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4.2.2　对数运算法则
学习目标　1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
一、对数的运算法则
问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).
问题2　结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？
提示　将指数式=ap-q化为对数式，得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).
问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？
提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R).
知识梳理
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga=logaM-logaN.
为方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数.
注意点：
(1)法则的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N+.
例1　(课本例2)计算下列各式的值：
(1)lg 4+lg 25；
(2)lg；
(3)log2(47×25)；
(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.
解　(1)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2.
(2)lg=lg 10=lg 100=.
(3)log2(47×25)=log247+log225
=7log24+5log22
=7×2+5×1=19.
(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5
=(lg 2)2+lg(10×2)×lg
=(lg 2)2+(1+lg 2)×(1-lg 2)
=(lg 2)2+1-(lg 2)2=1.
例1　计算下列各式的值：
(1)log345-log35；
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2；
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18；
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
解　(1)原式=log3=log39=log332=2.
(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用运算法则，对真数进行处理；
②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练1　计算下列各式的值：
(1)2log23-log2+log27-；
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
解　(1)原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
二、换底公式
问题4　假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，∴=log35.如果=x(c>0且c≠1)，等式还成立吗？
提示　成立，推导如下：
由=x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x，
∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，
∴=log35.
问题5　 假设=x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？
提示　将公式进行推广，可得=logab(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)，推导如下：由=x，则logcb=xlogca，即logcb=logcax，∴ax=b，由指数式和对数式的互化可得x=logab，∴=logab.
知识梳理
1.logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0且N≠1，a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1，b>0，n≠0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0，b>0，c>0，d>0且a≠1，b≠1，c≠1).
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=(a>0且a≠1，b>0).
例2　(1)(课本例3)求log89×log2732的值.
解　log89×log2732=×
=×
=×=.
例2　(1)计算：(log43+log83)log32=　　　　.
答案　
解析　原式=log32
=log32=+=.
(2)已知log189=a，18b=5，求log3645.(用a，b表示)
解　方法一　因为18b=5，所以b=log185.
所以log3645==
===
==.
方法二　因为18b=5，所以b=log185，
所以log3645==
==.
方法三　因为log189=a，18b=5，
所以lg 9=alg 18，lg 5=blg 18，
所以log3645===
==.
反思感悟　换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
跟踪训练2　已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256.
解　因为log23=a，所以=log32，
又因为log37=b，
所以log4256=
==.
三、对数运算的综合问题
例3　(1)设a=lg 2，b=lg 3，试用a，b表示lg.
解　因为108=4×27=22×33，
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b.
(2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值.
解　令3x=4y=6z=a(a>1)，
所以x=log3a，y=log4a，z=log6a，
所以-=-=×-×=-==.
反思感悟　(1)与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
跟踪训练3　已知3a=4b=c，且+=2，求实数c的值.
解　由题意知c>0且c≠1，由3a=4b=c，
得a=log3c，b=log4c，
所以==logc3，==logc4.
又+=2，
所以logc3+logc4=logc12=2，即c2=12，
所以c=2.
1.知识清单：
(1)对数的运算法则.
(2)换底公式.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件.
1.log5+log53等于(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.log5
答案　A
解析　log5+log53=log5=log51=0.
2.计算：log232-2log24等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　log232-2log24=log2=log22=1.
3.若log5×log36×log6x=2，则x等于(　　)
A.9 B. C.25 D.
答案　D
解析　由题意得××=-=2，
所以lg x=-2lg 5=lg 5-2，所以x=5-2=.
4.已知log62=p，log65=q，则lg 5=　　　　.(用p，q表示)
答案　
解析　lg 5===.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.log29×log34的值为(　　)
A.14 B.12 C.2 D.4
答案　D
解析　log29×log34=×=×=4.
2.(log312-2log32)等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案　B
解析　∵log64+log63=log6+log63
=log62+log63=log66=1，
log312-2log32=log312-log34=log33=1，
∴(log312-2log32)=1.
3.已知log3x=m，log3y=n，则log3用m，n可表示为(　　)
A.m-n B.m-n
C.- D.m-n
答案　D
解析　log3=log3-log3=log3-log3(y·=log3x-log3y
=m-n.
