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第1课时
对数函数的概念、性质与图象
第四章　4.2.3　对数函数的性质与图象
<<<
1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.
2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
学习目标
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.
导 语
一、对数函数的概念
二、对数函数的图象和应用
课时对点练
三、与对数函数有关的定义域(值域)问题
随堂演练
内容索引
对数函数的概念
一
提示　x=log23；y=log2x；x>0，y∈R.
你能解出指数方程2x=3吗？你能把2y=x化成对数式吗？x，y的范围如何？
问题1
对数函数的定义
一般地，函数 称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
y=logax
(1)系数为1.
(2)底数为常数a(a>0且a≠1).
(3)变量x为真数.
注 意 点
<<<
　 (1)下列函数中是对数函数的有
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
例 1
只有D满足对数函数的定义.
解析
√
(2)已知对数函数f(x)的图象过点M(8，3)，则f =　　　　.
设f(x)=logax(a>0且a≠1)，
由图象过点M(8，3)，得3=loga8，解得a=2.
所以对数函数的解析式为f(x)=log2x，
所以f =log2=-1.
解析
-1
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
反
思
感
悟
　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=log2x，则f(-8)=　　.
跟踪训练 1
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.
解析
-3
二
对数函数的图象和应用
请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.
问题2
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5
(2)描点、连线.
提示
为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a=3，4，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
问题3
函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0R
(0，+∞)
增
减
[0，+∞)
a>1 0性质 过定点 图象过定点 ，即当x=1时，y=0 函数值的变化 当x∈(0，1)时，y∈ ；当x∈[1，+∞)时，y∈_______ 当x∈(0，1)时，y∈ ；当x∈[1，+∞)时，y∈ ________ 对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于 对称 (1，0)
(-∞，0)
[0，+∞)
(-∞，0)
x轴
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0).
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
注 意 点
<<<
(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点
A.(1，2) B.(2，1)
C.(-2，1) D.(-1，1)
例 2
√
令x+2=1，即x=-1，
得y=loga1+1=1，
故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1，1).
解析
(2)如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为
A. B.
C. D.
√
方法一　观察在(1，+∞)上的图象，先排c1，c2底数的顺序，底数都大于1，当x>1时图象靠近x轴的底数大，c1，c2对应的a值分别为.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x<1时图象靠近x轴的底数小，c3，c4对应的a值分别为.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为.
解析
方法二　如图，作直线y=1与四条曲线交于四点，由y=logax
=1，得x=a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为.
(3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象.
因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5，
故f(x)=log5|x|=
所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示.
解
在例2(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象.
延伸探究1
因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
解
在例2(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间.
延伸探究2
因为a=5，
所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.
解
由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞).
(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标.
(2)对数型函数图象的变换方法
①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
反
思
感
悟
与对数函数有关的定义域(值域)问题
三
(1)(课本例3)求下列函数的定义域：
①y=lg(4-x)；
例 3
因为y=lg(4-x)有意义的充要条件是4-x>0，即x<4，所以所求定义域为
(-∞，4).
解
②y=ln x2.
因为y=ln x2有意义的充要条件是x2>0，即x≠0，所以所求定义域是
(-∞，0)∪(0，+∞).
解
(1)求下列函数的定义域：
①y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)；
例 3
由题意得
解得-3因此函数y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)的定义域为(-3，3).
解
②y=；
由题意得
即解得x≤1.
因此函数y=的定义域为(-∞，1].
解
③y=.
要使函数有意义，需满足
即
解得-1因此函数y=的定义域为(-1，0).
解
(2)求下列函数的值域：
①y=log2(x2+4)；
y=log2(x2+4)的定义域为R.
因为x2+4≥4，所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2，+∞).
解
②y=lo(3+2x-x2).
设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0，所以0又y=lou在(0，4]上为减函数，
所以lou≥lo4=-2，
所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞).
解
(1)求对数型函数的定义域需注意：
①真数大于0.
②底数大于零且不等于1.
③当对数出现在分母上时，真数除了大于0，还不能为1.
(2)求函数值域的方法
①充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.
反
思
感
悟
②求对数型复合函数的最大值、最小值问题，有些需要转化为求二次函数最值的问题.求二次函数的最值常用配方法，配方时应注意自变量的取值范围.
③形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤：(ⅰ)分解成y=logau，u=f(x)两个函数；(ⅱ)求f(x)的定义域；(ⅲ)求u的取值范围；(ⅳ)利用y=logau的单调性求解.
