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5.3.2　事件之间的关系与运算
学习目标　1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解事件的和与积，并能进行运算.3.理解互斥事件和对立事件的概念及关系，掌握互斥事件的概率加法公式.
导语
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
一、事件的包含与相等
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
…
问题1　用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　C1={1}和G={1，3，5}，{1} {1，3，5}.
知识梳理　事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含 关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”) A B (或B A)
相等 关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”(A B且B A) A=B
注意点：
从集合的角度去理解事件的包含与相等.
例1　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A={出现1点}，B={出现2点}，C={出现3点}，D={出现4点}，E={出现5点}，F={出现6点}，G={出现的点数不大于1}，H={出现的点数小于5}，I={出现奇数点}，J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系：
(1)B　　　　H；(2)D　　　　J；
(3)E　　　　I；(4)A　　　　G.
答案　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
解析　因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A=G.
反思感悟　判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1　同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A.A B B.A B C.A=B D.A答案　A
二、事件的和与积
问题2　用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　D1={1，2，3}，E1={1，2}和E2={2，3}.{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1∪E2=D1.
问题3　事件C2=“点数为2”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2=C2.
知识梳理　事件的和(并)与积(交)
定义 表示法 图示
和 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B (或A∪B)
积 给定事件A，B，由事件A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB (或A∩B)
注意点：
(1)从集合运算的角度去理解事件的和与积.
(2)①P(A+B)≤P(A)+P(B)；②P(AB)≤P(A)；③P(AB)≤P(B).
例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有一个红球，两个白球}，事件B={3个球中有两个红球，一个白球}，事件C={3个球中至少有一个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}.则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
解　(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”，故D=A+B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球2个白球”，“2个红球1个白球”或“3个红球”，故C∩A=A.
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用维恩图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A+B和A∩B包含的样本点的个数分别为(　　)
A.1，6 B.4，2
C.5，1 D.6，1
答案　C
解析　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.
其中事件A包含的样本点有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个，
事件B包含的样本点有(1，3)，(2，4)，共2个.
所以事件A+B包含的样本点有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个，
事件A∩B包含的样本点有(2，4)，共1个.
三、事件的互斥与对立
问题4　用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　C3={3}，C4={4}，C3∩C4= .
问题5　用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”，事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　F={2，4，6}，G={1，3，5}.F∪G=Ω，F∩G= .
知识梳理
1.事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB= (或 A∩B= )
对 立 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的 对立事件 记为
如果B=，则称A与B相互对立.
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB= )时，有P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(3)P(A)+P()=1.
注意点：
辨析互斥事件与对立事件的思路.
(1)从发生的角度理解
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度理解
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
(3)从集合的角度理解
互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合的交集为空集且对立事件对应集合互为补集.
例3　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
反思感悟　互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
跟踪训练3　一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　)
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.不互斥也不对立
答案　C
解析　必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
四、事件的混合运算
例4　(1)(课本例1)设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：
①A，B两个事件中至少有一个发生；
②A事件发生且B事件不发生；
③A，B两个事件都不发生.
解　①按照定义有A+B.
②因为B不发生可以表示为，所以可以写成A.
③按照定义有 .
(2)(课本例2)已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
①李明成绩不低于60分的概率；
②李明成绩低于60分的概率.
解　记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5.
①因为“李明成绩不低于60分”可表示为A+B，由A与B互斥可知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.
②因为“李明成绩低于60分”可表示为，
所以P()=1-P(A+B)=1-0.8=0.2.
例4　(1)设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
①三个事件都发生；
②三个事件至少有一个发生；
③A发生，B，C不发生；
④A，B都发生，C不发生；
⑤A，B至少有一个发生，C不发生；
⑥A，B，C中恰好有两个发生.
解　①三个事件都发生表示为ABC；
②三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C；
③A发生，B，C不发生表示为A；
④A，B都发生，C不发生表示为AB；
⑤A，B至少有一个发生，C不发生表示为(A∪B)；
⑥A，B，C中恰好有两个发生表示为(AB)∪(AC)∪(BC).