4.已知x，y为正实数，则(　　)
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y
B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
答案　D
解析　2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).
5.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln 2≈0.693，ln≈0.223，由此可知ln 5的近似值为(　　)
A.1.519 B.1.726 C.1.609 D.1.316
答案　C
解析　因为ln 2≈0.693，
所以ln 4=ln 22=2ln 2≈2×0.693=1.386，
因为ln ≈0.223，所以ln 5=ln=ln +ln 4≈0.223+1.386=1.609.
6.(多选)若log2m=log4n，则(　　)
A.n=2m B.log9n=log3m
C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn
答案　BCD
解析　因为log2m=log4n，所以m>0，n>0，又log2m=lon=log2n=log2，所以m=，即m2=n，故A错误；log9n=lom2=log3m=log3m，故B正确；ln n=ln m2=2ln m，故C正确；log8mn=lom3=log2m=log2m，故D正确.
7.(5分)log3+lg 4+lg 25+=　　　　.
答案　
解析　原式=+lg 102+1=+2+1=.
8.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.
答案　4
解析　左边=××=log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去).
9.(10分)计算下列各式的值：
(1)log535+2lo-log5-log514；(5分)
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).(5分)
解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
(2)方法一　原式=
=
=log25·3log52=13log25·=13.
方法二　原式=
=
=×=13.
10.(11分)若2a=3，3b=5，试用a与b表示log4572.
解　∵2a=3，3b=5，∴log23=a，log35=b，
∴log25=log23×log35=ab，
∴log4572==
==.
11.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是(　　)
A.-2 B.-2或5 C.5 D.3
答案　C
解析　原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x)，
所以x2-10=3x，
解得x=-2或x=5.
又解得x>，故x=5.
12.设log83=p，log35=q，则lg 5等于(　　)
A.p2+q2 B.(3p+2q)
C. D.pq
答案　C
解析　∵log83===p，
∴lg 3=3plg 2.
∵log35==q，
∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5)，
∴lg 5=.
13.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab=10 D.-=
答案　AD
解析　由10a=4，10b=25，5c=4，
则a=lg 4，b=lg 25，c=log54，
所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确；
b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误；
由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号，
又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误；
由-=-=log410-log45=log42=，故D正确.
14.(5分)若ln a，ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根，则=　　　　.
答案　1
解析　根据题意由根与系数的关系可知
ln a+ln b=2，ln a·ln b=，
所以=(ln b-ln a)2
=(ln b+ln a)2-4ln a·ln b
=22-4×=1.
15.已知a>b>1，若logab+logba=，ab=ba，则ab的值为(　　)
A.9 B.3 C.3 D.
答案　A
解析　∵logab+logba=+logba=，
∴3(logba)2-10logba+3=0，
解得logba=3或logba=，
∵a>b>1，∴logba>1，则logba=3，
∴a=b3，
又∵ab=ba，∴(b3)b=，
∴3b=b3，
又∵b>1，∴b=，a=3，
∴ab=9.
16.(12分)已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，2x=py.
(1)求p；(6分)
(2)求证：-=.(6分)
(1)解　设3x=4y=6z=k(显然k>0且k≠1)，
则x=log3k，y=log4k，z=log6k，
由2x=py，得2log3k=plog4k=p·，
∵log3k≠0，∴p=2log34.
(2)证明　∵-=-=logk6-logk3
=logk2=logk4=，
∴-=.(共75张PPT)
4.2.2
对数运算法则
第四章　§4.2　对数与对数函数
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1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.
学习目标
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
导 语
一、对数的运算法则
二、换底公式
课时对点练
三、对数运算的综合问题
随堂演练
内容索引
对数的运算法则
一
提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).
将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=
apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
问题1
提示　将指数式=ap-q化为对数式，得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).
结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？
问题2
提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R).
结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？
问题3
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么
(1)loga(MN)= .
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga= .
为方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数.
logaM+logaN
logaM-logaN
(1)法则的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…
+logaNk，其中Nk>0，k∈N+.
注 意 点
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　 (课本例2)计算下列各式的值：
(1)lg 4+lg 25；
例 1
lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2.