反
思
感
悟
求下列函数的定义域：
(1)y=；
跟踪训练 2
要使函数有意义，需
解得
即-3故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞).
解
(2)y=log2(16-4x).
要使函数有意义，需16-4x>0，得4x<16=42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.
解
1.知识清单：
(1)对数函数的概念.
(2)对数函数的图象和应用.
(3)与对数函数有关的定义域(值域)问题.
2.方法归纳：定义法、数形结合法.
3.常见误区：对数函数底数有限制条件易忽视.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列函数是对数函数的是
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
选项A，C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式.
解析
√
√
1
2
3
4
2.对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
√
设该函数为y=logax(a>0且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4=loga16，解得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.
解析
1
2
3
4
3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为
∵y=a-x=，a>1，∴0<<1，
∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数.
解析
√
1
2
3
4
4.函数f(x)=的定义域为　　 　　.
∪(0，+∞)
由题意得
解得x>-且x≠0，所以函数f(x)的定义域为∪(0，+∞).
解析
课时对点练
五
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D B ABC (1，+∞)
题号 11 12 13 14 15 答案 C A 1 8
对一对
9.
答案
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(1)将(-1，0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中，
有0=loga(-1+a)，则-1+a=1，所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2)，
由x+2>0，解得x>-2，
所以函数的定义域为(-2，+∞).
10.
答案
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(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，
即函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，
∴f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
(2)由(1)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示.
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞).
16.
答案
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(1)依题意得
则g=log2(x+1)，
故g(x)=log2(3x+1).
16.
答案
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16
(2)由f(x)-g(x)=0得，
log2(x+1)=log2(3x+1)，
所以解得x=0或x=1.
基础巩固
1.下列函数是对数函数的是
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
答案
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由对数函数的特征可得只有A选项符合.
解析
√
2.函数y=|log2x|的图象是
答案
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√
此函数图象过点(1，0)，且函数值为非负.
解析
3.函数y=ln(1-x)的定义域为
A.(0，1) B.[0，1)
C.(0，1] D.[0，1]
答案
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因为y=ln(1-x)，
所以
解得0≤x<1.
解析
√
4.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是
答案
1
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16
根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数，
所以0又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0.
解析
A.m<0，n>1
B.m>0，n>1
C.m>0，0D.m<0，0√
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
A.B. C.2 D.4
答案
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由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，
即f(0)+f(1)=a，
即1+a+loga2=a，
∴loga2=-1，解得a=.
解析
√
6.(多选)已知函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，下列关于f(x)的说法正确的是
A.f(x)的定义域是(-∞，1)
B.f(x)的值域是R
C.f(x)的图象过原点
D.当a>1时，f(x)在定义域上是增函数
答案
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√
√
√
答案
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对于A，函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，由1-x>0，解得x<1，所以函数f(x)的定义域是(-∞，1)，故A正确；
对于B，1-x>0，函数f(x)的值域是R，故B正确；
对于C，因为f(0)=loga1=0，所以函数f(x)的图象过原点，故C正确；
对于D，当a>1时，令函数u=1-x，则u在(-∞，1)上为减函数，又y=logau为增函数，所以函数f(x)在定义域上是减函数，故D错误.
解析
7.若函数f(x)=loga(x+3)+(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数y=bx(b>0且b≠1)上，则b=　　　　.
因为f(x)=loga(x+3)+恒过定点P，
所以b-2=，又b>0，b≠1，解得b=.
解析
答案
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8.函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　.
因为函数的定义域为R，即x2+2x+a>0，对 x∈R恒成立，
所以Δ=4-4a<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围为(1，+∞).
解析
答案
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(1，+∞)
9.若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1，0).
(1)求a的值；
答案
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将(-1，0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中，
有0=loga(-1+a)，则-1+a=1，所以a=2.
解
(2)求函数的定义域.
答案
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由(1)知y=log2(x+2)，
由x+2>0，解得x>-2，
所以函数的定义域为(-2，+∞).
解
10.已知函数f(x)=lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
答案
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要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，
即函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，
∴f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
解
(2)画出函数f(x)的草图；
答案
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由(1)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示.
解
(3)写出函数f(x)的单调区间.
答案
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由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞).
解
11.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是
A.(-∞，-4] B.(-4，1)
C.[-4，1) D.(0，1)
综合运用
答案
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√
当x≥1时，f(x)=ln x-2a在(1，+∞)上为增函数，∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=-2a，
∵f(x)的值域为R，∴当x<1时，f(x)=(1-a)x+3的值域需包含(-∞，-2a)，
∴解得-4≤a<1.
