3
4
4.从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω=___________
　　 　　　　　　.
{(a，b)，
(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BD B B A C D 必然 4
题号 11 12 13 14 15
答案 D D A {0，2，4，6，8} ACD
对一对
9.
答案
1
2
3
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5
6
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11
12
13
14
15
16
(1)用(1，2)表示第一次取出1号球，第二次取出2号球，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4中的数，且i≠j.
因此，样本空间Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，且i≠j}.
(2)A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
(3)因为当事件B发生时，事件C一定发生，也就是说事件C发生的可能性不会比事件B发生的可能性小，所以直观上可知P(B)≤P(C).
10.
答案
1
2
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14
15
16
设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω={(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
∵事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
10.
答案
1
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16
∵事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B={(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
∵事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
16.
答案
1
2
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5
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16
(1)Ω={(1，-1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，-1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，-1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共包含15个样本点.
(2)∵关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，
需a>0且≤1，即2b≤a.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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13
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15
16
若a=1，即b=-1；
若a=2，则b=-1，1；
若a=3，则b=-1，1.
即满足事件“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上是增函数”的所有样本点有(1，-1)，(2，-1)，(2，1)，(3，-1)，(3，1)，共5个.
基础巩固
1.(多选)下列现象是随机现象的是
A.在标准大气压下，水达到95℃沸腾
B.路过某路口发生交通事故
C.直角三角形中，最大内角为90°
D.某人投篮一次投进
答案
1
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13
14
15
16
√
√
2.在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均有可能
答案
1
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16
从十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3=6，所以事件“这三个数字的和小于5”是不可能事件.
解析
√
3.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18}
C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
答案
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16
√
所有的两位数为10，11，…，99，
故该试验的样本空间为{1，2，…，18}.
解析
4.先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
答案
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16
√
答案
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15
16
“至少一枚硬币正面向上”包含“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”，共3个样本点.
解析
5.从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为
A.10 B.15
C.20 D.25
答案
1
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16
把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x，y)表示，∴Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，故共有20个样本点.
解析
√
6.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
答案
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16
√
答案
1
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16
抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X|-5≤X≤5，X∈Z}，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点.
解析
7.从3双鞋子中，任取4只，其中“至少有两只鞋是一双”这一事件是
　　　　事件.(填“必然”“不可能”或“随机”)
答案
1
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15
16
必然
8.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其“和为奇数”这一事件包含的样本点个数为　　　　.
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数.
解析
答案
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16
4
9.某人从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，观察取出的球的标号.
(1)写出对应的样本空间；
答案
1
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用(1，2)表示第一次取出1号球，第二次取出2号球，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4中的数，且i≠j.
因此，样本空间Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，且i≠j}.
解
(2)用集合表示事件A：第一次取出的小球上的标号为2；
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A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
解
(3)若事件B：标号之和为4，事件C：标号之和不小于4，从直观上判断P(B)与P(C)的大小.
答案
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因为当事件B发生时，事件C一定发生，也就是说事件C发生的可能性不会比事件B发生的可能性小，所以直观上可知P(B)≤P(C).
解
10.试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A，B，C.
答案
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设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω={(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
∵事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
∵事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个，(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
解
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∴事件B={(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
∵事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C={(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
解
11.若随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，则下列说法不正确的是
A.事件P={1，2}是随机事件
B.事件Q={0，1，2}是必然事件
C.事件M={-1，-2}是不可能事件
D.事件N={-1，0}是随机事件
综合运用
答案
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√
随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，
则事件P={1，2}是随机事件，故A正确；
事件Q={0，1，2}是必然事件，故B正确；
事件M={-1，-2}是不可能事件，故C正确；
事件N={-1，0}是不可能事件，故D错误.
解析
答案
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12.随机事件“连续掷一颗骰子直到出现5点停止，观察投掷的次数”的样本空间是
A.5 B.1到6的正整数
C.6 D.一切正整数
答案
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连续掷一颗骰子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限多，样本空间是一切正整数.
解析
13.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的样本点的个数为
A.2 B.3
C.4 D.6
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此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O
→F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2条.
解析
14.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=　　　 　.
答案
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{0，2，4，6，8}
最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
解析
15.(多选)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是
A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B.若任取x A，则x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D.若任取x B，则x A是必然事件
拓广探究
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对于A，符合真子集的定义，故A正确；
对于B，“若x A，则x∈B”也可能成立，故B错误；
对于C，“若x∈B，则x∈A”可能成立，也可能“x A”成立，故C正确；
对于D，“若x B，则x A”，故D正确.
解析
16.已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
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Ω={(1，-1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，-1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，-1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共包含15个样本点.
解
(2)指出事件“函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数”的所有样本点.
答案
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∵关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，
需a>0且≤1，即2b≤a.
若a=1，即b=-1；
若a=2，则b=-1，1；
若a=3，则b=-1，1.
即满足事件“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上是增函数”的所有样本点有(1，-1)，(2，-1)，(2，1)，(3，-1)，(3，1)，共5个.
解
第五章　§5.3　概率
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