(2)某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出医生至多2人的概率；
②求派出医生至少2人的概率.
解　设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，
P(D)=0.2，P(E)=0.2，P(F)=0.04.
①“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二　“派出医生至少2人”的概率为
1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
反思感悟　(1)牢记互斥与对立公式
P(A+B)=P(A)+P(B)，P(A)+P()=1.
(2)问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常有两种解题思路：
①直接法：所求问题分类，再用互斥事件的概率加法公式.
②间接法：先求对立事件概率，再用对立事件的概率公式.
跟踪训练4　某人从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及6 个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
解　(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.
(2)设事件A为“遇到4个红灯”，事件B为“遇到5个红灯”，事件C为“遇到6个及6个以上红灯”，则事件“至少遇到4个红灯”为A+B+C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)因为事件C为“遇到6个及6个以上红灯”，则“至多遇到5个红灯”为事件.
则P()=1-P(C)=1-0.03=0.97.
1.知识清单：
(1)事件的包含与相等.
(2)事件的和与积.
(3)互斥事件与对立事件的区别和运算.
2.方法归纳：正难则反，逆向思维.
3.常见误区：互斥事件与对立事件的区别与联系.
1.(多选)一个射手进行一次射击，有下面四个事件.事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则(　　)
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件 D.B与C是对立事件
答案　AD
解析　由互斥、对立事件的定义可判断A，D正确.
2.掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5}，B={出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A.A B
B.A∩B={出现的点数为6}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
答案　B
解析　由题意知事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B={出现的点数为6}，事件A不包含于B，事件A与B不互斥，也不对立.
3.口袋内装有一些形状、大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打决赛，记事件A=“甲夺得冠军”，事件B=“乙夺得冠军”，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为　　　　.
答案　A+B
解析　“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即甲夺得冠军或乙夺得冠军，用事件A与B可表示为A+B.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥事件，但不是对立事件
D.以上答案都不对
答案　C
解析　记事件A={甲分得红牌}，记事件B={乙分得红牌}，它们不会同时发生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不发生，所以它们不是对立事件.
2.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么A=A1+A2+A3表示(　　)
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
答案　B
解析　A1+A2+A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.
3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
答案　C
解析　由对立事件的概率知“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.
4.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，则下列关系正确的是(　　)
A.A D B.B∩D=
C.A+C=D D.A+B=B+D
答案　ABC
解析　“恰有一次击中飞机”指第一次击中第二次没中或第一次没中第二次击中，“至少有一次击中飞机”指恰有一次击中飞机或两次都击中飞机，所以A+B≠B+D，其余选项都对.
5.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为(　　)
A.{(5，5)} B.{(4，6)，(5，5)}
C.{(6，5)，(5，5)} D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}
答案　D
解析　事件用样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}；
事件B用样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，所以B={(4，6)，(6，4)，(5，5)}.
6.暑假期间某地有甲、乙两草原供游客休闲旅游，记事件E=“只去甲草原”，事件F=“至少去一个草原”，事件G=“至多去一个草原”，事件H=“不去甲草原”，事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是(　　)
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件，且是对立事件
C.F与G是互斥事件
D.G与I是互斥事件
答案　B
解析　依题意得样本点有“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”“去甲、乙草原”共四个，
事件F=“至少去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“去甲、乙草原”三个样本点；
事件G=“至多去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三个样本点；
事件H=“不去甲草原”包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两个样本点；
对于A，事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且至少有一个发生，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
对于C，事件F与G有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
7.(5分)在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现不大于4的偶数点”，事件B=“出现小于6的点数”，则事件A+的含义为　　　　，事件A∩B的含义为　　　　.
答案　出现2，4，6点　出现2，4点
解析　易知=“出现6点”，则A+=“出现2，4，6点”，A∩B=“出现2，4点”.