∴实数a的取值范围是[-4，1).
解析
答案
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12.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
A.x2C.x1答案
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√
分别作出三个函数的大致图象和直线y=a，如图所示.
由图可知，x2解析
13.函数f(x)=的定义域为(0，10]，则实数a的值为　　　.
答案
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由已知，得a-lg x≥0的解集为(0，10]，
由a-lg x≥0，得lg x≤a，
又当0解析
14.函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在函数y=-x-的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为　　　　.
答案
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∵x=-2时，y=loga1-1=-1，
∴函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)，
∵点A在函数y=-x-的图象上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵m>0，n>0，
∴+=(2m+n)=2+++2≥4+2·=8，
当且仅当m=，n=时取等号.
解析
15.如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，OC⊥AC，AC与BO交于点E.某对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经过点E和点B，则a=　　.
拓广探究
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设点E(b，c)，
则C(b，0)，A(b，2c)，B(2b，2c).
则解得b=c=2，a=.
解析
16.已知f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在函数y=f(x)的图象上时，点在函数y=g(x)的图象上.
(1)写出y=g(x)的解析式；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意得
则g=log2(x+1)，
故g(x)=log2(3x+1).
解
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由f(x)-g(x)=0得，
log2(x+1)=log2(3x+1)，
所以解得x=0或x=1.
解
第四章　4.2.3　对数函数的性质与图象
<<<4.2.3　对数函数的性质与图象
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
学习目标　1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
导语
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.
一、对数函数的概念
问题1　你能解出指数方程2x=3吗？你能把2y=x化成对数式吗？x，y的范围如何？
提示　x=log23；y=log2x；x>0，y∈R.
知识梳理　对数函数的定义
一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
注意点：
(1)系数为1.
(2)底数为常数a(a>0且a≠1).
(3)变量x为真数.
例1　(1)下列函数中是对数函数的有(　　)
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
答案　D
解析　只有D满足对数函数的定义.
(2)已知对数函数f(x)的图象过点M(8，3)，则f=　　　　.
答案　-1
解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1)，
由图象过点M(8，3)，得3=loga8，解得a=2.
所以对数函数的解析式为f(x)=log2x，
所以f=log2=-1.
反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=log2x，则f(-8)=　　　　.
答案　-3
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.
二、对数函数的图象和应用
问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
提示　
(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5
2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5
(2)描点、连线.
问题3　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a=3，4，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
提示　
知识梳理　
函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 (0，+∞)
值域 R
单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数
过定点 图象过定点(1，0)，即当x=1时，y=0
函数值 的变化 当x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；当x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；当x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
注意点：
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0).
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
例2　(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(　　)
A.(1，2) B.(2，1) C.(-2，1) D.(-1，1)
答案　D
解析　令x+2=1，即x=-1，
得y=loga1+1=1，
故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1，1).
(2)如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　方法一　观察在(1，+∞)上的图象，先排c1，c2底数的顺序，底数都大于1，当x>1时图象靠近x轴的底数大，c1，c2对应的a值分别为.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x<1时图象靠近x轴的底数小，c3，c4对应的a值分别为.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为.
方法二　如图，作直线y=1与四条曲线交于四点，由y=logax=1，得x=a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为.
(3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象.
解　因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5，
故f(x)=log5|x|=
所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示.
延伸探究1　在例2(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象.
解　因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
延伸探究2　在例2(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间.
解　因为a=5，
所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.
由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞).
反思感悟　(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标.
(2)对数型函数图象的变换方法
①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
三、与对数函数有关的定义域(值域)问题
例3　(1)(课本例3)求下列函数的定义域：
①y=lg(4-x)；②y=ln x2.
解　①因为y=lg(4-x)有意义的充要条件是4-x>0，即x<4，所以所求定义域为(-∞，4).
②因为y=ln x2有意义的充要条件是x2>0，即x≠0，所以所求定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
例3　(1)求下列函数的定义域：
①y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)；
②y=；
③y=.
解　①由题意得
解得-3因此函数y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)的定义域为(-3，3).
②由题意得
即解得x≤1.
因此函数y=的定义域为(-∞，1].
③要使函数有意义，需满足
即
解得-1因此函数y=的定义域为(-1，0).
(2)求下列函数的值域：
①y=log2(x2+4)；
②y=lo(3+2x-x2).
