资源简介

(共88张PPT)
5.3.5
随机事件的独立性
第五章　§5.3　概率
<<<
1.理解相互独立事件的定义及意义.
2.理解相互独立事件的充要条件.
3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
学习目标
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？
导 语
一、相互独立事件的概念与判断
二、相互独立事件概率的求法
课时对点练
三、相互独立事件概率的综合应用
随堂演练
内容索引
相互独立事件的概念与判断
一
提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}.由古典概型概率公式，得
P(A)=P(B)=，P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
问题
相互独立事件的概念与性质
(1)定义：一般地，设A，B为两个事件，当 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质：如果事件A与B相互独立，则与 ， 与，与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
对于n个事件“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
P(AB)=P(A)P(B)
B
A
两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
注 意 点
<<<
　有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取球两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
例 1
依题意，试验的样本空间
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
解
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
事件A和事件B相互独立，理由如下：
由(1)知试验的样本空间包含16个等可能的样本点，因为A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)}，B={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以P(A)==，P(B)==，
又AB={(1，4)}，所以P(AB)=，
故P(A)P(B)==P(AB)，所以事件A和事件B相互独立.
解
判断两事件是否相互独立的方法
(1)直观法：利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响.
(2)公式法：若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则A与B相互独立.
反
思
感
悟
　(多选)下面所给出的事件中，M与N相互独立的是
A.抛掷一枚骰子，事件M={出现1点}，事件N={出现2点}
B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件M={第一枚出现正面}，事件
N={第二枚出现反面}
C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，
观察颜色后放回袋中，事件M={第一次取到绿球}，N={第二次取到绿球}
D.某射手射击一次，事件M={击中靶心}，事件N={未击中靶心}
跟踪训练 1
√
√
A中事件M与N是互斥事件，∴M与N不是相互独立事件；
B中第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，∴M与N相互独立；
C中由于每次取球观察颜色后放回，故事件M的发生对事件N发生的概率没有影响，∴M与N相互独立；
D中M与N是互斥事件且是对立事件，∴M与N不是相互独立事件.
解析
二
相互独立事件概率的求法
相互独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)= ；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)= .
P(A)·P(B)
P(A1)·P(A2)·…·P(An)
(课本例2)已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
例 2
记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56，
即都命中的概率为0.56.
解
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
记事件Ai：甲第i次投中，其中i=1，2，则P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即A1+A2，
注意到A1与A2相互独立，且A1与A2互斥，因此
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
解
已知甲袋中装有3个红球、2个白球，乙袋中装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外没有其他差异，现从甲、乙两袋中各随机抽取一球.
(1)求所抽取的两球都是红球的概率；
例 2
设事件A表示“从甲袋中随机抽取的一球是红球”，
事件B表示“从乙袋中随机抽取的一球是红球”，
则P(A)=，P(B)=，由题意得事件A与B相互独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=，
即所抽取的两球都是红球的概率为.
解
(2)求所抽取的两球中至少有一个红球的概率.
方法一　“所抽取的两球中至少有一个红球”可以用A+B+AB表示，且A，B与AB两两互斥，
由概率的加法公式和相互独立事件的概率公式可得P(A+B+AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=，即所抽取的两球中至少有一个红球的概率为.
解
方法二　所求事件的对立事件为“所抽取的两球都是白球”，可以用 表示，则P( )=P()P()=×=，
由对立事件的性质可得，“所抽取的两球至少中有一个红球”的概率为1-P( )=1-=.
解
一般地，已知两个事件A，B，那么
(1)A，B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A+B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A+B+ .
反
思
感
悟
高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，且它们互不影响.求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
跟踪训练 2
分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85.
“三科成绩均未获得第一名”可以用事件表示，
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
解
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()·P(B)P(C)
+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)
P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×
(1-0.85)=0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
解
相互独立事件概率的综合应用
三
有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求：
(1)第四场结束比赛的概率；
例 3
因为甲连胜四场的概率P1=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4，
乙连胜四场的概率P2=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09，
所以第四场结束比赛的概率P=P1+P2=0.014 4+0.09=0.104 4.
解
(2)第五场结束比赛的概率.
第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能.
若甲胜第一场，则丙连胜四场的概率P3=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.049，
若乙胜第一场，则丙连胜四场的概率P4=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.073 5，所以第五场结束比赛的概率P5=P3+P4=0.122 5.
解
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
反
思
感
悟
某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲队总得分为3分的概率；
跟踪训练3
记“甲队总得分为3分”为事件A，
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)==.
解
(2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率.
记“乙队总得分为1分”为事件B.
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(B)=××+××+××=，
由题意得事件A与事件B相互独立，
则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=.
解
1.知识清单：
(1)相互独立事件的概念与判断.
(2)相互独立事件概率的求法.
