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6.1.2　向量的加法
学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
导语　
我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律，乘法交换律、分配律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.
一、向量加法的三角形法则
问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和.
问题2　请结合课本例1，探索一下|a+b|与|a|，|b|之间的关系？
提示　(1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b方向不同，且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时，a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
知识梳理
1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b，因此+=.当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a+b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.
2.对任意向量a，有a+0=0+a=a.
3.向量a，b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
注意点：
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”.
例1　(1)如图所示，
①a+b=　　　　；
②c+d=　　　　；
③a+b+d=　　　　；
④c+d+e=　　　　.
答案　①c　②f　③f　④g
(2)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　，　　　　.
答案　20　4
解析　当a，b共线且同向时，
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20，
当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4.
当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20，
综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4.
例1　(2)(课本例1)已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
解　由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|=3+4=7，
当且仅当a与b方向相同时取得最大值.
由|a+b|≥||a|-|b||可知，|a+b|的最小值为||a|-|b||=|3-4|=1，
当且仅当a与b方向相反时取得最小值.
反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++……+=.
跟踪训练1　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①+=　　　　　；
②+=　　　　　.
答案　①　②
解析　如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知
+=+=，
+=+=.
(2)若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(　　)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a，b无论什么关系均可
答案　A
解析　由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确；若a，b是方向相反的向量，则|a+b|=||a|-|b||，B错误；若a=-b，则a+b=0，|a+b|=0，C错误；若a，b为任意非零向量，有|a+b|≤|a|+|b|，D错误.
二、向量加法的平行四边形法则
问题3　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
提示　F=F1+F2；平行四边形法则.
知识梳理
1.平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为=，所以=+=+，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
3.向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a+b=b+a.
注意点：
运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同.
例2　(1)如图①所示，求作向量a+b；
(2)如图②所示，求作向量a+b+c.
图①　　　　　　图②
解　(1)首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示.
图③
(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
图④　　　　　　 　　　　图⑤
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则=+=a+b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则=+=a+b+c即为所求.
反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形 法则 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边 形法则 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和
跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)+=　　　　　；
(2)+=　　　　　；
(3)+=　　　　　.
答案　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故+=.
(2)因为=，故+与方向相同，长度为的长度的2倍，
故+=.
(3)因为=，故+=+=0.
三、多个向量相加
问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法也满足交换律，是否也满足结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
提示　如图，不难证明满足结合律.
知识梳理
加法结合律(a+b)+c=a+(b+c).
例3　(课本例2)化简下列各式：
(1)++；
(2)++++.
解　(1)++=(+)+=+=.
(2)++++
=++(++)
=++=(+)+
=+
==0.
例3　化简：
(1)+；
(2)++；
(3)++++.
解　(1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
跟踪训练3　++++等于(　　)
A. B.0 C. D.
答案　B
解析　++++
=+
=0+0=0.
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
1.化简++等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=.
2.正方形ABCD的边长为1，则|+|为(　　)
A.1 B. C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中，AB=1，易知AC=，所以|+|=||=AC=.
3.(多选)下列等式不正确的是(　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
答案　BD
解析　B错误，+=0；D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD.
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　+++=+++=++=+=.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.++++等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.
2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示(　　)
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
答案　B
解析　如图，易知tan α=，所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2 km，故选B.
3.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则++等于(　　)
A. B.
C. D.0
答案　A
解析　++=+=.
4.设a，b是非零向量，则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　对于充分性，易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a，b方向相反，且|a|≥|b|，
所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b，所以充分性成立；
对于必要性，若a∥b，当a，b的方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，因此必要性不成立，
所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
5.在如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　利用平行四边形法则作出向量+(图略)，平移即可发现+=.
6.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案　D
解析　由于||=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形.
7.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
(1)++=　　　　；
(2)++=　　　　.
答案　(1)　(2)0
8.(5分)在边长为1的等边三角形ABC中，|+|=　　，|+|=　　　　.
答案　1　
解析　易知|+|=||=1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=.
9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)++；(3分)
(2)++；(3分)
(3)++.(4分)
解　(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
10.(12分)某人在静水中游泳，速度大小为4 千米/时，他在水流速度大小为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解　如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作 OACB，则此人的实际速度为+=.
由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
11.在矩形ABCD中，||=2，设=a，=b，=c，则|a+b+c|的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　C
解析　由题意可知a+b+c=++=+，
如图，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE，
∴CE∥AD，CE=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴=，
∴+=+=，
∴|a+b+c|=||=4.
12.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则下列结论中正确的是(　　)
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
答案　D
解析　+=，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外.
13.(多选)设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为(　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
答案　AC
解析　由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确.
14.(5分)已知点G是△ABC的重心，则++=　　　.
答案　0
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED，
则+=，+=0，
∴++=0.
15.(5分)设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.
答案　3
解析　在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1的位置时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.
16.(12分)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0.
证明　由题意知，=+，
=+，=+.
由平面几何知识可知，=，=，
所以++
=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.(共74张PPT)
6.1.2
向量的加法
第六章　§6.1　平面向量及其线性运算
<<<
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
学习目标
我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律，乘法交换律、分配律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.
导 语
一、向量加法的三角形法则
二、向量加法的平行四边形法则
课时对点练
三、多个向量相加
随堂演练
内容索引
向量加法的三角形法则
一
某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
问题1
提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和.
请结合课本例1，探索一下|a+b|与|a|，|b|之间的关系？
问题2
提示　(1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b方向不同，且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时，a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作 ，因此+=.当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a+b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的 .
a+b
三角形法则
2.对任意向量a，有a+0= =a.