解　①y=log2(x2+4)的定义域为R.
因为x2+4≥4，所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2，+∞).
②设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0，所以0又y=lou在(0，4]上为减函数，
所以lou≥lo4=-2，
所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞).
反思感悟　(1)求对数型函数的定义域需注意：
①真数大于0.
②底数大于零且不等于1.
③当对数出现在分母上时，真数除了大于0，还不能为1.
(2)求函数值域的方法
①充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.
②求对数型复合函数的最大值、最小值问题，有些需要转化为求二次函数最值的问题.求二次函数的最值常用配方法，配方时应注意自变量的取值范围.
③形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤：(ⅰ)分解成y=logau，u=f(x)两个函数；(ⅱ)求f(x)的定义域；(ⅲ)求u的取值范围；(ⅳ)利用y=logau的单调性求解.
跟踪训练2　求下列函数的定义域：
(1)y=；
(2)y=log2(16-4x).
解　(1)要使函数有意义，需
解得
即-3故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞).
(2)要使函数有意义，需16-4x>0，得4x<16=42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.
1.知识清单：
(1)对数函数的概念.
(2)对数函数的图象和应用.
(3)与对数函数有关的定义域(值域)问题.
2.方法归纳：定义法、数形结合法.
3.常见误区：对数函数底数有限制条件易忽视.
1.(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
答案　BD
解析　选项A，C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式.
2.对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
答案　D
解析　设该函数为y=logax(a>0且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4=loga16，解得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.
3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为(　　)
答案　C
解析　∵y=a-x=，a>1，∴0<<1，
∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数.
4.函数f(x)=的定义域为　　　　.
答案　∪(0，+∞)
解析　由题意得
解得x>-且x≠0，所以函数f(x)的定义域为∪(0，+∞).
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
答案　A
解析　由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2.函数y=|log2x|的图象是(　　)
答案　B
解析　此函数图象过点(1，0)，且函数值为非负.
3.函数y=ln(1-x)的定义域为(　　)
A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1]
答案　B
解析　因为y=ln(1-x)，
所以
解得0≤x<1.
4.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.m<0，n>1
B.m>0，n>1
C.m>0，0D.m<0，0答案　D
解析　根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数，
所以0又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0.
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
答案　B
解析　由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，
即f(0)+f(1)=a，
即1+a+loga2=a，
∴loga2=-1，解得a=.
6.(多选)已知函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，下列关于f(x)的说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域是(-∞，1)
B.f(x)的值域是R
C.f(x)的图象过原点
D.当a>1时，f(x)在定义域上是增函数
答案　ABC
解析　对于A，函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，由1-x>0，解得x<1，所以函数f(x)的定义域是(-∞，1)，故A正确；对于B，1-x>0，函数f(x)的值域是R，故B正确；对于C，因为f(0)=loga1=0，所以函数f(x)的图象过原点，故C正确；对于D，当a>1时，令函数u=1-x，则u在(-∞，1)上为减函数，又y=logau为增函数，所以函数f(x)在定义域上是减函数，故D错误.
7.(5分)若函数f(x)=loga(x+3)+(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数y=bx(b>0且b≠1)上，则b=　　　　.
答案　
解析　因为f(x)=loga(x+3)+恒过定点P，
所以b-2=，又b>0，b≠1，解得b=.
8.(5分)函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(1，+∞)
解析　因为函数的定义域为R，即x2+2x+a>0，对 x∈R恒成立，
所以Δ=4-4a<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围为(1，+∞).
9.(10分)若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1，0).
(1)求a的值；(5分)
(2)求函数的定义域.(5分)
解　(1)将(-1，0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中，
有0=loga(-1+a)，则-1+a=1，所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2)，
由x+2>0，解得x>-2，
所以函数的定义域为(-2，+∞).
10.(12分)已知函数f(x)=lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；(4分)
(2)画出函数f(x)的草图；(4分)
(3)写出函数f(x)的单调区间.(4分)
解　(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，
即函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，
∴f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
(2)由(1)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示.
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞).
11.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-4] B.(-4，1)
C.[-4，1) D.(0，1)
答案　C
解析　当x≥1时，f(x)=ln x-2a在(1，+∞)上为增函数，∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=-2a，
∵f(x)的值域为R，∴当x<1时，f(x)=(1-a)x+3的值域需包含(-∞，-2a)，
∴解得-4≤a<1.
∴实数a的取值范围是[-4，1).