2.方法归纳：正难则反、逆向思维.
3.常见误区：相互独立事件的判断；相互独立事件与互斥事件的区别.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.以上都不对
根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知.
解析
√
1
2
3
4
2.高二(1)班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7.若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是
A.0.12 B.0.18
C.0.28 D.0.42
因为甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7，且甲、乙同学是否命中相互独立，
所以若甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是0.6×0.7=0.42.
解析
√
1
2
3
4
3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是
A. B.
C. D.
√
由题意知，恰有一次通过的概率为×+×=.
解析
1
2
3
4
4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　.
设此队员每次罚球的命中率为p，
则1-p2=，所以p=.
解析
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D C 0.12　0.58
题号 11 12 13 14 15 答案 B C BCD 0.128 AD
对一对
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
(1)由题意得P()P()=，
解得P()=或P()=-(舍去)，
故p=1-P()=，
所以乙投球的命中率为.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)方法一　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1-P()=1-P()P()=.
方法二　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
2P(A)P()+P(A)P(A)=.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则
P(A)=，P(B)=，P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).
(1)三人都合格的概率P3=P(ABC)
=P(A)·P(B)P(C)=××=.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)三人都不合格的概率P0=P()
=P()·P()P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现一人合格的概率最大.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)事件A与事件B不相互独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为××=，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=；
若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(B)=××+××+××+××==；
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(AB)=××+××+××=，
因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立.
基础巩固
1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
事件A={2，4，6}，事件B={3，6}，
事件AB={6}，样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)==，P(B)==，P(AB)==×，即P(AB)=P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
解析
2.据天气预报，在某假期期间甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
A.0.2 B.0.3
C.0.38 D.0.56
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2×(1-0.3)+(1-0.2)×0.3=0.38.
解析
√
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设Ai={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3，第3次拨号才接通电话可表示为 A3，显然，，，A3相互独立，
所以P( A3)=××=.
解析
√
4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队每局赢的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1=；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
解析
5.太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一人实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱进行实验成功的概率分别为，，，每人出舱进行实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为甲、乙、丙各自出舱进行实验成功的概率分别为，，，每人出舱进行实验能否成功相互独立，
若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为
P=1-××=.
解析
6.为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛.经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛.按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为p，“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为(“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响)，则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为
A.B. C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜，则×(1-p)+p=-p=，
解得p=.
所以两队同时获得冠军的概率为
p=×=.
解析
7.假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(AB)=　　　　　　，P(A∪B)=　　　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.12
0.58
P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12.
P(A∪B)=1-P()P()=1-0.7×0.6=0.58.
解析
8.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为　　　　.
分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，
则P(A)=，P(B)=，P(C)=，
停车一次为事件(BC)+(AC)+(AB)，
故其概率P=××+××+××=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
由题意得P()P()=，
解得P()=或P()=-(舍去)，
故p=1-P()=，
所以乙投球的命中率为.
解
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1-P()=1-P()P()=.
方法二　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
2P(A)P()+P(A)P(A)=.
解
10.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则
P(A)=，P(B)=，P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).
三人都合格的概率P3=P(ABC)
=P(A)·P(B)P(C)=××=.
解
(2)三人都不合格的概率；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
三人都不合格的概率P0=P()
=P()·P()P()=××=.
解
(3)出现几人合格的概率最大.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
恰有两人合格的概率
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现一人合格的概率最大.
解
11.张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.8，做对两道题的概率是0.6，能否做对两道题之间互不影响，则预估做对第二道题的概率是
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
设事件Ai(i=1，2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)=0.8，P(A1A2)=0.6，由P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=0.8P(A2)=0.6，解得P(A2)==0.75.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为
P()P()[1-P(AB)]
=××=.
所以灯亮的概率P=1-=.
解析
13.(多选)如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，…，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，若事件A={2，4，6，8}，事件B=
{1，3，5，8}，事件C={1，6，7，8}，则下列结论正确的是
A.事件A，B相互独立
B.事件A，C相互独立
C.事件B，C相互独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为事件A={2，4，6，8}，事件B={1，3，5，8}，事件C={1，6，7，8}，
所以A∩B∩C={8}，A∩B={8}，A∩C={6，8}，
B∩C={1，8}，
所以P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=，
P(AC)=，P(BC)=，P(ABC)=，
A选项，P(AB)≠P(A)P(B)，事件A，B不相互独立，A错误；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B选项，P(AC)=P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确；
C选项，P(BC)=P(B)P(C)，事件B，C相互独立，C正确；
D选项，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，D正确.
解析
14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.128
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由已知条件知，第2个问题答错，第3，4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，
则P(A)=0.8，
故P=P((A+AA)
=[1-P(A)]·P(A)·P(A)=0.128.