8.(5分)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)=，P(B)=，则这3个球中既有红球又有白球的概率是　　　　.
答案　
解析　记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
9.(10分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况的活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4名或5名教师外出家访的概率；(5分)
(2)求至少有3名教师外出家访的概率.(5分)
解　设派出2名及以下教师为事件A，3名教师为事件B，4名教师为事件C，5名教师为事件D，6名及以上教师为事件E.
(1)有4名或5名教师外出家访的事件为事件C+D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3名教师外出家访的对立事件为2名及以下教师外出家访，由对立事件的概率公式可知，P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.(11分)从一批100件的产品中每次取出一个(取出后不放回)，假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k=1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品；(2分)
(2)只有第一次取到次品；(2分)
(3)三次中至少有一次取到次品；(2分)
(4)三次中恰有两次取到次品；(2分)
(5)三次中至多有一次取到次品.(3分)
解　(1)A1A2A3.
(2)A1.
(3)A1+A2+A3.
(4)A1A2+A1A3+A2A3.
(5)A1+A3+A2+或++.
11.如果事件M与事件N是互斥事件，那么(　　)
A.M+N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.+是必然事件
答案　D
解析　因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况.
无论哪种情况，+都是必然事件.
12.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是(　　)
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案　C
解析　设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8~4.85 g”为事件C，则A+C=B，且A，C为互斥事件，
所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C)，
则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
13.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是(　　)
A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
答案　AD
解析　任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A'，B'，C'，D'，它们两两互斥，由已知，有P(A')=0.28，P(B')=0.29，P(C')=0.08，P(D')=0.35，因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D'，根据概率的加法公式，得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64，故A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确.
14.(5分)电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A=　　　　　　.(用B，C，D间的运算关系式表示)
答案　BC∪BD或B∩(C∪D)
15.(5分)事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)=2P(B)，则P()=　　　　.
答案　
解析　由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=2P(B)，联立方程组解得P(A)
=，P(B)=，故P()=1-P(A)=.
16.(12分)某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项，小球除颜色外完全相同.其中红球代表一等奖，黄球代表三等奖.从中任取一个小球，中一等奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率为，小华同学有一次摸奖机会.
(1)求他不中奖的概率；(6分)
(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是，求他中三等奖的概率.(6分)
解　(1)设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的事件分别为A，B，C，D，它们是彼此互斥事件.
由题意得P(A)=，P(B+C)=P(B)+P(C)=.
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A+B+C)
=1-P(B+C)-P(A)
=1--=，
∴他不中奖的概率为.
(2)∵P(A+B)=，又P(A+B)=P(A)+P(B)，
∴P(B)=-=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=，
∴P(C)=-=.
∴他中三等奖的概率为.(共92张PPT)
5.3.2
事件之间的关系与运算
第五章　§5.3　概率
<<<
1.了解事件间的包含关系和相等关系.
2.理解事件的和与积，并能进行运算.
3.理解互斥事件和对立事件的概念及关系，掌握互斥事件的概率加法公式.
学习目标
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
导 语
一、事件的包含与相等
二、事件的和与积
课时对点练
三、事件的互斥与对立
随堂演练
内容索引
四、事件的混合运算
事件的包含与相等
一
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，
例如：
Ci=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
…
提示　C1={1}和G={1，3，5}，{1} {1，3，5}.
用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题1
事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含 关系 一般地，如果事件A发生时，事件B____ ，则称“A包含于B”(或“B包含A”) ________ (或 )
相等 关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B ”(A B且B A) A=B
一定
发生
A B
B A
相等
从集合的角度去理解事件的包含与相等.
注 意 点
<<<
　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A={出现1点}，B={出现2点}，C={出现3点}，D={出现4点}，E={出现5点}，F={出现6点}，G={出现的点数不大于1}，H={出现的点数小于5}，I={出现奇数点}，J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系：
(1)B　　H；(2)D　　J；
(3)E　　I；(4)A　　G.