12.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A.x2C.x1答案　A
解析　分别作出三个函数的大致图象和直线y=a，如图所示.
由图可知，x213.(5分)函数f(x)=的定义域为(0，10]，则实数a的值为　　　　.
答案　1
解析　由已知，得a-lg x≥0的解集为(0，10]，
由a-lg x≥0，得lg x≤a，
又当014.(5分)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在函数y=-x-的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为　　　　.
答案　8
解析　∵x=-2时，y=loga1-1=-1，
∴函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)，
∵点A在函数y=-x-的图象上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵m>0，n>0，
∴+=(2m+n)=2+++2
≥4+2·=8，
当且仅当m=，n=时取等号.
15.(5分)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，OC⊥AC，AC与BO交于点E.某对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经过点E和点B，则a=　　　　.
答案　
解析　设点E(b，c)，
则C(b，0)，A(b，2c)，B(2b，2c).
则解得b=c=2，a=.
16.(12分)已知f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在函数y=f(x)的图象上时，点在函数y=g(x)的图象上.
(1)写出y=g(x)的解析式；(6分)
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.(6分)
解　(1)依题意得
则g=log2(x+1)，
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0得，
log2(x+1)=log2(3x+1)，
所以解得x=0或x=1.第2课时　对数函数的图象与性质的应用
学习目标　1.能够利用对数函数的图象和性质比较大小.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题.
一、利用单调性比较对数值的大小
例1　(课本例1)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log0.33与log0.35；
(2)ln 3与ln 3.001；
(3)log70.5与0.
解　(1)因为0<0.3<1，所以y=log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.
(2)因为e>1，所以y=ln x是增函数，又因为3<3.001，所以ln 3(3)因为7>1，所以y=log7x是增函数，又因为log71=0，而且0.5<1，所以log70.5例1　比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解　(1)因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，
即log30.2(4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，
且π>3，
所以log3π>log33=1.
同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
反思感悟　比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较.
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
跟踪训练1　已知a=，b=log2，c=lo，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案　D
解析　∵0lo=1，∴c>a>b.
二、利用单调性解对数不等式
例2　(课本例2)已知log0.7(2m)解　因为y=log0.7x的定义域为(0，+∞)，而且是减函数，所以由已知有2m>m-1>0，即
解得m>1.
例2　解下列关于x的不等式：
(1)lox>lo(4-x)；
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)；
(3)logx>1.
解　(1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于
解得x>4.
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0(3)当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解；
当0logxx，所以综上，原不等式的解集为.
延伸探究　将例2(2)的不等式改为：loga(2a+1)解　由题意可知即a>0且a≠1.
当a>1时，∵loga(2a+1)∴2a+1<3a<1，此时无解；
当0∴2a+1>3a>1，解得因此，实数a的取值范围为.
反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
三、对数函数的综合问题
例3　已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
解　(1)要使此函数有意义，
则有>0，即(x+1)(x-1)>0，
解得x>1或x<-1，
故f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞).
(2)f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
所以f(x)为奇函数.
f(x)=loga=loga，
函数u=1+在区间(-∞，-1)和区间(1，+∞)上单调递减.
所以当a>1时，f(x)=loga在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减；
当0反思感悟　(1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是要注意其定义域；二是看底数是否需要进行分类讨论；三是利用换元法解决复合函数单调性与最值问题；四是运用同增异减来判断复合函数单调性.
(2) 判断函数的奇偶性，应先求出定义域，看是否关于原点对称，再利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数.
跟踪训练2　已知函数f(x)=log2(x+1)-2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
(2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域.
解　(1)由题意得log2(x+1)-2>0，
∴log2(x+1)>2=log24，∴x+1>4，
∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞).
(2)∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]，
∴log2(x+1)∈(-∞，2]，
∴log2(x+1)-2∈(-∞，0].
∴f(x)的值域为(-∞，0].
1.知识清单：
(1)对数值的大小比较.
(2)利用单调性解对数不等式.
(3)对数函数的综合应用.
2.方法归纳：换元法、分类讨论法.
3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A.(-∞，7] B.(2，7]
C.[7，+∞) D.(2，+∞)
答案　B
解析　因为lg(2x-4)≤1，所以0<2x-4≤10，
解得22.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　)
答案　D
解析　由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B.
又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C.
3.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案　A
解析　∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1，
∴a>b>c.