解析
15.(多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M=“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是
A.若n=2，则M与N不互斥 B.若n=2，则M与N相互独立
C.若n=3，则M与N互斥 D.若n=3，则M与N相互独立
拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当n=2时，所有样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，
其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，A选项正确；
P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立，B选项错误；
当n=3时，所有样本点有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
其中(正，正，反)，(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，C选项错误；
P(M)==，P(N)==，P(MN)=，
P(MN)=P(M)P(N)，则M与N相互独立，D选项正确.
解析
16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=.
解
(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A=“至少收到一个正确信号”；②事件B=“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
事件A与事件B不相互独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为××=，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=；
若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(B)=××+××+××+××==；
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(AB)=××+××+××=，
因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立.
解
第五章　§5.3　概率
<<<5.3.5　随机事件的独立性
学习目标　1.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解相互独立事件的充要条件.3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
导语
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？
一、相互独立事件的概念与判断
问题　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}.由古典概型概率公式，得
P(A)=P(B)=，P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
知识梳理　相互独立事件的概念与性质
(1)定义：一般地，设A，B为两个事件，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质：如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
对于n个事件“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
注意点：
两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
例1　有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取球两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
解　(1)依题意，试验的样本空间
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)事件A和事件B相互独立，理由如下：
由(1)知试验的样本空间包含16个等可能的样本点，因为A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)}，B={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以P(A)==，P(B)==，
又AB={(1，4)}，所以P(AB)=，
故P(A)P(B)==P(AB)，所以事件A和事件B相互独立.
反思感悟　判断两事件是否相互独立的方法
(1)直观法：利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响.
(2)公式法：若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则A与B相互独立.
跟踪训练1　(多选)下面所给出的事件中，M与N相互独立的是(　　)
A.抛掷一枚骰子，事件M={出现1点}，事件N={出现2点}
B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件M={第一枚出现正面}，事件N={第二枚出现反面}
C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件M={第一次取到绿球}，N={第二次取到绿球}
D.某射手射击一次，事件M={击中靶心}，事件N={未击中靶心}
答案　BC
解析　A中事件M与N是互斥事件，∴M与N不是相互独立事件；
B中第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，∴M与N相互独立；
C中由于每次取球观察颜色后放回，故事件M的发生对事件N发生的概率没有影响，∴M与N相互独立；
D中M与N是互斥事件且是对立事件，∴M与N不是相互独立事件.
二、相互独立事件概率的求法
相互独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
例2　(课本例2)已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
解　(1)记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以
P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56，
即都命中的概率为0.56.
(2)记事件Ai：甲第i次投中，其中i=1，2，则P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即A1+A2，
注意到A1与A2相互独立，且A1与A2互斥，因此
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
例2　已知甲袋中装有3个红球、2个白球，乙袋中装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外没有其他差异，现从甲、乙两袋中各随机抽取一球.
(1)求所抽取的两球都是红球的概率；
(2)求所抽取的两球中至少有一个红球的概率.
解　(1)设事件A表示“从甲袋中随机抽取的一球是红球”，
事件B表示“从乙袋中随机抽取的一球是红球”，
则P(A)=，P(B)=，由题意得事件A与B相互独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=，
即所抽取的两球都是红球的概率为.
(2)方法一　“所抽取的两球中至少有一个红球”可以用A+B+AB表示，且A，B与AB两两互斥，
由概率的加法公式和相互独立事件的概率公式可得P(A+B+AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=，即所抽取的两球中至少有一个红球的概率为.
方法二　所求事件的对立事件为“所抽取的两球都是白球”，可以用 表示，则P( )=P()P()=×=，
由对立事件的性质可得，“所抽取的两球至少中有一个红球”的概率为1-P( )=1-=.
反思感悟　一般地，已知两个事件A，B，那么
(1)A，B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A+B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A+B+ .
跟踪训练2　高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，且它们互不影响.求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解　分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用事件表示，
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()·P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
三、相互独立事件概率的综合应用
例3　有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求：
(1)第四场结束比赛的概率；
(2)第五场结束比赛的概率.
解　(1)因为甲连胜四场的概率P1=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4，
乙连胜四场的概率P2=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09，
所以第四场结束比赛的概率P=P1+P2=0.014 4+0.09=0.104 4.
(2)第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能.
若甲胜第一场，则丙连胜四场的概率P3=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.049，
若乙胜第一场，则丙连胜四场的概率P4=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.073 5，所以第五场结束比赛的概率P5=P3+P4=0.122 5.
反思感悟　求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
跟踪训练3　某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲队总得分为3分的概率；
(2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率.
解　(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)==.
(2)记“乙队总得分为1分”为事件B.
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(B)=××+××+××=，
由题意得事件A与事件B相互独立，
则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=.
1.知识清单：
(1)相互独立事件的概念与判断.