例 1



=
因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A=G.
解析
判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
反
思
感
悟
同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有
A.A B B.A B
C.A=B D.A跟踪训练1
√
二
事件的和与积
提示　D1={1，2，3}，E1={1，2}和E2={2，3}.{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1∪E2=D1.
用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题2
提示　{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2=C2.
事件C2=“点数为2”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=
“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题3
事件的和(并)与积(交)
定义 表示法 图示
和 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) ________ (或 )
积 给定事件A，B，由事件A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) ________ (或______)
A+B
A∪B
AB
A∩B
(1)从集合运算的角度去理解事件的和与积.
(2)①P(A+B)≤P(A)+P(B)；②P(AB)≤P(A)；③P(AB)≤P(B).
注 意 点
<<<
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有一个红球，两个白球}，事件B={3个球中有两个红球，一个白球}，事件C={3个球中至少有一个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}.则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？
例 2
对于事件D，可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”，故D=A+B.
解
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
对于事件C，可能的结果为“1个红球2个白球”，“2个红球1个白球”或“3个红球”，故C∩A=A.
解
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用维恩图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
反
思
感
悟
　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A+B和A∩B包含的样本点的个数分别为
A.1，6 B.4，2
C.5，1 D.6，1
跟踪训练 2
√
从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.
其中事件A包含的样本点有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个，
事件B包含的样本点有(1，3)，(2，4)，共2个.
所以事件A+B包含的样本点有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个，
事件A∩B包含的样本点有(2，4)，共1个.
解析
事件的互斥与对立
三
提示　C3={3}，C4={4}，C3∩C4= .
用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题4
提示　F={2，4，6}，G={1，3，5}.F∪G=Ω，F∩G= .
用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”，事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题5
1.事件的互斥与对立
如果B=，则称A与B相互对立.
定义 表示法 图示
互 斥 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B______ ______(或 ________)
对 立 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的____________ 事件A的 对立事件 记为
AB=
A∩B=
互斥
对立事件
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB= )时，有P(A+B)=
.
(2)一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)
= .
(3)P(A)+P()= .
P(A)+P(B)
P(A1)+P(A2)+…+P(An)
1
辨析互斥事件与对立事件的思路.
(1)从发生的角度理解
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
注 意 点
<<<
(2)从事件个数的角度理解
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
(3)从集合的角度理解
互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合的交集为空集且对立事件对应集合互为补集.
注 意 点
<<<
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
例 3
从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
解
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
解
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
解
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
解
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
反
思
感
悟
一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.不互斥也不对立
跟踪训练 3
必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
解析
√
事件的混合运算
四
(1)(课本例1)设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：
①A，B两个事件中至少有一个发生；
例 4
按照定义有A+B.
解
②A事件发生且B事件不发生；
因为B不发生可以表示为，所以可以写成A.
解
③A，B两个事件都不发生.
按照定义有 .
解
(2)(课本例2)已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
①李明成绩不低于60分的概率；
记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5.
因为“李明成绩不低于60分”可表示为A+B，由A与B互斥可知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.
解
②李明成绩低于60分的概率.
因为“李明成绩低于60分”可表示为，
所以P()=1-P(A+B)=1-0.8=0.2.
解
(1)设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
①三个事件都发生；
例 4
三个事件都发生表示为ABC；
解
②三个事件至少有一个发生；
三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C；
解
③A发生，B，C不发生；
A发生，B，C不发生表示为A；
解
④A，B都发生，C不发生；
A，B都发生，C不发生表示为AB；
解
⑤A，B至少有一个发生，C不发生；
A，B至少有一个发生，C不发生表示为(A∪B)；
解
⑥A，B，C中恰好有两个发生.
A，B，C中恰好有两个发生表示为(AB)∪(AC)∪(BC).