4.不等式lo(2x+3)答案　
解析　由题意可得解得课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.已知实数a=log45，b=，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.bC.c答案　D
解析　由题意知，a=log45>1，b==1，
c=log30.4<0，故c2.不等式log2(x2-1)<1的解集是(　　)
A.(-) B.(1，)
C.(-，0)∪(0，) D.(-，-1)∪(1，)
答案　D
解析　因为log2(x2-1)<1=log22，
则03.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=-log2x B.f(x)=log2(-x)
C.f(x)=-log2(-x) D.f(x)=logx2
答案　C
解析　当x<0时，-x>0，f(-x)=log2(-x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)=-log2(-x)(x<0).
4.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=loga(x2+2)的最大值为-1，则实数a的值为(　　)
A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　因为ax≥1=a0的解集为{x|x≤0}，所以05.已知函数f(x)=满足f(a-1)A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(-∞，0) D.(0，+∞)
答案　A
解析　当x<1时，f(x)=x3-1，此时f(x)单调递增，当x≥1时，f(x)=ln x，此时f(x)单调递增，且f(1)=0=13-1，则f(x)是R上的增函数，若有f(a-1)6.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)是增函数
B.函数f(x)是偶函数
C.若x>1，则f(x)>0
D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞)
答案　AC
解析　由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4，
∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误；
当x>1时，f(x)>0，故C正确；
由log2x<1，得x<2，
又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误.
7.(5分)已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　　　　.
答案　(0，1]
解析　函数f(x)的图象如图所示，
要使y=a与f(x)的图象有两个不同交点，则08.(5分)设a>1，函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=　　　　.
答案　4
解析　因为a>1，
所以f(x)=logax在[a，2a]上单调递增，
所以loga(2a)-logaa=，
即loga2=，
所以=2，解得a=4.
9.(10分)比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；(2分)
(2)log23，log0.32；(2分)
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；(3分)
(4)log50.4，log60.4.(3分)
解　(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9(2)因为log23>log21=0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14；
当03.14，则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0(4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.410.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点P(3，1).
(1)求实数a的值；(4分)
(2)解不等式f(2x+1)解　(1)由题意得f(3)=loga3=1，解得a=3.
(2)因为f(x)=log3x在(0，+∞)上是增函数，
f(2x+1)解得-所以不等式f(2x+1)11.已知函数f(x)=ln(-x)+2，则f(lg 5)+f等于(　　)
A.4 B.0 C.1 D.2
答案　A
解析　∵f(x)=ln(-x)+2，∴f(x)的定义域为R，
∴f(-x)=ln(+x)+2，
∴f(x)+f(-x)=ln[(-x)(+x)]+4=ln 1+4=4，
∴f(lg 5)+f=f(lg 5)+f(-lg 5)=4.
12.已知a=log32，b=log43，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
答案　D
解析　因为函数y=log3x为增函数，32<24<33，
所以2=log332所以2<4log32<3，故因为函数y=ln x为增函数，32所以ln 32所以c=<.
因为函数y=log4x为增函数，43<34<44，
所以3=log443故3<4log43<4，即所以b>a>c.
13.(5分)当0答案　
解析　易知0，解得a>，所以14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，f=0，则不等式f(lox)>0的解集为　　　　.
答案　∪(2，+∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(-∞，0]上为减函数，
作出函数图象如图所示.
由f=0，得f=0.
∴f(lox)>0 lox<-或lox> x>2或0∴x∈∪(2，+∞).
15.已知f(x)=x2-|x|+1，a=f，b=f，c=f，则下列不等式成立的是(　　)
A.cC.b答案　A
解析　易知f(x)的定义域为R，
当x≥0时，有
f(x)=x2-x+1=+，故f(x)在上单调递增，
因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，
则a=f=f=f(-log23)=f(log23)，
而log23=log232=log29>log28=，
又=log3所以log23>>lo>，所以c16.(12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；(6分)
(2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集.(6分)
(1)证明　由对数函数的定义得
解得
即-1设-1则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg.
∵-1∴0<1+x1<1+x2，0<1-x2<1-x1，
于是0<<1，0<<1，
则0<<1，
∴lg<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)即函数f(x)是(-1，1)上的增函数.
(2)解　∵f(x)的定义域为(-1，1)，
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2)，
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴
解得2∴不等式的解集为{x|2第2课时
对数函数的图象与性质的应用
第四章　4.2.3　对数函数的性质与图象
<<<
1.能够利用对数函数的图象和性质比较大小.
2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题.
