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(共83张PPT)
5.3.3
古典概型
第五章　§5.3　概率
<<<
1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.
2.会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题.
学习目标
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
导 语
一、古典概型的理解
二、古典概型中概率的计算
课时对点练
三、概率性质在古典概型中的应用
随堂演练
内容索引
古典概型的理解
一
提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
问题1
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是 (简称为 )，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即 )发生的可能性大小 (简称为 )，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为 .
有限的
基本事件
有限性
都相等
等可能性
古典概型
一般地，古典概型具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性大小都相等.
注 意 点
<<<
　下列是古典概型的是
A.任意抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为
样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求
甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
例 1
√
A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型.
解析
古典概型的判断，关键看是否满足两个特征
(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点出现的可能性相等.
反
思
感
悟
　下列选项中是古典概型的是
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
跟踪训练 1
√
A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；
C项中样本点的个数是无限多个；
D项中样本点的出现是等可能的，样本点的个数是有限个.
解析
二
古典概型中概率的计算
在掷骰子的试验中，记A事件为“点数为偶数”，A事件包含哪些样本点？A事件发生的概率是多少？
问题2
提示　A={2，4，6}.
对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，记事件“出现偶数点”为B，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=，P(B)==.
一般地，设试验E是古典概型，样本空间含有n个样本点，事件C包含有m个样本点，则定义事件C的概率P(C)=_____.
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树形图法适用于较复杂的试验的题目.
注 意 点
<<<
(1)(课本例2)按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率.
例 2
这个试验的样本空间可记为Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
共包含4个样本点.
记A：至少出现一个正面，则A={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，
A包含的样本点个数为3，所以P(A)=.
解
(2)(课本例3)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示.
解
因此样本空间可记为
Ω={(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点.
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则
A={(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，
A包含的样本点个数为4，所以P(A)==.
一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
例 2
将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)}，共有6个样本点，所以n=6.
解
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
事件“摸出2个黑球”={(A1，A2)，(A2，A3)，(A1，A3)}，共有3个样本点.
解
(3)摸出2个黑球的概率.
样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数为3，故P==，即“摸出2个黑球”的概率为.
解
求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定样本点的总数n；
(3)确定事件A包含的样本点个数m；
(4)计算事件A发生的概率，即P(A)=.
反
思
感
悟
(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A. B.
C. D.
跟踪训练 2
√
从5支彩笔中任取2支彩笔，样本空间为{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共含10个样本点.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P==.
解析
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为　　　　.
记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为.
解析
概率性质在古典概型中的应用
三
(课本例5)先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，P()，P(B)，P(AB).
例 3
用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，5，6}，
解
而且样本空间可用如图直观表示.样本空间中，
共包含36个样本点.不难看出，A={(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，
(2，5)，(1，6)}，A包含6个样本点，(即图中实线框中的点)，因此P(A)==.
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？
例 3
把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，
则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
解
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)==；
记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)==，
又事件A与B为互斥事件，
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
解
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C，
则事件为“甲、乙两人都抽到判断题”，
由题意得P()==，
故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()=1-=.
解
古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
反
思
感
悟
(多选)掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件，则一次试验中，下列说法正确的是
A.P= B.P=
C.P= D.P=
跟踪训练3
√
√
√
掷一个骰子的试验有6种可能结果，出现的点数分别为1，2，3，4，5，6，则满足事件A的情况有点数为2，4；满足事件B的情况有点数为1，2，3，4.
依题意，P==，P==，
故A，B正确；
P=1-=，
因为表示“出现5点或6点”的事件，A表示“出现小于5的偶数点”，所以A与互斥，
解析
故P=P+P=，故D错误；
表示“出现的点数为1，3，5，6”的事件，
则P==，
显然包含在内，
则P=P=，故C正确.
解析
1.知识清单：
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的计算.
(3)概率性质在古典概型中的应用.
2.方法归纳：列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区：基本事件列举没有规律，出现重复或遗漏.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列试验是古典概型的是
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一
球得白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.某篮球运动员投篮一次命中的概率
A，D不是等可能事件，C不满足有限性，B满足有限性和等可能性.
解析
√
1
2
3
4
2.袋中装有除颜色外大小形状完全相同的6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为
A. B.
C. D.
从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，
则所求概率为P==.
解析
√
1
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3
4
3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“m≠2n”的概率为
A. B.
C. D.
√
1
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4
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有6×6=36(个)样本点，
设事件A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，且“m=2n”，
则事件A中的样本点为(2，1)，(4，2)，(6，3)，P(A)==，
所以P()=1-=，故“m≠2n”的概率为.