解
(2)某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出医生至多2人的概率；
设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，
P(D)=0.2，P(E)=0.2，P(F)=0.04.
“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
解
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
②求派出医生至少2人的概率.
方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二　“派出医生至少2人”的概率为
1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
解
(1)牢记互斥与对立公式
P(A+B)=P(A)+P(B)，P(A)+P()=1.
(2)问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常有两种解题思路：
①直接法：所求问题分类，再用互斥事件的概率加法公式.
②间接法：先求对立事件概率，再用对立事件的概率公式.
反
思
感
悟
某人从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：
跟踪训练 4
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值；，
由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.
解
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
设事件A为“遇到4个红灯”，事件B为“遇到5个红灯”，事件C为“遇到6个及6个以上红灯”，则事件“至少遇到4个红灯”为A+B+C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03
=0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
解
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
因为事件C为“遇到6个及6个以上红灯”，则“至多遇到5个红灯”为事件.
则P()=1-P(C)=1-0.03=0.97.
解
1.知识清单：
(1)事件的包含与相等.
(2)事件的和与积.
(3)互斥事件与对立事件的区别和运算.
2.方法归纳：正难则反，逆向思维.
3.常见误区：互斥事件与对立事件的区别与联系.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)一个射手进行一次射击，有下面四个事件.事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件 D.B与C是对立事件
由互斥、对立事件的定义可判断A，D正确.
解析
√
√
1
2
3
4
2.掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5}，B={出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是
A.A B B.A∩B={出现的点数为6}
C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件
由题意知事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B={出现的点数为6}，事件A不包含于B，事件A与B不互斥，也不对立.
解析
√
1
2
3
4
3.口袋内装有一些形状、大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
解析
√
1
2
3
4
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打决赛，记事件A=“甲夺得冠军”，事件B=“乙夺得冠军”，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为　　　　.
A+B
“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即甲夺得冠军或乙夺得冠军，用事件A与B可表示为A+B.
解析
课时对点练
六
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C ABC D B 出现2，4，6点　出现2，4点 题号 8 11 12 13 14 15
答案 D C AD BC∪BD或B∩(C∪D)
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设派出2名及以下教师为事件A，3名教师为事件B，4名教师为事件C，5名教师为事件D，6名及以上教师为事件E.
(1)有4名或5名教师外出家访的事件为事件C+D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3名教师外出家访的对立事件为2名及以下教师外出家访，由对立事件的概率公式可知，P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)A1A2A3.
(2)A1.
(3)A1+A2+A3.
(4)A1A2+A1A3+A2A3.
(5)A1+A3+A2+或++.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的事件分别为A，B，C，D，它们是彼此互斥事件.
由题意得P(A)=，P(B+C)=P(B)+P(C)=.
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A+B+C)
=1-P(B+C)-P(A)
=1--=，
∴他不中奖的概率为.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)∵P(A+B)=，又P(A+B)=P(A)+P(B)，
∴P(B)=-=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=，
∴P(C)=-=.
∴他中三等奖的概率为.
基础巩固
1.将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥事件，但不是对立事件 D.以上答案都不对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
记事件A={甲分得红牌}，记事件B={乙分得红牌}，它们不会同时发生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不发生，所以它们不是对立事件.
解析
√
2.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么A=A1+A2+A3表示
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
答案
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
A1+A2+A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.
解析
√
3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)
=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为
A.0.7 B.0.65
C.0.35 D.0.3
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由对立事件的概率知“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.
解析
√
4.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，则下列关系正确的是
A.A D B.B∩D=
C.A+C=D D.A+B=B+D
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
“恰有一次击中飞机”指第一次击中第二次没中或第一次没中第二次击中，“至少有一次击中飞机”指恰有一次击中飞机或两次都击中飞机，所以A+B≠B+D，其余选项都对.