3.向量a，b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
0+a
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”.
注 意 点
<<<
　(1)如图所示，
例 1
①a+b=　　；
②c+d=　　；
③a+b+d=　　；
④c+d+e=　　.
c
f
f
g
(2)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　，　　　.
20
4
当a，b共线且同向时，
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20，
当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4.
当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20，
综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4.
解析
　(2)(课本例1)已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
例 1
由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|=3+4=7，
当且仅当a与b方向相同时取得最大值.
由|a+b|≥||a|-|b||可知，|a+b|的最小值为||a|-|b||=|3-4|=1，
当且仅当a与b方向相反时取得最小值.
解
向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++……+=.
反
思
感
悟
　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
跟踪训练 1
①+=　　　；
②+=　　　.
如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知
+=+=，
+=+=.
解析
(2)若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a，b无论什么关系均可
√
由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确；
若a，b是方向相反的向量，则|a+b|=||a|-|b||，B错误；
若a=-b，则a+b=0，|a+b|=0，C错误；
若a，b为任意非零向量，有|a+b|≤|a|+|b|，D错误.
解析
二
向量加法的平行四边形法则
提示　F=F1+F2；平行四边形法则.
图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
问题3
1.平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为=，所以=+=+，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
3.向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a+b= .
b+a
运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同.
注 意 点
<<<
(1)如图①所示，求作向量a+b；
例 2
图①
首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示.
解
图③
(2)如图②所示，求作向量a+b+c.
图②
方法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
解
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则=+=a+b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则=+=a+b+c即为所求.
图④　　 图⑤
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
反
思
感
悟
区别 联系
三角形 法则 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
跟踪训练 2
因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故+=.
解析
(1)+=　　　　；
(2)+=　　　；
因为=，故+与方向相同，长度为的长度的2倍，
故+=.
解析
(3)+=　　　.
因为=，故+=+=0.
解析
多个向量相加
三
提示　如图，不难证明满足结合律.
我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法也满足交换律，是否也满足结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
问题4
(a+b)+c
加法结合律 =a+(b+c).
(课本例2)化简下列各式：
(1)++；
例 3
++=(+)+=+=.
解
(2)++++.
++++
=++(++)
=++=(+)+
=+
==0.
解
化简：
(1)+；
例 3
+=+=.
解
(2)++；
++=++
=(+)+=+=0.
解
(3)++++.
++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
解
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
反
思
感
悟
++++等于
A. B.0
C. D.
跟踪训练3
++++
=+
=0+0=0.
解析
√
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.化简++等于
A. B.
C. D.
根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=.
解析
√
1
2
3
4
2.正方形ABCD的边长为1，则|+|为
A.1 B.
C.3 D.2
√
在正方形ABCD中，AB=1，易知AC=，所以|+|=||=AC=.
解析
1
2
3
4
3.(多选)下列等式不正确的是
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
√
√
B错误，+=0；
D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD.
解析
1
2
3
4
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于
A. B.
C. D.
+++=+++=++=+=.
解析
√
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B A A C D (1)　(2)0
题号 8 11 12 13 14 15
答案 1　 C D AC 0 3
对一对
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
10.
答案
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如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作 OACB，则此人的实际速度为+=.
由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
16.
答案
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由题意知，=+，
=+，=+.
由平面几何知识可知，=，=，
所以++=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.
基础巩固
1.++++等于
A. B.
C. D.
答案
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√
++++=(+)+(+)+=++=(+)
+=+=.
解析
2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
答案
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如图，易知tan α=，所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2 km，故选B.
解析
3.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则++等于
A. B.
C. D.0
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++=+=.
解析
√
4.设a，b是非零向量，则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
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对于充分性，易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a，b方向相反，且|a|≥|b|，
所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b，所以充分性成立；
对于必要性，若a∥b，当a，b的方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，因此必要性不成立，
所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
解析
5.在如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+等于
A. B.
C. D.
答案
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√
利用平行四边形法则作出向量+(图略)，平移即可发现+=
.
解析
6.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案
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由于||=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形.
解析
√
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
答案
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(1)++=　　　　；
(2)++=　　　　.
8.在边长为1的等边三角形ABC中，|+|=　　，|+|=　　　　.
易知|+|=||=1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=.
解析
答案
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9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)++；
答案
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++=+=.
解
(2)++；
答案
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++=(+)+=+=.
解
(3)++.
++=++=+=.
解
10.某人在静水中游泳，速度大小为4 千米/时，他在水流速度大小为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
答案
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如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作 OACB，则此人的实际速度为+=.
解
由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
11.在矩形ABCD中，||=2，设=a，=b，=c，则|a+b+c|的值为
A.2 B.3
C.4 D.5
综合运用
答案
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由题意可知a+b+c=++=+，
如图，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE，
解析
∴CE∥AD，CE=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴=，
∴+=+=，
∴|a+b+c|=||=4.
12.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则下列结论中正确的是
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
答案
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+=，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外.
解析
13.(多选)设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
答案
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由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确.
解析
√
√
14.已知点G是△ABC的重心，则++=　　　.
答案
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如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED，
则+=，+=0，
∴++=0.
解析
15.设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.
拓广探究
答案
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在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1的位置时，O，A，B1三
点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.
解析
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0.
答案
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由题意知，=+，
=+，=+.
由平面几何知识可知，=，=，
所以++=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.
证明
第六章　§6.1　平面向量及其线性运算
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