解析
1
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4
4.从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃8”，事件B为“抽得为黑桃”，则事件“A+B”的概率为　　　　.
P(A)=，P(B)==，事件A，B是互斥事件，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
解析
课时对点练
五
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 ABD C C B C ABD
题号 11 12 13 14 15 答案 A A 120 C
对一对
9.
答案
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设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7个样本点，则中三等奖的概率为P(A)=.
9.
答案
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(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种，两个小球号码相加之和等于5的取法有2种，两个小球号码相加之和等于6的取法有1种，
则中奖概率为P(B)==.
10.
答案
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记事件A表示“考生选择生物学科”；
事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”；
事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”；
事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”；
事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”.
(1) P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A+B，A∩B= ，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
10.
答案
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(2)由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35，
因为D+E=A，且D，E为互斥事件，
所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
16.
答案
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(1)依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1=，
则有1-=，解得n=1.
(2)记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们是等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2=，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是.
基础巩固
1.(多选)下列试验是古典概型的为
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案
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√
√
√
A，B，D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.
C不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响.
解析
2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是
A.0.02 B.0.05
C.0.1 D.0.9
答案
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由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型的概率公式求得概率是=0.1.
解析
√
3.用1，2，3组成无重复数字的三位数，这个数能被2整除的概率是
A. B.
C. D.
答案
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用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为.
解析
√
4.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为
A. B.
C. D.
答案
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两只红色袜子分别设为A1，A2，两只黑色袜子分别设为B1，B2，这个试验的样本空间可记为Ω={(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)}，共包含6个样本点，记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则A={(A1，A2)，(B1，B2)}，A包含的样本点个数为2，所以P(A)=.
解析
5.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为
A. B.
C. D.
答案
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记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为a，b，c，d，则样本空间Ω={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共有6个样本点.记事件A表示“其中一个节气是立春”，则A={(a，b)，(a，c)，(a，d)}，有3个样本点，由古典概型的概率公式可知P(A)==.
解析
6.(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则
A.“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B.“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的概率为
C.“丁、戊中至多有一人被录用”的概率为
D.“甲或乙被录用”的概率为
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由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有样本点为(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10个，故A正确；
其中“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的样本点有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，共7个，
故“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的概率为，故B正确；
解析
答案
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“丁，戊中至多有一人被录用”的对立事件为“丁，戊两人都被录用”，其样本点有(甲，丁，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共3个，
故“丁，戊中至多有一人被录用”的概率为1-=，故C错误；
“甲或乙被录用”的对立事件为“甲与乙都未被录用”，其样本点只有(丙，丁，戊)这1个，故“甲或乙被录用”的概率为1-=，故D正确.
解析
7.2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自
于不同公司的概率为　　　.
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设从甲公司购买的3台机器人记为A，B，C，从乙公司购买的2台机器人记为a，b，
从中任取2台机器人的情况为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)共10种，
其中这2台来自于不同公司的情况分别为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6种，
故所求概率P==.
解析
8.从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　.
从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个样本点，故至少一名女生当选的概率为P=1-=.
解析
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9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率；
答案
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设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16个样本点.
取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7个样本点，则中三等奖的概率为P(A)=.
解
(2)求中奖的概率.
答案
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由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种，两个小球号码相加之和等于5的取法有2种，两个小球号码相加之和等于6的取法有1种，
则中奖概率为P(B)==.
解
10.根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是互不影响的.
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科的概率；
答案
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记事件A表示“考生选择生物学科”；
事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”；
事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”；
事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”；
事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”.
P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A+B，A∩B= ，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
解
(2)某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
答案
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由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35，
因为D+E=A，且D，E为互斥事件，
所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
解
11.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是
A. B.
C. D.
综合运用
答案
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√
记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共包含16个样本点，则两次取出小球颜色不同包括(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，4)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共10个样本点，所以两次取出小球颜色不同的概率为.
解析
答案
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12.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f(x)=ax2-2bx在区间
(1，+∞)上单调递增的概率是
A. B.
C. D.
答案
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∵a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，
∴共含有12个样本点.
函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增，
①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个样本点；
②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，-1)，(1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个样本点.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=.
解析
13.在一次教师联欢会上，到场的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.
答案
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可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1-=.
再由题意，知n-n=12，解得n=120.
解析
14.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(都为整数)，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　.