解析
√
√
√
5.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为
A.{(5，5)} B.{(4，6)，(5，5)}
C.{(6，5)，(5，5)} D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}
答案
1
2
3
4
5
6
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16
事件用样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}；
事件B用样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，所以B={(4，6)，(6，4)，(5，5)}.
解析
√
6.暑假期间某地有甲、乙两草原供游客休闲旅游，记事件E=“只去甲草原”，事件F=“至少去一个草原”，事件G=“至多去一个草原”，事件H=“不去甲草原”，事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件，且是对立事件
C.F与G是互斥事件
D.G与I是互斥事件
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
16
依题意得样本点有“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”“去甲、乙草原”共四个，
事件F=“至少去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“去甲、乙草原”三个样本点；
事件G=“至多去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三个样本点；
事件H=“不去甲草原”包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两个样本点；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
14
15
16
对于A，事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且至少有一个发生，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
对于C，事件F与G有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
解析
7.在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现不大于4的偶数点”，事件B=“出现小于6的点数”，则事件A+的含义为　　 　　，事件A∩B的含义为　 　　　.
易知=“出现6点”，则A+=“出现2，4，6点”，A∩B=“出现2，
4点”.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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出现2，4，6点
出现2，4点
8.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)=，P(B)=，则这3个球中既有红球又有白球的概率是　　　.
记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
解析
答案
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9.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况的活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
答案
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派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4名或5名教师外出家访的概率；
答案
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设派出2名及以下教师为事件A，3名教师为事件B，4名教师为事件C，5名教师为事件D，6名及以上教师为事件E.
有4名或5名教师外出家访的事件为事件C+D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
解
答案
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派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(2)求至少有3名教师外出家访的概率.
至少有3名教师外出家访的对立事件为2名及以下教师外出家访，由对立事件的概率公式可知，P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
解
10.从一批100件的产品中每次取出一个(取出后不放回)，假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k=1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品；
答案
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A1A2A3.
解
(2)只有第一次取到次品；
答案
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A1.
解
(3)三次中至少有一次取到次品；
A1+A2+A3.
解
(4)三次中恰有两次取到次品；
答案
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A1A2+A1A3+A2A3.
解
(5)三次中至多有一次取到次品.
A1+A3+A2+或++.
解
11.如果事件M与事件N是互斥事件，那么
A.M+N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.+是必然事件
综合运用
答案
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√
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因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况.
解析
无论哪种情况，+都是必然事件.
12.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
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√
答案
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设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8~4.85 g”为事件C，则A+C=B，且A，C为互斥事件，
所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C)，
则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
解析
13.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
答案
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已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是
A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
√
√
答案
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任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A'，B'，C'，D'，它们两两互斥，由已知，有P(A')=0.28，P(B')=0.29，P(C')=0.08，P(D')=0.35，因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D'，根据概率的加法公式，得P(B'∪D')=P(B')+P(D')
=0.29+0.35=0.64，故A正确；
B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；
由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；
由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确.
解析
14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A=　　　 　　　.
(用B，C，D间的运算关系式表示)
答案
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BC∪BD或B∩(C∪D)
15.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)=2P(B)，则P()
=　　.
拓广探究
答案
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由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=2P(B)，联立方程组解得P(A)
=，P(B)=，故P()=1-P(A)=.
解析
16.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项，小球除颜色外完全相同.其中红球代表一等奖，黄球代表三等奖.从中任取一个小球，中一等奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率为，小华同学有一次摸奖机会.
(1)求他不中奖的概率；
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设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的事件分别为A，B，C，D，它们是彼此互斥事件.
由题意得P(A)=，P(B+C)=P(B)+P(C)=.
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A+B+C)
=1-P(B+C)-P(A)
=1--=，
∴他不中奖的概率为.
解
(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是，求他中三等奖的概率.
答案
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∵P(A+B)=，又P(A+B)=P(A)+P(B)，
∴P(B)=-=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=，
∴P(C)=-=.
∴他中三等奖的概率为.
解
第五章　§5.3　概率
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