解
(2)lg；
lg=lg 10=lg 100=.
解
(3)log2(47×25)；
log2(47×25)=log247+log225
=7log24+5log22
=7×2+5×1=19.
解
(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.
(lg 2)2+lg 20×lg 5
=(lg 2)2+lg(10×2)×lg
=(lg 2)2+(1+lg 2)×(1-lg 2)
=(lg 2)2+1-(lg 2)2=1.
解
　计算下列各式的值：
(1)log345-log35；
例 1
原式=log3=log39=log332=2.
解
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2；
原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
解
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18；
原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
解
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
解
利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用运算法则，对真数进行处理；
②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
反
思
感
悟
　计算下列各式的值：
(1)2log23-log2+log27-；
跟踪训练 1
原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
解
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
解
二
换底公式
假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，∴=log35.如果=
x(c>0且c≠1)，等式还成立吗？
问题4
提示　成立，推导如下：
由=x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x，
∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，
∴=log35.
提示　将公式进行推广，可得=logab(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)，推导如下：由=x，则logcb=xlogca，即logcb=logcax，∴ax=b，由指数式和对数式的互化可得x=logab，∴=logab.
假设=x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？
问题5
1.logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0且N≠1，a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1，b>0，n≠0).
(3)logab·logbc·logcd= (a>0，b>0，c>0，d>0且a≠1，b≠1，c≠1).
logad
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=(a>0且a≠1，b>0).
注 意 点
<<<
(1)(课本例3)求log89×log2732的值.
例 2
log89×log2732=×
=×
=×=.
解
(1)计算：(log43+log83)log32=　　.
例 2
原式=log32
=log32=+=.
解析
(2)已知log189=a，18b=5，求log3645.(用a，b表示)
方法一　因为18b=5，所以b=log185.
所以log3645==
===
==.
方法二　因为18b=5，所以b=log185，
所以log3645==
==.
解
方法三　因为log189=a，18b=5，
所以lg 9=alg 18，lg 5=blg 18，
所以log3645===
==.
解
换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
反
思
感
悟
已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256.
跟踪训练 2
因为log23=a，所以=log32，
又因为log37=b，
所以log4256=
==.
解
对数运算的综合问题
三
(1)设a=lg 2，b=lg 3，试用a，b表示lg.
例 3
因为108=4×27=22×33，
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b.
解
(2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值.
令3x=4y=6z=a(a>1)，
所以x=log3a，y=log4a，z=log6a，
所以-=-=×-×=-==.
解
(1)与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
反
思
感
悟
已知3a=4b=c，且+=2，求实数c的值.
跟踪训练3
由题意知c>0且c≠1，由3a=4b=c，
得a=log3c，b=log4c，
所以==logc3，==logc4.
又+=2，
所以logc3+logc4=logc12=2，即c2=12，
所以c=2.
解
1.知识清单：
(1)对数的运算法则.
(2)换底公式.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.log5+log53等于
A.0 B.1
C.-1 D.log5
log5+log53=log5=log51=0.
解析
√
1
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4
2.计算：log232-2log24等于
A.1 B.2
C.3 D.4
√
log232-2log24=log2=log22=1.
解析
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4
3.若log5×log36×log6x=2，则x等于
A.9 B.
C.25 D.
由题意得××=-=2，
所以lg x=-2lg 5=lg 5-2，所以x=5-2=.
解析
√
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4
4.已知log62=p，log65=q，则lg 5=　　　　.(用p，q表示)
lg 5===.
解析
课时对点练
五
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D D C BCD 4
题号 11 12 13 14 15 答案 C C AD 1 A
对一对
9.
答案
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(1)原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
(2)方法一　原式=
=
=log25·3log52=13log25·=13.
9.
答案
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方法二　原式=
=
=×=13.
10.
答案
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∵2a=3，3b=5，∴log23=a，log35=b，
∴log25=log23×log35=ab，
∴log4572==
==.
16.
答案
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(1)解　设3x=4y=6z=k(显然k>0且k≠1)，
则x=log3k，y=log4k，z=log6k，
由2x=py，得2log3k=plog4k=p·，
∵log3k≠0，∴p=2log34.