答案
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从图中的数据知甲组数据的平均数为=90.被污损的数字可以是0，1，2，…，9，共10种情况.
若甲、乙两组平均数相等，有90×5-(83+83+87+99)=98，则被污损的数字为8.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，则被污损的数字可为0，1，…，7，共8个样本点，
故其概率P==.
解析
15.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)，一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为
A. B.
C. D.
拓广探究
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如图，将七块板编号，
解析
所以从七巧板的七块板中任意取出两块的样本点有
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，
(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，
(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共21个，
答案
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解析
设七块板组成的正方形的面积为2S，
则编号1，2的面积为，则编号4，6的面积为，
编号3，5，7的面积为，
任取两块板面积相等的样本点有(1，2)，(4，6)，(3，5)，(3，7)，
(5，7)，共5个.
从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为P=.
16.科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%.现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧原子，这个氧原子不是17O的概率为.
(1)求n；
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依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1=，
则有1-=，解得n=1.
解
(2)若从中随机选取2个氧原子，求这2个氧原子是同一种同位素的概率.
答案
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记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们是等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2=，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是.
解
第五章　§5.3　概率
<<<5.3.3　古典概型
学习目标　1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.2.会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题.
导语
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
一、古典概型的理解
问题1　我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
知识梳理
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
注意点：
一般地，古典概型具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性大小都相等.
例1　下列是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
答案　C
解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型.
反思感悟　古典概型的判断，关键看是否满足两个特征
(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1　下列选项中是古典概型的是(　　)
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案　D
解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，样本点的个数是有限个.
二、古典概型中概率的计算
问题2　在掷骰子的试验中，记A事件为“点数为偶数”，A事件包含哪些样本点？A事件发生的概率是多少？
提示　A={2，4，6}.
对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，记事件“出现偶数点”为B，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=，P(B)==.
知识梳理
一般地，设试验E是古典概型，样本空间含有n个样本点，事件C包含有m个样本点，则定义事件C的概率P(C)=.
注意点：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树形图法适用于较复杂的试验的题目.
例2　(1)(课本例2)按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率.
解　这个试验的样本空间可记为Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
共包含4个样本点.
记A：至少出现一个正面，则A={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，
A包含的样本点个数为3，所以P(A)=.
(2)(课本例3)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解　按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示.
因此样本空间可记为
Ω={(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点.
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则
A={(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，
A包含的样本点个数为4，所以P(A)==.
例2　一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解　(1)将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)}，共有6个样本点，所以n=6.
(2)事件“摸出2个黑球”={(A1，A2)，(A2，A3)，(A1，A3)}，共有3个样本点.
(3)样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数为3，故P==，即“摸出2个黑球”的概率为.
反思感悟　求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定样本点的总数n；
(3)确定事件A包含的样本点个数m；
(4)计算事件A发生的概率，即P(A)=.
跟踪训练2　(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)从5支彩笔中任取2支彩笔，样本空间为{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共含10个样本点.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P==.
(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为.
三、概率性质在古典概型中的应用
例3　(课本例5)先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，P()，P(B)，P(AB).
解　用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，5，6}，
而且样本空间可用如图直观表示.样本空间中，共包含36个样本点.不难看出，A={(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，A包含6个样本点，(即图中实线框中的点)，因此P(A)==.
例3　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解　把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，
则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)==；
记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)==，
又事件A与B为互斥事件，
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C，
则事件为“甲、乙两人都抽到判断题”，
由题意得P()==，
故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()=1-=.
反思感悟　古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
跟踪训练3　(多选)掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件，则一次试验中，下列说法正确的是(　　)
A.P= B.P=
C.P= D.P=
答案　ABC
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果，出现的点数分别为1，2，3，4，5，6，则满足事件A的情况有点数为2，4；满足事件B的情况有点数为1，2，3，4.
依题意，P==，P==，
故A，B正确；
P=1-=，
因为表示“出现5点或6点”的事件，A表示“出现小于5的偶数点”，所以A与互斥，
故P=P+P=，故D错误；
表示“出现的点数为1，3，5，6”的事件，
则P==，
显然包含在内，
则P=P=，故C正确.
1.知识清单：
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的计算.
(3)概率性质在古典概型中的应用.
2.方法归纳：列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区：基本事件列举没有规律，出现重复或遗漏.
1.下列试验是古典概型的是(　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.某篮球运动员投篮一次命中的概率
答案　B
解析　A，D不是等可能事件，C不满足有限性，B满足有限性和等可能性.