(2)相互独立事件概率的求法.
2.方法归纳：正难则反、逆向思维.
3.常见误区：相互独立事件的判断；相互独立事件与互斥事件的区别.
1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.以上都不对
答案　D
解析　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知.
2.高二(1)班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7.若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是(　　)
A.0.12 B.0.18 C.0.28 D.0.42
答案　D
解析　因为甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7，且甲、乙同学是否命中相互独立，
所以若甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是0.6×0.7=0.42.
3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，恰有一次通过的概率为
×+×=.
4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　.
答案　
解析　设此队员每次罚球的命中率为p，
则1-p2=，所以p=.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
答案　B
解析　事件A={2，4，6}，事件B={3，6}，
事件AB={6}，样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)==，P(B)==，P(AB)==×，即P(AB)=P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2.据天气预报，在某假期期间甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56
答案　C
解析　因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2×(1-0.3)+(1-0.2)×0.3=0.38.
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设Ai={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3，第3次拨号才接通电话可表示为 A3，显然，，，A3相互独立，
所以P( A3)=××=.
4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队每局赢的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1=；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
5.太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一人实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱进行实验成功的概率分别为，，，每人出舱进行实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为甲、乙、丙各自出舱进行实验成功的概率分别为，，，每人出舱进行实验能否成功相互独立，
若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为P=1-××=.
6.为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛.经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛.按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为p，“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为(“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响)，则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜，则×(1-p)+p=-p=，
解得p=.
所以两队同时获得冠军的概率为
p=×=.
7.(5分)假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(AB)=　　　　　　，P(A∪B)=　　　　　　.
答案　0.12　0.58
解析　P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12.
P(A∪B)=1-P()P()=1-0.7×0.6=0.58.
8.(5分)某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为　　　　.
答案　
解析　分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，
则P(A)=，P(B)=，P(C)=，
停车一次为事件(BC)+(AC)+(AB)，
故其概率P=××+××+××=.
9.(10分)甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；(5分)
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率.(5分)
解　设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
(1)由题意得P()P()=，
解得P()=或P()=-(舍去)，
故p=1-P()=，
所以乙投球的命中率为.
(2)方法一　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1-P()=1-P()P()=.
方法二　由题设知，P(A)=，P()=，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
2P(A)P()+P(A)P(A)=.
10.(11分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；(3分)
(2)三人都不合格的概率；(3分)
(3)出现几人合格的概率最大.(5分)
解　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则
P(A)=，P(B)=，P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).
(1)三人都合格的概率P3=P(ABC)
=P(A)·P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率P0=P()
=P()·P()P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现一人合格的概率最大.
11.张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.8，做对两道题的概率是0.6，能否做对两道题之间互不影响，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48
答案　B
解析　设事件Ai(i=1，2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)=0.8，P(A1A2)=0.6，由P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=0.8P(A2)=0.6，解得P(A2)==0.75.
12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为
P()P()[1-P(AB)]
=××=.
所以灯亮的概率P=1-=.
13.(多选)如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，…，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，若事件A={2，4，6，8}，事件B={1，3，5，8}，事件C={1，6，7，8}，则下列结论正确的是(　　)
A.事件A，B相互独立
B.事件A，C相互独立
C.事件B，C相互独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
答案　BCD
解析　因为事件A={2，4，6，8}，事件B={1，3，5，8}，事件C={1，6，7，8}，
所以A∩B∩C={8}，A∩B={8}，A∩C={6，8}，
B∩C={1，8}，
所以P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=，
P(AC)=，P(BC)=，P(ABC)=，
A选项，P(AB)≠P(A)P(B)，事件A，B不相互独立，A错误；
B选项，P(AC)=P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确；
C选项，P(BC)=P(B)P(C)，事件B，C相互独立，C正确；
D选项，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，D正确.
14.(5分)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.
答案　0.128
解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3，4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，
则P(A)=0.8，
故P=P((A+AA)
=[1-P(A)]·P(A)·P(A)=0.128.
15.(多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M=“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(　　)
A.若n=2，则M与N不互斥
B.若n=2，则M与N相互独立
C.若n=3，则M与N互斥
D.若n=3，则M与N相互独立
答案　AD
解析　当n=2时，所有样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，
其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，A选项正确；
P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立，B选项错误；
当n=3时，所有样本点有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，
其中(正，正，反)，(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，C选项错误；
P(M)==，P(N)==，P(MN)=，
P(MN)=P(M)P(N)，则M与N相互独立，D选项正确.
16.(12分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(4分)
(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A=“至少收到一个正确信号”；②事件B=“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明.(8分)
解　(1)重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=.
(2)事件A与事件B不相互独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为××=，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=；
若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(B)=××+××+××+××==；
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故P(AB)=××+××+××=，
因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立.

展开更多......

收起↑