学习目标
一、利用单调性比较对数值的大小
二、利用单调性解对数不等式
课时对点练
三、对数函数的综合问题
随堂演练
内容索引
利用单调性比较对数值的大小
一
　(课本例1)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log0.33与log0.35；
例 1
因为0<0.3<1，所以y=log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.
解
(2)ln 3与ln 3.001；
因为e>1，所以y=ln x是增函数，又因为3<3.001，所以ln 3解
(3)log70.5与0.
因为7>1，所以y=log7x是增函数，又因为log71=0，而且0.5<1，所以log70.5解
　比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
例 1
因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3解
(2)loga3.1，loga5.2(a>0且a≠1)；
当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
解
(3)log30.2，log40.2；
因为0>log0.23>log0.24，所以<，
即log30.2解
(4)log3π，logπ3.
因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，
且π>3，
所以log3π>log33=1.
同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
解
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较.
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
反
思
感
悟
　已知a=，b=log2，c=lo，则
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
跟踪训练 1
∵0lo=1，∴c>a>b.
解析
√
二
利用单调性解对数不等式
(课本例2)已知log0.7(2m)例 2
因为y=log0.7x的定义域为(0，+∞)，而且是减函数，所以由已知有2m>m-1>0，即
解得m>1.
解
解下列关于x的不等式：
(1)lox>lo(4-x)；
例 2
由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0解
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)；
当a>1时，原不等式等价于
解得x>4.
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0解
(3)logx>1.
当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解；
当0logxx，所以综上，原不等式的解集为.
解
将例2(2)的不等式改为：loga(2a+1)延伸探究
由题意可知即a>0且a≠1.
当a>1时，∵loga(2a+1)∴2a+1<3a<1，此时无解；
当0∴2a+1>3a>1，解得因此，实数a的取值范围为.
解
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
反
思
感
悟
对数函数的综合问题
三
已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
例 3
要使此函数有意义，
则有>0，即(x+1)(x-1)>0，
解得x>1或x<-1，
故f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞).
解
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
f(-x)=loga=loga=-loga=-f(x).
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
所以f(x)为奇函数.
f(x)=loga=loga，
函数u=1+在区间(-∞，-1)和区间(1，+∞)上单调递减.
所以当a>1时，f(x)=loga在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减；
当0解
(1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是要注意其定义域；二是看底数是否需要进行分类讨论；三是利用换元法解决复合函数单调性与最值问题；四是运用同增异减来判断复合函数单调性.
(2) 判断函数的奇偶性，应先求出定义域，看是否关于原点对称，再利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数.
反
思
感
悟
　已知函数f(x)=log2(x+1)-2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
跟踪训练 2
由题意得log2(x+1)-2>0，
∴log2(x+1)>2=log24，∴x+1>4，
∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞).
解
(2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域.
∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]，
∴log2(x+1)∈(-∞，2]，
∴log2(x+1)-2∈(-∞，0].
∴f(x)的值域为(-∞，0].
解
1.知识清单：
(1)对数值的大小比较.
(2)利用单调性解对数不等式.
(3)对数函数的综合应用.
2.方法归纳：换元法、分类讨论法.
3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是
A.(-∞，7] B.(2，7]
C.[7，+∞) D.(2，+∞)
√
因为lg(2x-4)≤1，所以0<2x-4≤10，
解得2解析
1
2
3
4
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为
由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B.
又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C.
解析
√
1
2
3
4
3.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1，
∴a>b>c.
解析
1
2
3
4
4.不等式lo(2x+3)由题意可得解得解析
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C B A AC (0，1] 4
题号 11 12 13 14 15
答案 A D ∪(2，+∞) A
对一对
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9(2)因为log23>log21=0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14；
当03.14，则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当09.
答案
1
2
3
4
5
6
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12
13
14
15
16
(4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.410.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)由题意得f(3)=loga3=1，解得a=3.
(2)因为f(x)=log3x在(0，+∞)上是增函数，
f(2x+1)解得-所以不等式f(2x+1)16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)证明　由对数函数的定义得
解得
即-1设-1则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg.
∵-116.
答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
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15
16
∴0<1+x1<1+x2，0<1-x2<1-x1，
于是0<<1，0<<1，
则0<<1，
∴lg<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)即函数f(x)是(-1，1)上的增函数.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
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16
(2)解　∵f(x)的定义域为(-1，1)，
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2)，
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴
解得2∴不等式的解集为{x|2基础巩固
1.已知实数a=log45，b=，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为
A.bC.c答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
由题意知，a=log45>1，b==1，
c=log30.4<0，故c解析
√
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
2.不等式log2(x2-1)<1的解集是
A.(-) B.(1，)
C.(-，0)∪(0，) D.(-，-1)∪(1，)
因为log2(x2-1)<1=log22，
则0所以不等式的解集为(-，-1)∪(1，).