2.袋中装有除颜色外大小形状完全相同的6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，
则所求概率为P==.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“m≠2n”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有6×6=36(个)样本点，
设事件A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，且“m=2n”，
则事件A中的样本点为(2，1)，(4，2)，(6，3)，P(A)==，
所以P()=1-=，故“m≠2n”的概率为.
4.从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃8”，事件B为“抽得为黑桃”，则事件“A+B”的概率为　　　　.
答案　
解析　P(A)=，P(B)==，事件A，B是互斥事件，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)下列试验是古典概型的为(　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案　ABD
解析　A，B，D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响.
2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是(　　)
A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9
答案　C
解析　由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型的概率公式求得概率是=0.1.
3.用1，2，3组成无重复数字的三位数，这个数能被2整除的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为.
4.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　两只红色袜子分别设为A1，A2，两只黑色袜子分别设为B1，B2，这个试验的样本空间可记为Ω={(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)}，共包含6个样本点，记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则A={(A1，A2)，(B1，B2)}，A包含的样本点个数为2，所以P(A)=.
5.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为a，b，c，d，则样本空间Ω={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共有6个样本点.记事件A表示“其中一个节气是立春”，则A={(a，b)，(a，c)，(a，d)}，有3个样本点，由古典概型的概率公式可知P(A)==.
6.(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则(　　)
A.“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B.“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的概率为
C.“丁、戊中至多有一人被录用”的概率为
D.“甲或乙被录用”的概率为
答案　ABD
解析　由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有样本点为(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10个，故A正确；
其中“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的样本点有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，共7个，
故“甲、乙、丙中至少有两人被录用”的概率为，故B正确；
“丁，戊中至多有一人被录用”的对立事件为“丁，戊两人都被录用”，其样本点有(甲，丁，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共3个，
故“丁，戊中至多有一人被录用”的概率为1-=，故C错误；
“甲或乙被录用”的对立事件为“甲与乙都未被录用”，其样本点只有(丙，丁，戊)这1个，故“甲或乙被录用”的概率为1-=，故D正确.
7.(5分)2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为　　　　　.
答案　
解析　设从甲公司购买的3台机器人记为A，B，C，从乙公司购买的2台机器人记为a，b，
从中任取2台机器人的情况为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)共10种，
其中这2台来自于不同公司的情况分别为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6种，
故所求概率P==.
8.(5分)从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　.
答案　
解析　从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个样本点，故至少一名女生当选的概率为P=1-=.
9.(10分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率；(5分)
(2)求中奖的概率.(5分)
解　设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7个样本点，则中三等奖的概率为P(A)=.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种，两个小球号码相加之和等于5的取法有2种，两个小球号码相加之和等于6的取法有1种，
则中奖概率为P(B)==.
10.(11分)根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是互不影响的.
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科的概率；(5分)
(2)某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.(6分)
解　记事件A表示“考生选择生物学科”；
事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”；
事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”；
事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”；
事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”.
(1)P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A+B，A∩B= ，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
(2)由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35，
因为D+E=A，且D，E为互斥事件，
所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
11.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共包含16个样本点，则两次取出小球颜色不同包括(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，4)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共10个样本点，所以两次取出小球颜色不同的概率为.
12.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，
∴共含有12个样本点.
函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增，
①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个样本点；
②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，-1)，(1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个样本点.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=.
13.(5分)在一次教师联欢会上，到场的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.
答案　120
解析　可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为
1-=.
再由题意，知n-n=12，解得n=120.
14.(5分)如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(都为整数)，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　　　.
答案　
解析　从图中的数据知甲组数据的平均数为=90.被污损的数字可以是0，1，2，…，9，共10种情况.
若甲、乙两组平均数相等，有90×5-(83+83+87+99)=98，则被污损的数字为8.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，则被污损的数字可为0，1，…，7，共8个样本点，
故其概率P==.
15.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)，一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，将七块板编号，
所以从七巧板的七块板中任意取出两块的样本点有
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，
(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共21个，
设七块板组成的正方形的面积为2S，
则编号1，2的面积为，则编号4，6的面积为，
编号3，5，7的面积为，
任取两块板面积相等的样本点有(1，2)，(4，6)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，共5个.
从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为P=.
16.(12分)科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O
占0.204%.现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧原子，这个氧原子不是17O的概率为.
(1)求n；(5分)
(2)若从中随机选取2个氧原子，求这2个氧原子是同一种同位素的概率.(7分)
解　(1)依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1=，
则有1-=，解得n=1.
(2)记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们是等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2=，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是.

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