16.
答案
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(2)证明　∵-=-=logk6-logk3
=logk2=logk4=，
∴-=.
基础巩固
1.log29×log34的值为
A.14 B.12
C.2 D.4
答案
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log29×log34=×=×=4.
解析
√
2.(log312-2log32)等于
A.0 B.1
C.2 D.4
答案
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√
∵log64+log63=log6+log63
=log62+log63=log66=1，
log312-2log32=log312-log34=log33=1，
∴(log312-2log32)=1.
解析
3.已知log3x=m，log3y=n，则log3用m，n可表示为
A.m-n B.m-n
C.- D.m-n
答案
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log3=log3-log3=log3-log3(y·=log3x-log3y
=m-n.
解析
4.已知x，y为正实数，则
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y
B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
答案
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2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).
解析
√
5.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln 2≈0.693，ln≈0.223，由此可知ln 5的近似值为
A.1.519 B.1.726 C.1.609 D.1.316
答案
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因为ln 2≈0.693，
所以ln 4=ln 22=2ln 2≈2×0.693=1.386，
因为ln ≈0.223，所以ln 5=ln=ln +ln 4≈0.223+1.386=1.609.
解析
√
6.(多选)若log2m=log4n，则
A.n=2m B.log9n=log3m
C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn
答案
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√
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因为log2m=log4n，所以m>0，n>0，又log2m=lon=log2n=log2，所以m=，即m2=n，故A错误；
log9n=lom2=log3m=log3m，故B正确；
ln n=ln m2=2ln m，故C正确；
log8mn=lom3=log2m=log2m，故D正确.
解析
7.log3+lg 4+lg 25+=　　.
原式=+lg 102+1=+2+1=.
解析
答案
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8.设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　.
左边=××=log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去).
解析
答案
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9.计算下列各式的值：
(1)log535+2lo-log5-log514；
答案
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原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
解
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
答案
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方法一　原式=
=
=log25·3log52=13log25·=13.
方法二　原式=
=
=×=13.
解
10.若2a=3，3b=5，试用a与b表示log4572.
答案
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∵2a=3，3b=5，∴log23=a，log35=b，
∴log25=log23×log35=ab，
∴log4572==
==.
解
11.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是
A.-2 B.-2或5
C.5 D.3
综合运用
答案
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√
原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x)，
所以x2-10=3x，
解得x=-2或x=5.
又解得x>，故x=5.
解析
答案
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12.设log83=p，log35=q，则lg 5等于
A.p2+q2 B.(3p+2q)
C. D.pq
答案
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∵log83===p，
∴lg 3=3plg 2.
∵log35==q，
∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5)，
∴lg 5=.
解析
13.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab=10 D.-=
答案
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由10a=4，10b=25，5c=4，
则a=lg 4，b=lg 25，c=log54，
所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确；
b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误；
由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号，
又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误；
由-=-=log410-log45=log42=，故D正确.
解析
14.若ln a，ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根，则=　　.
答案
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根据题意由根与系数的关系可知
ln a+ln b=2，ln a·ln b=，
所以=(ln b-ln a)2
=(ln b+ln a)2-4ln a·ln b
=22-4×=1.
解析
15.已知a>b>1，若logab+logba=，ab=ba，则ab的值为
A.9 B.3
C.3 D.
拓广探究
答案
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∵logab+logba=+logba=，
∴3(logba)2-10logba+3=0，
解得logba=3或logba=，
∵a>b>1，∴logba>1，则logba=3，
∴a=b3，
又∵ab=ba，∴(b3)b=，∴3b=b3，
又∵b>1，∴b=，a=3，∴ab=9.
解析
16.已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，2x=py.
(1)求p；
答案
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设3x=4y=6z=k(显然k>0且k≠1)，
则x=log3k，y=log4k，z=log6k，
由2x=py，得2log3k=plog4k=p·，
∵log3k≠0，∴p=2log34.
解
(2)求证：-=.
答案
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∵-=-=logk6-logk3
=logk2=logk4=，
∴-=.
证明
第四章　§4.2　对数与对数函数
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