解析
√
3.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为
A.f(x)=-log2x B.f(x)=log2(-x)
C.f(x)=-log2(-x) D.f(x)=logx2
答案
1
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4
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6
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15
16
当x<0时，-x>0，f(-x)=log2(-x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)=-log2(-x)(x<0).
解析
√
4.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=loga(x2+2)的最大值为-1，则实数a的值为
A.2 B. C.3 D.
答案
1
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3
4
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因为ax≥1=a0的解集为{x|x≤0}，所以0解析
√
5.已知函数f(x)=满足f(a-1)A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(-∞，0) D.(0，+∞)
答案
1
2
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当x<1时，f(x)=x3-1，此时f(x)单调递增，当x≥1时，f(x)=ln x，此时f(x)单调递增，且f(1)=0=13-1，则f(x)是R上的增函数，若有f(a-1)解析
√
6.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是
A.函数f(x)是增函数
B.函数f(x)是偶函数
C.若x>1，则f(x)>0
D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞)
答案
1
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√
√
答案
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15
16
由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4，
∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误；
当x>1时，f(x)>0，故C正确；
由log2x<1，得x<2，
又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误.
解析
7.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　　　　.
答案
1
2
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4
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(0，1]
函数f(x)的图象如图所示，
解析
要使y=a与f(x)的图象有两个不同交点，则08.设a>1，函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=　　　　.
因为a>1，
所以f(x)=logax在[a，2a]上单调递增，
所以loga(2a)-logaa=，
即loga2=，
所以=2，解得a=4.
解析
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9.比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
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因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9解
(2)log23，log0.32；
因为log23>log21=0，log0.32所以log23>log0.32.
解
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；
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当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14；
当03.14，则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0解
(4)log50.4，log60.4.
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在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4解
10.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点P(3，1).
(1)求实数a的值；
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由题意得f(3)=loga3=1，解得a=3.
解
(2)解不等式f(2x+1)答案
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因为f(x)=log3x在(0，+∞)上是增函数，
f(2x+1)解得-所以不等式f(2x+1)解
11.已知函数f(x)=ln(-x)+2，则f(lg 5)+f 等于
A.4 B.0
C.1 D.2
综合运用
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√
∵f(x)=ln(-x)+2，∴f(x)的定义域为R，
∴f(-x)=ln(+x)+2，
∴f(x)+f(-x)=ln[(-x)(+x)]+4=ln 1+4=4，
∴f(lg 5)+f =f(lg 5)+f(-lg 5)=4.
解析
答案
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12.已知a=log32，b=log43，c=，则a，b，c的大小关系为
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
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因为函数y=log3x为增函数，32<24<33，
所以2=log332所以2<4log32<3，故因为函数y=ln x为增函数，32所以ln 32所以c=<.
解析
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因为函数y=log4x为增函数，43<34<44，
所以3=log443故3<4log43<4，即所以b>a>c.
解析
13.当0答案
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易知0，解得a>，所以解析
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，f =0，则不等式f(lox)>0的解集为　　 　　.
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∪(2，+∞)
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∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(-∞，0]上为减函数，
作出函数图象如图所示.
由f =0，得f =0.
∴f(lox)>0 lox<-或lox> x>2或0∴x∈∪(2，+∞).
解析
15.已知f(x)=x2-|x|+1，a=f ，b=f ，c=f ，则下列不等式成立的是
A.cC.b拓广探究
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易知f(x)的定义域为R，
当x≥0时，有f(x)=x2-x+1=+，故f(x)在上单调递增，
因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，
则a=f =f =f(-log23)=f(log23)，
而log23=log232=log29>log28=，
又=log3所以log23>>lo>，所以c解析
16.已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；
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由对数函数的定义得
解得
即-1设-1则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg.
∵-1∴0<1+x1<1+x2，0<1-x2<1-x1，
证明
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于是0<<1，0<<1，
则0<<1，
∴lg<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)即函数f(x)是(-1，1)上的增函数.
证明
(2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集.
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∵f(x)的定义域为(-1，1)，
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2)，
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴
解
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解得2∴不等式的解集为{x|2解
第四章　4.2.3　对数函数的性质与图象
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